高中数学人教A版（2019）必修第一册必考点分类集训——一元二次函数、方程与不等式（基础巩固卷）（含解析）

一、单选题
1．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式 的解集为 ， 则 =（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5．已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
6．已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
8．已知关于x的不等式的解集为空集，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
二、多选题
9．可以作为的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利用奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
三、填空题
13．不等式的解集为______．
14．函数的最小值为______.
15．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.
16．已知集合, ,若，则实数a的取值范围为______．
四、解答题
17．比较（x－2）（x－4）与（x－1）（x－5）的大小关系．
18．解下列不等式.
(1)﹣x2+2x﹣3＜0；
(2)﹣3x2+5x﹣2＞0.
19．用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
20．（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
21．已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
22．解下列问题：
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，求的最小值；
(3)已知，求代数式和的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】因为，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B正确；
因为，所以不成立，故C错误；
，因为，所以，即，所以成立，故D错误.
故选：B
2．B
【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
3．D
【分析】利用二次函数，把不等式问题转化为方程问题，再用韦达定理.
【详解】因为不等式 的解集为
所以 ，-2和1是方程 的两实数根
所以 ，解得
所以.故A，B，C错误.
故选：D.
4．C
【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.
【详解】解：对一切实数都成立，
①时，恒成立，
②时，，解得，
综上可得，，
故选：C.
5．D
【解析】根据不等式的解集求出，，，代入可解得结果.
【详解】因为不等式的解集为，
所以，且和是一元二次方程的两个实根，
所以，，即，，
所以不等式可化为，
因为，所以，分解因式得，
解得或.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式的解集得到二次项系数的符号以及对应的一元二次方程的两个实根是解题关键.
6．D
【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.
【详解】∵，且，
∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，
解得：，
故选：D.
7．C
【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
【详解】因为，，，所以，
∴，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.
故选：C
8．D
【分析】不等式转化为，对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果.
【详解】解：
①当，即．
当时，不等式化为，其解集为空集，因此满足题意；
当时，不等式化为，即，其解集不为空集，因此不满足题意，应舍去；
②当，即时．
关于的不等式的解集为空集，
，解得．
综上可得：的取值范围是．
故选：．
9．AC
【分析】先解不等式，然后判断充分不必要条件.
【详解】，
，
，解得或.
所以可以作为的一个充分不必要条件是或.
故选：AC
10．BC
【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.
【详解】对于A,由得:，故错误；
对于B，因为，所以，故正确；
对于C;由得:，故正确；
对于D,由于，故，故错误；
故选：BC
11．BCD
【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于C：因为，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，故D正确；
故选：BCD
12．AD
【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.
【详解】因为关于的不等式的解集为或，
所以且方程的两个根为，，
即.
因此选项A正确；
因为，，所以由，因此选项B不正确；
由可知：，因此选项C不正确；
因为，所以由，
解得：，因此选项D正确，
故选：AD
13．
【分析】把不等式化简为，求出解集即可.
【详解】∵不等式等价于，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
14．4
【分析】利用基本不等式直接求解即可
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，
故答案为：4
15．
【分析】由判别式小于0可得．
【详解】由题意，．
故答案为：．
16．
【分析】分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.
【详解】依题意，，当，即时，，
当，即时，，当，即时，，
又，，于是得，解得，或，解得，
而，则，综上得：，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：
17．
【分析】利用作差法比较大小.
【详解】∵（x－2）（x－4）－（x－1）（x－5）
＝
∴（x－2）（x－4）＞（x－1）（x－5）
18．(1)R
(2){x|1}
【分析】（1）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）2+2＞0，结合二次函数的性质分析可得答案；
（2）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x）＜0，解可得答案.
（1）
根据题意，﹣x2+2x﹣3＜0 x2﹣2x+3＞0 （x﹣1）2+2＞0，
又由（x﹣1）2+2≥2，则不等式的解集为R；
（2）
根据题意，﹣3x2+5x﹣2＞0 3x2﹣5x+2＜0 （x﹣1）（x）＜0，
解可得：x＜1，即不等式的解集为{x|x＜1}.
19．矩形的长、宽都为时，菜园的最大面积为.
【分析】根据给定信息，设出矩形的长、宽，再建立与的关系，借助均值不等式求解作答.
【详解】设矩形菜园的长为，宽为，则，即，矩形菜园的面积为，
而，由，可得，当且仅当时取“=”，
所以，这个矩形的长、宽都为时，菜园的面积最大，最大面积为.
20．（1）7；（2）．
【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；
（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；
（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围
（1）
因为不等式的解集是．
所以－1和3是方程的解，
把代入方程解得．经验证满足题意
（2）
若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，
所以，
解得，所以m的取值范围是．
22．(1)
(2)9
(3)；
【分析】（1）由题意可得和3是方程的两个实根，则，从而可求出a，b的值；
（2）由已知可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值，
（3）利用不等式的性质求解即可
（1）
∵不等式的解集为
∴和3是方程的两个实根，
∴
解得
（2）
∵，又
∴
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为9．
（3）
∵，
∴
由，得，① ．
由，得，② ．
由①②得，
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