高中数学人教A版（2019）必修第一册必考点分类集训——一元二次函数、方程与不等式（能力提升卷）（含解析）

一、单选题
1．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若不等式 的解集为 ， 则 =（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
4．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题正确的个数是（ ）
①
②若，，则；
③不等式成立的一个充分不必要条件是或；
④若、、是全不为0的实数，则“”是“不等式和解集相同”的充分不必要条件．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正实数满足，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．已知，，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为9
12．下列关于基本不等式的说法正确的是（　　）
A．若，则的最大值为
B．函数的最小值为2
C．已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则的最小值为
D．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3
三、填空题
13．若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为_____.
14．已知x，y是正实数，且满足，则x+y的最小值是__．
15．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的解集是___________.
16．已知，，下面四个结论：
①；②若，则的最小值为4；③若，则；④若，则的最小值为；
其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上）
四、解答题
17．设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.
18．（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
19．请回答下列问题：
(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.
(2)求关于的不等式的解集.
20．已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
21．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
22．解下列问题：
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，求的最小值；
(3)已知，求代数式和的取值范围．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】因为，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B正确；
因为，所以不成立，故C错误；
，因为，所以，即，所以成立，故D错误.
故选：B
2．D
【分析】利用二次函数，把不等式问题转化为方程问题，再用韦达定理.
【详解】因为不等式 的解集为
所以 ，-2和1是方程 的两实数根
所以 ，解得
所以.故A，B，C错误.
故选：D.
3．C
【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
【详解】因为，，，所以，
∴，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.
故选：C
4．C
【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.
【详解】解：对一切实数都成立，
①时，恒成立，
②时，，解得，
综上可得，，
故选：C.
5．B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
6．D
【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.
【详解】 ，且，
，
（当且仅当时取等号）．
，
由 恒成立，即，
解得：，
故选：D．
7．A
【分析】运用基本不等式，求出 的最小值即可.
【详解】 ，当且仅当 时等号成立，
正实数a，b不相等， ， ，
；
故选：A.
8．B
【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；
【详解】解：对于①，当，时，当且仅当时取等号，若、满足，显然，故①错误；
对于②，若，，则，故，故，故②正确；
对于③，使不等式，整理得，故或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故③正确；
对于④，不等式与的解集都为，但是，
若，则不等式与的解集不相同，
故若、、是全不为0的实数，则“”是
“不等式和解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．
故选：B．
9．BCD
【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于C：因为，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，故D正确；
故选：BCD
10．ACD
【分析】把的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可．
【详解】解：当时，，
当且仅当时取等号，解得，故A正确；
，当且仅当时取等号，
解得，故B错误；
当时，，则，
所以
，当且仅当时取等号，所以C正确，
当时，，当且仅当时取等号，
解得（舍负），故D正确．
故选：ACD．
11．ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B、D的正误，注意等号成立条件，将化为关于的二次函数形式求最值判断C.
【详解】因为，，，
所以，即，，当且仅当时等号成立，则A，B正确．
，当时取得最大值，则C错误．
，当且仅当时等号成立，则D正确．
故选：ABD
12．AC
【分析】对于选项A，利用基本不等式求得最大值为，故该选项正确；
对于选项B，，再利用基本不等式求得函数最小值为3，故该选项错误；
对于选项C，，再利用基本不等式求得最小值为3+2，故该选项正确；
对于选项D，由x2+xy﹣2＝0可得y，则3x+y＝2x，再利用基本不等式求得最小值是4，故该选项错误．
【详解】解：对于选项A，若0＜x，则，所以，当且仅当3x＝1﹣3x，即x时等号成立，所以最大值为，故该选项正确；
对于选项B，因为x＞﹣1，所以x+1＞0，所以y21＝3，当且仅当x+1，即x＝0等号成立，故函数最小值为3，故该选项错误；
对于选项C，因为x+y＝1，x＞0，y＞0，所以3≥23＝23，当且仅当，即x，y＝2等号成立，故最小值为3+2，故该选项正确；
对于选项D，由x2+xy﹣2＝0可得y，因为x＞0，y＞0，可得0＜x，
则3x+y＝2x2，当且仅当2x，即x＝1等号成立，所以最小值是4，故该选项错误．
故选：AC．
13．25
【分析】利用基本不等式可求面积的最大值.
【详解】设两条直角边的边长分别为，则，
故即，当且仅当时等号成立，
故直角三角形面积的最大值为，
故答案为：
14．2
【分析】根据条件，由，结合基本不等式求解即可．
【详解】解：因为，是正实数，且满足，
则
，
当且仅当且，即，时取等号，
所以的最小值为2．
故答案为：2．
15．或
【分析】根据不等式的解集可得，且方程得解为，再利用韦达定理将用表示，从而可得出答案.
【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为，
所以，且方程得解为，
则，
所以，
则不等式，即为，
即，解得或，
所以的解集是或.
故答案为：或.
16．①③④
【分析】对于①，由，得，然后变形后判断，对于②，变形后利用基本不等式判断，对于③，由不等式的性质判断，对于④，将展开由基本不等式可推导出结果
【详解】对于①，因为，所以，即，
因为，，所以，所以①正确，
对于②，因为，所以，
所以
，
当且仅当，，即时取等号，所以②错误，
对于③，因为，所以，因为，所以，所以③正确，
对于④，因为，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以④正确，
故答案为：①③④
17．
【分析】由题意，求出方程的两根，讨论的正负，确定二次不等式的解集A的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.
【详解】解：由题意，令，解得两根为，由此可知，
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；
综上，实数的取值范围为.
18．（1）7；（2）．
【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；
（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
19．(1)、
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）不等式为，即，讨论，，，，，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
（1）
解：因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得；
（2）
解：不等式，即，即，
当时，原不等式解集为；
当时，方程的根为，，
①当时，，原不等式的解集为或；
②当时，，原不等式的解集为；
③当时，，原不等式的解集为；
④当时，，原不等式的解集为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；
（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围
（1）
因为不等式的解集是．
所以－1和3是方程的解，
把代入方程解得．经验证满足题意
（2）
若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，
所以，
解得，所以m的取值范围是．
21．(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小
(2)．
【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；
（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（） （x+2y）＝55+2，进而得出．
（1）
由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，
当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（2）
由已知得x+2y＝30，
又∵（） （x+2y）＝55+29，
∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴的最小值是．
22．(1)
(2)9
(3)；
【分析】（1）由题意可得和3是方程的两个实根，则，从而可求出a，b的值；
（2）由已知可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值，
（3）利用不等式的性质求解即可
（1）
∵不等式的解集为
∴和3是方程的两个实根，
∴
解得
（2）
∵，又
∴
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为9．
（3）
∵，
∴
由，得，① ．
由，得，② ．
由①②得，
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