2022-2023学年苏科版九年级数学上册2.5 直线与圆的位置关系 知识点分类练习题（含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.5直线与圆的位置关系》
知识点分类练习题（附答案）
一．直线与圆的位置关系
1．如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
2．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．
4．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．
5．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．
二．切线的性质
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
A． B． C． D．2
10．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（　　）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
11．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．
（1）当AC＝2时，求⊙O的半径；
（2）设AC＝x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．
13．如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．
（1）求证：AM＝AC；
（2）若AC＝3，求MC的长．
三．切线的判定
14．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC＝4．求弦CE的长．
15．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
16．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA．
（1）求∠DOA的度数；
（2）求证：直线ED与⊙O相切．
17．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）求DE的长．
四．切线的判定与性质
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　 　．
19．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
五．弦切角定理
20．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
21．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
六．切线长定理
22．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（　　）
A．5 B．7 C．8 D．10
23．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝　 　°．
24．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
七．切割线定理
25．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（　　）
A． B． C． D．4
26．已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（　　）
A．6 B．2 C．2 D．2
27．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝　 　．
八．三角形的内切圆与内心
28．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（　　）
A．100° B．160° C．80° D．130°
29．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 　 　．
参考答案
一．直线与圆的位置关系
1．解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，
∴直线l与⊙O相交．
故选：D．
2．解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
3．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，即OD⊥DE，
∵OD为圆的半径，D为半径外端点，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，
设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠ODE＝90°，
∴OC2+CE2＝OE2＝OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
4．（1）证明：连接OC．
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（8﹣r）2＝r2+42，
∴r＝3，
∴＝，
∴CD＝BC＝6，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝6．
5．解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DAB＝∠DCB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝BD＝＝5，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝5，
答：AC＝5，AD＝5；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：
连接OC，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴∠BAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠OCD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CEP＝∠COB+∠OCD＝15°+60°＝75°，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠CEP＝75°，
∴∠OCP＝∠OCD+∠ECP＝15°+75°＝90°，
∴直线PC与⊙O相切．
6．解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵D为的中点，
∴＝，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝45°，
∵O是AC的中点，
∴∠ODC＝45°，
∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠DCA＝45°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴AC＝10，
∴AD＝CD＝5，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝8，
∴BC＝6，
∵∠BAD＝∠DCE，
∵∠ABD＝∠CDE＝45°，
∴CE＝．
7．（1）证明：∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（4﹣r）2＝r2+22，
∴r＝1.5，
∴＝，
∴CD＝BC＝3，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝3．
∴圆的半径为1.5，AC的长为3．
8．解：（1）BC与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠EAD＝∠DAC，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝，
＝，
∴AC＝，
∴CD＝＝＝，
∵OD⊥BC，AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴BD＝．
解法二：证明△BDE∽△BAD，可得＝＝＝，
设BE＝3k，BD＝4k，则BA＝k，
∵BA﹣BE＝AE，
∴k﹣3k＝10，
∴k＝，
∴BD＝4k＝．
二．切线的性质（共5小题）
9．解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝，
∴DM＝3＝，
故选：A．
10．解：在△ABC中，
∵AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AC2+BC2＝32+42＝52＝AB2，
∴∠C＝90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴AC BC＝AB CD，
即CD＝＝＝，
∴⊙C的半径为，
故选：B．
11．（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC，
∴CD＝＝，
∴OC＝＝，
∴⊙O的半径＝．
12．解：（1）连接OE，OD，
在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝8，
∵AC＝2，
∴BC＝6；
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形，
＝，解得OD＝，
∴圆的半径为；
（2）∵AC＝x，BC＝8﹣x，
在直角三角形ABC中，tanB＝＝，
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形．
tan∠AOD＝tanB＝＝＝，
解得y＝﹣x2+x．
13．（1）证明：连接OA，
∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM＝90°，
∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOM＝60°，∴∠M＝30°，
∴∠OCA＝∠M，
∴AM＝AC；
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA＝30°，AC＝3，∴AG＝，
由勾股定理的，CG＝，
则MC＝2CG＝3．
三．切线的判定
14．（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD＝OC．
∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC＝3，PC＝4，∴PO＝5，PE＝8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF＝∠E．
又∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE＝PC：PE＝4：8＝1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF＝90°．
设CF＝x，则EC＝2x．
则x2+（2x）2＝62，
解得x＝．
则EC＝2x＝．
15．解：（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝8（cm），
②∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴AD＝BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD＝AB＝×10＝5cm；
（2）直线PC与⊙O相切．理由如下：
连接OC如图，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠PEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
而∠PEC＝∠EAC+∠ACE，∠PCE＝∠PCB+∠BCE，
∴∠EAC＝∠PCB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
而∠ABC＝∠OCB，
∴∠BAC+∠OCB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即∠PCO＝90°，
∴PC⊥OC
∴直线PC与⊙O相切
16．（1）解；∵∠DBA＝50°，
∴∠DOA＝2∠DBA＝100°，
（2）证明：连接OE．
在△EAO与△EDO中，，
∴△EAO≌△EDO，
∴∠EDO＝∠EAO，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切．
17．证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE＝OF＝4．
四．切线的判定与性质
18．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
19．解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝5．
五．弦切角定理
20．
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
解法二：连接OC，BC．
∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，
∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：A．
21．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，
∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）
故选：B．
六．切线长定理
22．解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
23．解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
24．解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°；
（2）由（1）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，
∴BE+CG＝BC＝10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴S△OBC＝OF×BC＝OB×OC，即OF×10＝×6×8．
∴OF＝4.8cm．
七．切割线定理
25．解：如图，若，且AB＝10，
∴AD＝4，BD＝6，
作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，
可得A、C、A′三点共线，
∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，
∴AB＝A′B，
∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．
而A′C A′A＝A′D′ A′B，即A′C 2A′C＝4×10＝40．
则A′C2＝20，
又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，
∴20＝100﹣CB2，
∴CB＝4．
故选：A．
26．解：延长AO交⊙O于B，
则AB＝2OA＝10；
由切割线定理得：PC2＝PA PB；
则有：PC2＝4×（10+4）＝56，
解得：PC＝2；
故选：D．
27．解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，
∴PB＝AP+AB＝6，PC＝PD．
又∵PA PB＝PC PD，
∴4×6＝PD2，
则PD＝4．
故答案是：4．
八．三角形的内切圆与内心
28．解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
29．解：如图，连接EC．
∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°，
∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，
∴∠AEC＝180°﹣（∠ACD+∠CAD）＝135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB＝∠AEC＝135°，
故答案为135°．