2022-2023学年鲁教版（五四制）数学七年级上册《2.3简单的轴对称图形》解答专题训练题 （含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年鲁教版（五四制）数学七年级上册《2.3简单的轴对称图形》解答专题训练题 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 255.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-08 09:23:11 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版（五四学制）七年级数学上册《2.3简单的轴对称图形》
解答专题训练题（附答案）
1．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在CB边上，∠DAB＝∠B，点E在AB边上且满足∠CAB＝∠BDE．
求证：AE＝BE．
2．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
3．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC，EF分别交BC、BD于点F、G．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AE＝BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．
4．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
5．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，点M是AC的中点，在AD上取点E，使得DE＝AM，EM与DC的延长线交于点F．
（1）当∠BAC＝90°时，①求AE的长；②求∠F的大小．
（2）当∠BAC≠90°时，探究∠F与∠BAC的数量关系．
6．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
7．如图，AB∥CD，点E、N在AB上，点F在CD上，∠EFD的平分线FM交AB于点G，且GM＝GN，若∠EFC＝112°，求∠M的度数．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．
9．如图，在△ACB中，AC＝BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线．
求证：∠DAB＝∠ACE．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
（1）试求∠DAE的度数．
（2）如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？为什么？
11．如图，△ABC中，AB＝AC，且AC上的中线BD把这个三角形的周长分成了12cm和6cm的两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．
（1）若AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，求△BCE的周长；
（2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数．
13．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
（1）求证AD＝ED；
（2）若AC＝AB，DE＝3，求AC的长．
14．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD＝DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝82°，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E，使CE＝CA，连接AD、AE，求∠D，∠E，∠DAE的度数．
16．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD、AC于点F、E．求证：CE＝CF．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD＝BE，求∠ADE的度数．
18．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．
（1）求线段CD的长；
（2）求△ADE的面积．
20．△ABC中，∠ABC＝110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．
21．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，△AEF的周长为10．
（1）求BC的长；
（2）若∠B+∠C＝45°，EF＝，求△AEF的面积．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，求∠C的度数．
23．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC＝，MB＝2MC，求AB的长．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
25．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
参考答案
1．证明：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°．
∵∠CAB＝∠BDE，
∴∠BDE+∠B＝90°，
∴∠DEB＝90°．
∵∠DAB＝∠B，
∴DA＝DB，
∴AE＝BE．
2．证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CDE+∠E，
∴∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点．
3．解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
∴BE＝CF．
（2）若AE＝BE，则AE＝DE＝BE，
∴∠A＝∠ADE，∠EBD＝∠EDB，
又∵∠A+∠ADE+∠EDB+∠EBD＝180°，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，即BD⊥AC，
又∵EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴图中的直角三角形为：△ABD，△CBD，△BEG，△BFG，△DEG．
4．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
5．解：（1）当∠BAC＝90°时，
①AE＝AD﹣DE＝AB﹣DE＝﹣；
②连接DM．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，AD＝DC．
∵点M是AC的中点，
∴DM＝MC＝AM＝DE，DM⊥AC，
∴∠MDC＝∠MDE＝45°，
∴∠DEM＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠F＝90°﹣67.5°＝22.5°；
（2）当∠BAC≠90°时，∠BAC＝4∠F．理由如下：
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴∠ADC＝90°．
设∠BAC＝4x，则∠DAC＝2x．
∵点M是AC的中点，
∴DM＝MC＝AM＝DE，
∴∠ADM＝∠DAC＝2x，
∴∠DEM＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，
∴∠F＝90°﹣DEM＝90°﹣（90°﹣x）＝x，
∴∠BAC＝4∠F．
6．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
7．解：∵∠EFC＝112°，
∴∠EFD＝180°﹣112°＝68°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD＝∠EFD＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠MGN＝∠GFD＝34°，
∵GM＝GN，
∴∠M＝∠MNG＝×（180°﹣∠MGN）＝73°．
8．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠DAE＝25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．
9．证明：∵AC＝BC，CE为△ACB的中线，
∴∠CAB＝∠B，CE⊥AB，
∴∠CAB+∠ACE＝90°，
∵AD为△ACB的高线，
∴∠D＝90°．
∴∠DAB+∠B＝90°，
∴∠DAB＝∠ACE，
10．解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，CE＝CA．
∴∠BAD＝（180°﹣45°）÷2，∠CAE＝45°÷2，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD+∠CAE＝45°．
（2）不变．
∠DAE＝90°﹣+∠ACB＝（∠B+∠ACB）＝45°，
从上式可看出当AB和AC不相等时，∠B+∠ACB也是定值为90°．
所以不变．
解法二：设∠E＝α．
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝α，
∴∠ACB＝2α，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣2α，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝45°+α，
∴∠CAD＝45°﹣α，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝45°﹣α+α＝45°．
∴∠DAE的度数不变．
11．解：设AD＝CD＝x，AB＝AC＝2x，BC＝y，
当AB+AD＝12时，，解得；
当AB+AD＝6时，，解得（不合题意，舍去）．
答：这个三角形的腰长是8，底边长是2
12．解：（1）∵DE垂直平分AB
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+EA+CE＝BC+AC＝16（cm）；
（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
13．证明：（1）∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE＝∠BAE
∵DE∥AB
∴∠DEA＝∠EAB
∴∠DAE＝∠DEA
∴AD＝DE
（2）∵AB＝AC，AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE＝90°，∠CED+∠DEA＝90°
∴∠C＝∠CED
∴DE＝CD且DE＝3
∴AD＝DE＝CD＝3
∴AC＝6
14．（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
又∵AD＝BC，
∴AD＝DC；
（2）△DEF为等边三角形，
证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
15．解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝82°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣82°＝38°，
∵DB＝BA，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°，
∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝41°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE＝30°+38°+41°＝109°．
16．证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
17．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝75°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°．
18．解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
19．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴DH＝DC＝x，
则AD＝3﹣x．
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴，
∴，即CD＝；
（2），
∵BD＝2DE，
∴，
∴．
20．解：∵AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点G，
∴EA＝EB，GB＝GC，
∵∠ABC＝110°，
∴∠A+∠C＝70°，
∵EA＝EB，GB＝GC，
∴∠ABE＝∠A，∠GBC＝∠C，
∴∠ABE+∠GBC＝70°，
∴∠EBG＝110°﹣70°＝40°，
在四边形BDHF中，∵∠ABC＝110°、∠HDB＝∠HFB＝90°，
∴∠DHF＝360°﹣∠ABC﹣∠HDB﹣∠HFB＝70°．
21．解：（1）∵边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，
∴AE＝BE，
∵边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，
∴AF＝FC，
∵△AEF的周长为10，
∴AE+EF+AF＝BE+EF+FC＝BC＝10，
则BC＝10；
（2）∵∠B+∠C＝45°，
由（1）知∠B+∠C＝∠BAE+∠FAC，
∴∠FAE＝90°，
∵△AEF的周长为10，EF＝，
∴AE+AF＝，
∴（AE+AF）2＝，AE2+AF2＝，
∴AE AF＝5，
则△AEF的面积＝×AE AF＝2.5．
22．解：∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠BEA＝80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC．
∵∠BEA＝∠C+∠EAC，
∴∠C＝40°．
23．解：如图，连接MA，
∵M在线段AB的垂直平分线上，
∴MA＝MB＝2MC，
∵∠C＝90°，
∴AC2+CM2＝MA2，即3+MC2＝4MC2，
解得MC＝1，
∴MB＝2MC＝2，
∴BC＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝2，
即AB的长为2．
24．证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
25．（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A＝46°，
∴∠ABE＝∠A＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，
∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．
解答专题训练题（附答案）
1．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在CB边上，∠DAB＝∠B，点E在AB边上且满足∠CAB＝∠BDE．
求证：AE＝BE．
2．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
3．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC，EF分别交BC、BD于点F、G．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AE＝BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．
4．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
5．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，点M是AC的中点，在AD上取点E，使得DE＝AM，EM与DC的延长线交于点F．
（1）当∠BAC＝90°时，①求AE的长；②求∠F的大小．
（2）当∠BAC≠90°时，探究∠F与∠BAC的数量关系．
6．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
7．如图，AB∥CD，点E、N在AB上，点F在CD上，∠EFD的平分线FM交AB于点G，且GM＝GN，若∠EFC＝112°，求∠M的度数．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．
9．如图，在△ACB中，AC＝BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线．
求证：∠DAB＝∠ACE．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
（1）试求∠DAE的度数．
（2）如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？为什么？
11．如图，△ABC中，AB＝AC，且AC上的中线BD把这个三角形的周长分成了12cm和6cm的两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．
（1）若AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，求△BCE的周长；
（2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数．
13．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．
（1）求证AD＝ED；
（2）若AC＝AB，DE＝3，求AC的长．
14．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD＝DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝82°，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E，使CE＝CA，连接AD、AE，求∠D，∠E，∠DAE的度数．
16．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，且分别交CD、AC于点F、E．求证：CE＝CF．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，E是AB上一点且BD＝BE，求∠ADE的度数．
18．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．
（1）求线段CD的长；
（2）求△ADE的面积．
20．△ABC中，∠ABC＝110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．
21．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，△AEF的周长为10．
（1）求BC的长；
（2）若∠B+∠C＝45°，EF＝，求△AEF的面积．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，求∠C的度数．
23．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC＝，MB＝2MC，求AB的长．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
25．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
参考答案
1．证明：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°．
∵∠CAB＝∠BDE，
∴∠BDE+∠B＝90°，
∴∠DEB＝90°．
∵∠DAB＝∠B，
∴DA＝DB，
∴AE＝BE．
2．证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CDE+∠E，
∴∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点．
3．解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
∴BE＝CF．
（2）若AE＝BE，则AE＝DE＝BE，
∴∠A＝∠ADE，∠EBD＝∠EDB，
又∵∠A+∠ADE+∠EDB+∠EBD＝180°，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，即BD⊥AC，
又∵EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴图中的直角三角形为：△ABD，△CBD，△BEG，△BFG，△DEG．
4．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
5．解：（1）当∠BAC＝90°时，
①AE＝AD﹣DE＝AB﹣DE＝﹣；
②连接DM．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，AD＝DC．
∵点M是AC的中点，
∴DM＝MC＝AM＝DE，DM⊥AC，
∴∠MDC＝∠MDE＝45°，
∴∠DEM＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠F＝90°﹣67.5°＝22.5°；
（2）当∠BAC≠90°时，∠BAC＝4∠F．理由如下：
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴∠ADC＝90°．
设∠BAC＝4x，则∠DAC＝2x．
∵点M是AC的中点，
∴DM＝MC＝AM＝DE，
∴∠ADM＝∠DAC＝2x，
∴∠DEM＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，
∴∠F＝90°﹣DEM＝90°﹣（90°﹣x）＝x，
∴∠BAC＝4∠F．
6．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
7．解：∵∠EFC＝112°，
∴∠EFD＝180°﹣112°＝68°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD＝∠EFD＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠MGN＝∠GFD＝34°，
∵GM＝GN，
∴∠M＝∠MNG＝×（180°﹣∠MGN）＝73°．
8．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠DAE＝25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．
9．证明：∵AC＝BC，CE为△ACB的中线，
∴∠CAB＝∠B，CE⊥AB，
∴∠CAB+∠ACE＝90°，
∵AD为△ACB的高线，
∴∠D＝90°．
∴∠DAB+∠B＝90°，
∴∠DAB＝∠ACE，
10．解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，CE＝CA．
∴∠BAD＝（180°﹣45°）÷2，∠CAE＝45°÷2，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD+∠CAE＝45°．
（2）不变．
∠DAE＝90°﹣+∠ACB＝（∠B+∠ACB）＝45°，
从上式可看出当AB和AC不相等时，∠B+∠ACB也是定值为90°．
所以不变．
解法二：设∠E＝α．
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝α，
∴∠ACB＝2α，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣2α，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝45°+α，
∴∠CAD＝45°﹣α，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝45°﹣α+α＝45°．
∴∠DAE的度数不变．
11．解：设AD＝CD＝x，AB＝AC＝2x，BC＝y，
当AB+AD＝12时，，解得；
当AB+AD＝6时，，解得（不合题意，舍去）．
答：这个三角形的腰长是8，底边长是2
12．解：（1）∵DE垂直平分AB
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+EA+CE＝BC+AC＝16（cm）；
（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
13．证明：（1）∵AE是∠BAC的角平分线
∴∠DAE＝∠BAE
∵DE∥AB
∴∠DEA＝∠EAB
∴∠DAE＝∠DEA
∴AD＝DE
（2）∵AB＝AC，AE是∠BAC的角平分线
∴AE⊥BC
∴∠C+∠CAE＝90°，∠CED+∠DEA＝90°
∴∠C＝∠CED
∴DE＝CD且DE＝3
∴AD＝DE＝CD＝3
∴AC＝6
14．（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
又∵AD＝BC，
∴AD＝DC；
（2）△DEF为等边三角形，
证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
15．解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝82°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣82°＝38°，
∵DB＝BA，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°，
∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝41°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE＝30°+38°+41°＝109°．
16．证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
17．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝75°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°．
18．解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
19．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴DH＝DC＝x，
则AD＝3﹣x．
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴，
∴，即CD＝；
（2），
∵BD＝2DE，
∴，
∴．
20．解：∵AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点G，
∴EA＝EB，GB＝GC，
∵∠ABC＝110°，
∴∠A+∠C＝70°，
∵EA＝EB，GB＝GC，
∴∠ABE＝∠A，∠GBC＝∠C，
∴∠ABE+∠GBC＝70°，
∴∠EBG＝110°﹣70°＝40°，
在四边形BDHF中，∵∠ABC＝110°、∠HDB＝∠HFB＝90°，
∴∠DHF＝360°﹣∠ABC﹣∠HDB﹣∠HFB＝70°．
21．解：（1）∵边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，
∴AE＝BE，
∵边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，
∴AF＝FC，
∵△AEF的周长为10，
∴AE+EF+AF＝BE+EF+FC＝BC＝10，
则BC＝10；
（2）∵∠B+∠C＝45°，
由（1）知∠B+∠C＝∠BAE+∠FAC，
∴∠FAE＝90°，
∵△AEF的周长为10，EF＝，
∴AE+AF＝，
∴（AE+AF）2＝，AE2+AF2＝，
∴AE AF＝5，
则△AEF的面积＝×AE AF＝2.5．
22．解：∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠BEA＝80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC．
∵∠BEA＝∠C+∠EAC，
∴∠C＝40°．
23．解：如图，连接MA，
∵M在线段AB的垂直平分线上，
∴MA＝MB＝2MC，
∵∠C＝90°，
∴AC2+CM2＝MA2，即3+MC2＝4MC2，
解得MC＝1，
∴MB＝2MC＝2，
∴BC＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝2，
即AB的长为2．
24．证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
25．（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A＝46°，
∴∠ABE＝∠A＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，
∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．