2022—2023学年人教版数学八年级上册12.3 角的平分线的性质(2)同步练习　 （含答案）

第2课时 角的平分线的判定
01基础题
知识点1 角的平分线的判定
1. 如图，PC⊥OA，PD⊥OB，当PC=PD时，Rt△OPC≌Rt△ （ ），
∴∠POC=∠ .
第1题图 第2题图
2.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则∠AOQ=______．
3. 已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于O
求证：（1）当∠1=∠2时，OB=OC；
（2）当OB=OC时，∠1=∠2．
知识点2 兰角形的角平分线
4. 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( ).
A. 三条中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线交点
5. 如图，点O到△ABC三边的距离相等，∠ABC＝84°，则∠AOC＝______.
知识点3 角的平分线的实际应用
6, 如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
02中档题
7. 如图,△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△OAB:S△OAC:S△OBC= 。
8. 如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD． 求证：AD是∠BAC的外角平分线。
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB＝（ ）
A.50° B.45° C.40° D .35°
10. 中，AD是的平分线，且.若，则 的大小为 （ ）
A． B． C． D．
11.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．
12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB,D为AC上一点，若∠CBD＝20°，则∠CED＝（ ）
13.如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
14． 已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求出此时t的值；
参考答案：
1. 答案： OPD； HL； POD.
2. 答案：35°
解：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC=QD，
∴OQ是∠AOB的平分线，
∵∠AOB=70°，
∴∠AOQ=∠A0B=35°，
故答案喂35°．
3. 分析：（1）若∠1=∠2，则OA是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质可得OD=OE；通过证△ODB≌△OEC，即可得出OB=OC的结论．
（2）与（1）的思路正好相反，若OB=OC，可证得△ODB≌△OEC，得OD=OE，根据角平分线的判定定理，即可得出∠1=∠2的结论．
解答：证明：（1）∵∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD=OE．
在△OBD和△OCE中
∴△OBD≌△OCE（AAS）．
∴OB=OC．
（2）∵OB=OC，∠BOD=∠COE，∠ODB=∠OEC=90°，
∴△OBD≌△OCE（AAS）．
∴OD=OE．
又∵OD⊥AB，OE⊥AC，垂足为D、E，
∴∠1=∠2．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质及判定定理．
4. 答案：B
[解析]试题分析:根据角平分线的判定定理,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,所以到三角形三条边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.故本题选B.
考点:角平分线的判定定理的运用.
5. 答案：132°
6.作∠AOB的平分线交AB于M，即M为水厂的位置．
【解析】由已知条件，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知建在∠AOB的平分线与AB的交点上．
本题考点：角平分线的性质．
考点点评：本题主要考查角的平分线上的点到角的两边的距离相等的性质；一般的作图题要在图形上保留作图痕迹，此题的要求只要标出M就可，并非严格的作图题．
7. 答案：2:3:4
解:过点O作OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,
∵O是三角形三条角平分线的交点,
∴OD=OE=OF,
∵AB=4,AC=6,BC=8,
∴S△OAB:S△OAC:S△OBC=2:3:4.
8. 证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，
∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，
∴DE=DF．
同理DG=DF，
∴DE=DG，
∴点D在∠EAG平分线上，
∴AD是∠BAC的外角平分线．
本题主要考查角平分线的性质及判定.首先作辅助线：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知DE=DG，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明．
9.答案：B
【解析】可证EA是∠CAB外角平分线.过点E作EF、EM、EN分别垂直于CB、AB、CA，并且交点分别为F、M、N，所以EF＝EM＝EN.所以EA是∠CAB的外角平分线
10. 答案：A
【解析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，
2∠B＝∠C，所以∠B＝40°
11. 答案：
【解析】作EF⊥AD于F，证△DCE≌△DFE（HL），再证△AFE≌△ABE（HL），可得∠FEB＝180°－70°＝110°，∠AEB＝55°，∠EAB＝35°
12. 答案：10°
【解析】考虑△BDC中， EC 是∠C的平分线， EB是∠B的外角平分线， 所以E是△BDC的一个旁心， 于是ED平分∠BDA. ∠CED ＝ ∠ADE － ∠DCE ＝∠ADB － ∠DCB ＝∠DBC ＝ ×20°＝ 10°
13. 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠FAE，根据补角的定义计算，得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EF＝EG，EF＝EH，等量代换得到EG＝EH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解析】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴AD×EGCD×EH＝15，即4×EG8×EG＝15，
解得，EG＝EH，
∴EF＝EH，
∴△ABE的面积AB×EF7．
14. 【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．
【解析】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB∠ACB40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积DF AC2×4＝4．
15.【分析】（1）作PD⊥AB于D，如图，AP＝t，先利用勾股定理计算出AC＝8，再根据角平分线的性质得到PC＝PD＝8﹣t，利用三角形面积公式得到10×（8﹣t）6×（8﹣t）6×8，然后解方程即可；
【解析】解：（1）作PD⊥AB于D，如图，AP＝t，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC8，
∵BP平分∠ABC，
∴PC＝PD＝8﹣t，
∵S△ABP+S△BCP＝S△ABC，
∴10×（8﹣t）6×（8﹣t）6×8，
解得t＝5，
即此时t的值为5s；