高中物理：电磁感应中的动力学及能量问题（含解析）

电磁感应中的动力学及能量问题
(时间：40分钟　分值：100分)
基础练
一、选择题(本题共6小题，每小题6分)
1．很多相同的绝缘铜圆环沿竖直方向叠放，形成一根长的竖直圆筒．一条形磁铁沿圆筒的中心轴竖直放置，其下端与圆筒上端开口齐平．让条形磁铁从静止开始下落，条形磁铁在圆筒中的运动速率(　　)
A．均匀增大
B．先增大，后减小
C．逐渐增大，趋于不变
D．先增大，再减小，最后不变
2．如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框中导线的电阻都可不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　)
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将往返运动
3．(多选)如图所示，有两根和水平方向成α(α<90°)角的光滑平行的金属轨道，上端接有滑动变阻器R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m、电阻不计的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则(　　)
A．如果B增大，vm将变大
B．如果α变大(仍小于90°)，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
4.(多选)如图所示，金属杆ab以恒定的速率v在光滑平行导轨上向右滑行，设整个电路中总电阻为R(恒定不变)，整个装置置于垂直纸面向里的匀强磁场中，下列叙述正确的是(　　)
A．ab杆中的电流与速率v成正比
B．磁场作用于ab杆的安培力与速率v成正比
C．电阻R上产生的热功率与速率v的二次方成正比
D．外力对ab杆做功的功率与速率v成正比
5．如图所示，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B.正方形金属框abcd可绕光滑轴OO′转动，边长为L，总电阻为R，ab边质量为m，其他三边质量不计，现将abcd拉至水平位置，并由静止释放，经一定时间到达竖直位置，ab边的速度大小为v，则在金属框内产生热量大小等于(　　)
A.　　　　 B.
C．mgL－ D．mgL＋
6．如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，金属棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，金属棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于(　　)
A．金属棒的机械能增加量
B．金属棒的动能增加量
C．金属棒的重力势能增加量
D．电阻R上放出的热量
二、非选择题(14分)
7．如图所示，光滑平行的水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO1O′1O′矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B.一质量为m、电阻为r的导体棒ab，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d0.现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动(棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计)．求：
(1)棒ab在离开磁场右边界时的速度；
(2)棒ab通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能．
提升练
一、选择题(本题共4小题，每小题6分)
1．(多选)(2021·全国甲卷)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是(　　)
A．甲和乙都加速运动
B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动
D．甲减速运动，乙加速运动
2．如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则(　　)
A．Q1＞Q2，q1＝q2　　 B．Q1＞Q2，q1＞q2
C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2
3.(多选)(2021·湖南卷)两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为L，通过长为L的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体，距离组合体下底边H处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平，高度为L，左右宽度足够大，把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度v0水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小B使其匀速通过磁场，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．B与v0无关，与成反比
B．通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C．通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D．调节H、v0和B，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变
4．(多选)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环．圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B.圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，则(　　)
A．此时在圆环中产生了(俯视)顺时针的感应电流
B．圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C．此时圆环的加速度a＝
D．如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度vm＝
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5.(13分)如图所示，两平行金属导轨位于同一水平面上，相距l，左端与一阻值为R的电阻相连，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下．一质量为m的导体棒置于导轨上，在水平外力作用下沿导轨以速率v匀速向右滑动，滑动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好．已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速率大小为g，导轨和导体棒的电阻均可忽略．求：
(1)电阻R消耗的功率；
(2)水平外力的大小．
6．(13分)如图甲所示，足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
甲　　　　　　　　乙
(1)判断金属棒两端a、b的电势高低；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)在金属棒ab开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．
参考答案：
基础练
一、选择题(本题共6小题，每小题6分)
1．很多相同的绝缘铜圆环沿竖直方向叠放，形成一根长的竖直圆筒．一条形磁铁沿圆筒的中心轴竖直放置，其下端与圆筒上端开口齐平．让条形磁铁从静止开始下落，条形磁铁在圆筒中的运动速率(　　)
A．均匀增大
B．先增大，后减小
C．逐渐增大，趋于不变
D．先增大，再减小，最后不变
C　[对磁铁受力分析可知，磁铁重力不变，磁场力随速率的增大而增大，当重力等于磁场力时，磁铁匀速下落，所以选项C正确．]
2．如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框中导线的电阻都可不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　)
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速
B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将往返运动
A　[ef向右运动，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀减速，由F＝BIL＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动，故A正确．]
3．(多选)如图所示，有两根和水平方向成α(α<90°)角的光滑平行的金属轨道，上端接有滑动变阻器R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m、电阻不计的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则(　　)
A．如果B增大，vm将变大
B．如果α变大(仍小于90°)，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
BC　[金属杆由静止开始下滑的过程中，金属杆就相当于一个电源，与滑动变阻器R构成一个闭合回路，其受力情况如图所示，根据牛顿第二定律得：mgsin α－＝ma
所以金属杆由静止开始做加速度逐渐减小的加速运动，当a＝0时达到最大速度vm，即mgsin α＝，可得：vm＝，故由此式知选项B、C正确．]
4.(多选)如图所示，金属杆ab以恒定的速率v在光滑平行导轨上向右滑行，设整个电路中总电阻为R(恒定不变)，整个装置置于垂直纸面向里的匀强磁场中，下列叙述正确的是(　　)
A．ab杆中的电流与速率v成正比
B．磁场作用于ab杆的安培力与速率v成正比
C．电阻R上产生的热功率与速率v的二次方成正比
D．外力对ab杆做功的功率与速率v成正比
ABC　[由E＝Blv和I＝得I＝，所以安培力F＝BIl＝，电阻上产生的热功率P＝I2R＝，外力对ab做功的功率就等于回路产生的热功率，故A、B、C正确．]
5．如图所示，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B.正方形金属框abcd可绕光滑轴OO′转动，边长为L，总电阻为R，ab边质量为m，其他三边质量不计，现将abcd拉至水平位置，并由静止释放，经一定时间到达竖直位置，ab边的速度大小为v，则在金属框内产生热量大小等于(　　)
A.　　　　 B.
C．mgL－ D．mgL＋
C　[金属框绕光滑轴转动的过程中机械能有损失但能量守恒，损失的机械能为mgL－，故产生的热量为mgL－，答案C正确．]
6．如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，金属棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，金属棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于(　　)
A．金属棒的机械能增加量
B．金属棒的动能增加量
C．金属棒的重力势能增加量
D．电阻R上放出的热量
A　[由动能定理有WF＋W安＋WG＝ΔEk，则WF＋W安＝ΔEk－WG，WG<0，故ΔEk－WG表示机械能的增加量．故选A.]
二、非选择题(14分)
7．如图所示，光滑平行的水平金属导轨MN、PQ相距l，在M点和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO1O′1O′矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B.一质量为m、电阻为r的导体棒ab，垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d0.现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动(棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计)．求：
(1)棒ab在离开磁场右边界时的速度；
(2)棒ab通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能．
[解析]　(1)棒在磁场中匀速运动时，有F＝F安＝BIl，
再根据I＝＝，
联立解得v＝.
(2)安培力做的功转化成两个电阻消耗的电能Q，由能量守恒定律可得
F(d0＋d)＝Q＋mv2，
解得Q＝F(d0＋d)－.
[答案]　(1)
(2)F(d0＋d)－
提升练
一、选择题(本题共4小题，每小题6分)
1．(多选)(2021·全国甲卷)由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是(　　)
A．甲和乙都加速运动
B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动
D．甲减速运动，乙加速运动
AB　[两线圈的质量相等，线圈所用材料相同，则体积相同，甲线圈的匝数是乙的2倍，则甲的横截面积是乙的一半，长度是乙的2倍，由电阻定律可知，甲的电阻是乙的4倍；两线圈从同一高度同时由静止开始下落，则到达磁场上边界时两线圈的速度相同，设乙线圈的匝数为n，两线圈的边长均为l，两线圈进入磁场后，乙受到的安培力F乙＝nBIl＝，甲受到的安培力F甲＝＝，可见，甲、乙受到的安培力大小相同，重力也相同，则运动情况相同，A、B正确．]
2．如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则(　　)
A．Q1＞Q2，q1＝q2　　 B．Q1＞Q2，q1＞q2
C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2
A　[根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即Q1＝W1＝F1lbc＝lbc＝lab，同理Q2＝lbc，又lab＞lbc，故Q1＞Q2；因q＝t＝t＝，故q1＝q2，故A正确．]
3.(多选)(2021·湖南卷)两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为L，通过长为L的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体，距离组合体下底边H处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平，高度为L，左右宽度足够大，把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度v0水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小B使其匀速通过磁场，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．B与v0无关，与成反比
B．通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变
C．通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等
D．调节H、v0和B，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变
CD　[设金属框进入磁场时的竖直分速度为vy，可知vy＝，金属框所受安培力F＝BIL，电流I＝，E＝BLv，根据受力平衡可得mg＝，可知B2与成反比，B与v0无关，A错误；金属框进入磁场和穿出磁场的过程中中，电流的大小保持不变，方向由逆时针变为顺时针，B错误；从下金属框进入磁场到上金属框离开磁场，整个过程金属框做匀速直线运动，安培力和重力等大反向，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等，C正确；组合体从进入磁场到穿出磁场，不论怎样调节H、v0和B，只要组合体匀速通过磁场，在通过磁场的过程中，产生的热量始终等于减少的重力势能，D正确。]
4．(多选)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环．圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B.圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，则(　　)
A．此时在圆环中产生了(俯视)顺时针的感应电流
B．圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C．此时圆环的加速度a＝
D．如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度vm＝
AD　[由右手定则可以判断感应电流的方向，可知选项A正确；由左手定则可以判断，此时圆环受到的安培力应该向上，选项B错误；对圆环受力分析可解得加速度a＝g－，选项C错误；当重力等于安培力时速度达到最大，可得vm＝，选项D正确．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5.(13分)如图所示，两平行金属导轨位于同一水平面上，相距l，左端与一阻值为R的电阻相连，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下．一质量为m的导体棒置于导轨上，在水平外力作用下沿导轨以速率v匀速向右滑动，滑动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好．已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速率大小为g，导轨和导体棒的电阻均可忽略．求：
(1)电阻R消耗的功率；
(2)水平外力的大小．
[解析]　(1)导体棒切割磁感线运动产生的感应电动势为E＝Blv，根据闭合电路欧姆定律，闭合回路中的感应电流为I＝，电阻R消耗的功率为P＝I2R，联立可得P＝.
(2)对导体棒受力分析，受到向左的安培力和向左的摩擦力及向右的外力，三力平衡，故有
F安＋μmg＝F，F安＝BIl＝B··l，
故F＝＋μmg.
[答案]　(1)　(2)＋μmg
6．(13分)如图甲所示，足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
甲　　　　　　　　乙
(1)判断金属棒两端a、b的电势高低；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)在金属棒ab开始运动的1.5 s内，电阻R上产生的热量．
[解析]　(1)由右手定则可知，ab中的感应电流由a流向b，ab相当于电源，则b端电势高，a端电势低．
(2)由x t图象得t＝1.5 s时金属棒的速度为：
v＝＝ m/s＝7 m/s
金属棒匀速运动时所受的安培力大小为：F＝BIL
I＝，E＝BLv
联立得：F＝
根据平衡条件得：F＝mg
则有：mg＝
代入数据解得：B＝0.1 T.
(3)金属棒ab在开始运动的1.5 s内，金属棒的重力势能减小，转化为金属棒的动能和电路的内能．设电路中产生的总焦耳热为Q
根据能量守恒定律得：mgx＝mv2＋Q
代入数据解得：Q＝0.455 J
故R产生的热量为QR＝Q＝0.26 J.
[答案]　(1)a端电势低，b端电势高
(2)0.1 T　(3)0.26 J
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