2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4空间向量的应用 学案无答案

空间向量与立体几何（1）
班级：高一（ ）班 姓名： .
一、直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：①与直线 的非零向量；
②构造方法：取直线上两点直接构造向量即可
③应用：方向向量与直线平行，则与直线有关的平行、垂直、夹角问题均可
转化为利用直线的方向向量进行解决
即：直线的方向向量完全代替直线参与证明和计算
（2）平面的法向量：①概念： 于平面的向量
②构造方法：任取平面内两个不共线的向量进行构造，具体方法如下：
设平面内任取两个不共线的向量为：
若其法向量为
则： →
→
→
③ 应用：法向量与平面垂直，则与平面有关的平行、垂直、夹角问题均可转
化为利用法向量进行解决
注：若所求出的法向量数字不友好，可以取一个与之平行的向量进行计算
即：平面的法向量完全代替平面参与证明和计算
二、空间向量与几何证明及角度计算（记两直线的方向向量为，平面的法向量为）
（1）线线关系——转化为两直线的 的关系
① 线线平行 ②线线垂直
（2）线面关系——转化为直线的 与平面的 之间的关系
① 线面平行 ②线面垂直
（3）面面关系——转化为两平面的 的关系
① 面面平行 ②面面垂直
【例1】在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE＝CA＝CB＝2DB，
∠ACB＝90°，M为AD的中点．证明：EM⊥AB；
说明：题目未明确给出三个垂直之前，建立空间直角坐标系需先证明三个垂直
变式训练：如图四棱锥的底面为正方形，，平面，,分别为的中点，求证：面
提示：利用向量证明线面垂直，只需利用向量直接证明垂直于两相交直线即可
【例2】三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱底面,为的中点，证明：平面
变式训练 直三棱柱中，，分别为的中点，求证：平面平面
变式训练 在三棱柱中，已知侧棱底面,为的中点，，,，求证：
作业布置：
一．选择题（共5小题）
1．平面的法向量，平面的法向量，已知，则　　
A． B． C．3 D．
2．若平面与的法向量分别是，4，，，2，，则平面与的位置关系是　　
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定
3．若平面，的法向量分别为，2，，，，，且，则的值为　　
A．10 B． C． D．
4．若平面与的法向量分别是，0，，，0，，则平面与的位置关系是　　
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断
5．已知，，，，4，，，2，，若、、三向量共面，则实数等于　　
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共1小题）
6．设平面与向量，2，垂直，平面与向量，3，垂直，则平面与位置关系是　　．
三．解答题（共3小题）
7．如图，在直三棱柱中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
8．在边长是2的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求的长；
（2）证明：平面；
（3）证明：平面．
9．如图，在三棱柱中，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面，，求证：平面．