2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式单元检测（含解析）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元检测
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．6
5．不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
6．不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
7．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
8．若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．若-2C．若a>b>0，m>0，则 D．若a>b，c>d，则ac>bd
11．已知，且.则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．不等式的解集是
C． D．不等式的解集为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．不等式的解集为__________．
14．已知实数、满足，，则的取值范围为______．
15．已知不等式对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 ．
16．若，，则的取值范围为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）若，，求，的取值范围；
（2）已知，满足，，求的取值范围．
18．解以下一元二次不等式
(1)；(2)；(3)；(4)
19．（1）设，求的最大值；
（2）已知，，若，求的最小值．
20．设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；(2)．
21．关于的不等式的解集为或，
(1)求关于的不等式的解集
(2)求关于的不等式的解集．
22．已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考解析
1．B
【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.
【解析】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误；
B. 若，则，所以该选项正确；
C. 若，则，所以该选项错误；
D. 若，则，所以该选项错误.
故选：B
2．B
【分析】利用基本不等式的性质比较大小即可.
【解析】由题知：，且，所以，，故排除D.
因为，故排除A.
因为，故排除C.
故选：B
3．C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【解析】，，则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故选：．
4．A
【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.
【解析】因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.故选：A.
5．B
【分析】解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘，再利用十字相乘法，可得答案，
【解析】法一：原不等式即为，即，解得，
故原不等式的解集为．
法二：当时，不等式不成立，排除A，C；当时，不等式不成立，排除D．
故选：B．
6．B
【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．
【解析】解：不等式可转化为，即，即，
所以不等式等价于解得：，
所以原不等式的解集是故选：B
7．A
【分析】由题意知在上有解，等价于，解不等式即可求实数的取值范围.
【解析】因为关于的不等式在上有解，
即在上有解，
只需的图象与轴有公共点，
所以，即，所以，解得：，
所以实数的取值范围是，故选：A.
8．A
【分析】等价于，再对分类讨论得解.
【解析】原不等式等价于，
①当时，对任意的不等式都成立；
②当时，，所以；
③当时，显然不能成立.
综合①②③，得的取值范围是.故选：A
9．BC
【分析】利用赋值法及不等式的性质即可求解.
【解析】取，，则，故选项A错误；
因为，，所以，，所以，故选项B正确；
因为，，所以，故选项C正确；
因为，所以，，所以，故选项D错误．
故选：BC.
10．AC
【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.
【解析】对于A，因c2+1>0，于是有>0，而a>b，由不等式性质得，A正确；
对于B，因为1对于C，因为a>b>0，所以，又因为m>0，所以，C正确；
对于D，且，而，即ac>bd不一定成立，D错误.
故选：AC
11．AC
【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.
【解析】当时，，所以BD选项错误.
A，，当且仅当时，等号成立，A正确.
C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.
故选：AC
12．ABD
【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.
【解析】关于的不等式的解集为选项正确；
且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，
则，则，C选项错误；
不等式即为，解得选项正确；
不等式即为，即，解得或选项正确.
故选：.
13．{x|x≥1或x＜﹣2}
【分析】利用移项，通分，转化整式不等式求解即可．
【解析】由得，即，
解得：x≥1或x＜﹣2，所以原不等式的解集为{x|x≥1或x＜﹣2}．
14．
【分析】设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.
【解析】设，则，解得，
所以，因为，，
所以，，所以
15．9
【分析】根据基本不等式可得，进而可得，即得.
【解析】因为，
当且仅当，，时取等号，
所以，整理得，解得，
故正实数 a 的最小值为9．
16．
【分析】根据的范围求出的范围，再根据不等式的同向相加性质即可求得的范围.
【解析】因为，所以；又因为，所以，
所以．
17．【分析】（1）根据，得到，同理由，
得到，再利用不等式的基本性质加法和乘法求解.
（2）设，利用待定系数法求得m，n，
再根据，求解.
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以，；
（2）设，
则，解得，所以，
又因为，，所以
18．【分析】（1）（3）（4）对不等式的左边分解因式求解，
（2）由，得，然后对不等式的左边分解因式求解，
【解析】（1）由，得，
解得，所以不等式的解集为
（2）由，得，
则，解得或，
所以不等式的解集为或
（3）由，得，解得，
所以不等式的解集为
（4）由，得，得，所以不等式的解集为
19．【分析】（1）将转化为，用基本不等式求最大值即可；
（2）将变形为，整理后用基本不等式求最值.
【解析】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为；
（2）因为，，所以，．
又，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
20．【分析】（1）根据基本不等式得到三个同向不等式，再相加即可得证；
（2）根据均值不等式可证不等式成立.
【解析】（1）因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
即，当且仅当时，等号成立.
（2）因为,
所以，当且仅当时，等号成立，
即，即，所以，
当且仅当时，等号成立.
21．【分析】（1）由不等式的解集求出与值，代入，可求解；
（2）将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可．
【解析】（1）不等式的解集为或，
所以，解得，；
所以不等式化为，解得；
所求不等式的解集为；
（2）化为即，
所求不等式的解集为．
22．【分析】（1）不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式可得参数范围；
（2）不等式换成以为主元，为一次不等式，这样只要和时不等式都成立即可得的范围．
（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立
则关于的方程的判别式，
即，解得，所以实数的取值范围为．
（2）不等式，
可看成关于的一次不等式，又，
所以，解得且，
所以实数的取值范围是．