2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1 等差数列的概念（1） 教学设计
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1 等差数列的概念（1） 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-07 21:28:32 | ||
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文档简介
4.2.1 等差数列的概念（1）（详案）
通过研究最新版《普通高中课程方案及课程标准》，我按照“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、 探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”的要求，遵从“既要重结论，又要重过程” 的现代教育理念，着眼于概念和结论的生成过程来上等差数列的概念（第一课时）这一节课。
教学模式
对于这一节课的教学模式，我严格按照滨州市数学教研员王文清老师倡导的“自主学习与创新意识培养”数学课堂教学模式进行，大体按照以下7个环节展开：
1.设计问题，创设情境；
2.学生探索，尝试解决；
3.信息交流，揭示规律；
4.运用规律，解决问题；
5.变练演编，深化提高；
6.信息交流，教学相长；
7.反思小结，观点提炼。
教材分析：
等差数列是在学生已经学习了数列的有关概念，并且可以观察归纳得出通项公式之后的基础上对数列的知识进一步深入学习。等差数列作为数列部分的主要内容，它起着承前启后的作用，是学生探究特殊数列的开始，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，同时也培养了学生数学能力。同学们在学习后续内容时，会感受到无论在知识上，还是在方法上这节的学习都具有积极的意义。
学情分析 ：
高二的学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，并且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程。以及对函数和方程思想有所体会，也能够应用数学公式解决简单问题。但是他们的思维仍然需要依赖一定的具体实例来理解并抽象出数学概念，同时思维的严密性有待加强。
教学目标：
1. 通过实例，让学生理解等差数列的定义，了解等差中项的定义及性质；
2.使学生掌握等差数列的通项公式，体会等差数列通项公式与一次函数的关系；
3. 让学生学会用等差数列的通项公式解决简单的数学问题.
核心素养目标：
数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模。
教学重点：
等差数列的定义、等差数列的通项公式及其运用.
教学难点：
等差数列定义的生成及通项公式的推导.
教学过程：
复习引入：
引导语：同学们，我们上一节课学习了数列的定义、性质及其相关概念（如：通项公式、递推公式、前n项和等），并且知道了数列是一类特殊的函数。既然数列是函数，那么我们可以类比学习函数的一般流程来学习数列。
问题1：在必修一中，我们是按照什么流程来学习函数的？对你下一步学习数列有什么启发？
师生活动：学生回答：按照定义→表示→性质→特殊函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的研究。类比这一流程，下一步可能学习特殊的数列。教师归纳：下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手，这就引出了我们马上要学习的内容——等差数列。
设计意图：既然数列是函数，就可以把数列纳入到函数的体系中。这样我们可以从函数的观点看去研究数列，那么我们可以采用与研究函数类似的框架结构。即在了解了数列的一般概念后，我们自然就想到研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式，并运用它们解决数学问题和实际问题。通过以上问题的提出，结合学生的回答情况，既承上又启下，引出新课主题。
新课导学，探究学习
设计问题，创设情境
探究1：等差数列的定义
问题2：观察下列5个数列，把具有相同规律的多个数列分成一组，你能分出几组？
3，5，7，9，11，13…… ①
1，2，4，8，16，32…… ②
-1，1，-1，1，-1，1…… ④
0，1，0，1，0，1…… ⑤
学生探索，尝试解决
师生活动：学生展开小组合作探究并回答：①③、②④、④⑤……
教师追问：是按照什么规律分组的？学生回答。在学生回答的基础上，教师归纳补充。通过分组对比，规律更加清晰，对规律的认识也更加深刻。
设计意图：仅仅用了5个数列，就产生了多种分组，既规避了对原教材上实例的大量文字阅读，又显得清新明朗。关键是极大提升了学生的思维量，更能通过4种分组的对比对等差数列的定义有更深刻的理解。而且增加了教学过程的趣味性、实践性，刚刚开课就调动起了学生积极性，点燃了学生的学习激情。这样在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，这实际上是以概念形成的方式，利用观察、归纳等方法来发现规律，通过这种方式培养了学生的数学抽象和数学运算的数学素养。
信息交流，揭示规律
引导语：①③是同学们分出的第一组，规律很明显：从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。那么凡事具有这种规律的数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，就叫做等差数列。这样就抽象出等差数列的概念。同时得出等差数列的递推公式：an+1-an=d和“等差中项”的定义及性质。
运用规律，解决问题
（1）做一做:观察下面几组数列，判断下列数列是否为等差数列:
①9,6,3,0,-3,-6
②0,5,9,15,20,25
③2,2,2,2,2,2
（2）说一说：你能举出身边的等差数列的例子吗？
师生活动：学生回答。在学生回答的基础上，教师作补充。
设计意图：利用等差数列定义判断一个数列是否为等差数列，同时对等差数列的定义进行巩固和再认识。
探究2：求等差数列的通项公式
设计问题，创设情境
问题3：设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d，你能用a1、d、n写出等差数列的通项公式吗？
教师提出探究任务，展开小组合作探究。
学生探索，尝试解决
师生活动：学生分享交流各小组的探究结果。
信息交流，揭示规律
学生1：借助等差数列的递推公式：an+1-an=d，再通过把a2，a3，a4，…分别表示为a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d的形式，从而归纳得到an=a1+(n-1)d，这就是首项为a，公差为d的等差数列{an}的通项公式。教师对学生的推导表示肯定，但这里教师要提醒学生，上述推理过程属于归纳推理，而由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。因此，等差数列通项公式需要用后续“4.4数学归纳法”的知识予以严格的证明.
学生2：提出也把n-1个等式a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d,…,an-an-1=d的左右两边分别依次相加，得到an-a1=(n-1)d，从而也可以得到等差数列{an}的通项公式。实际上，这是“累加法”这就是递推公式的一种应用，由于这种方法带有一定的技巧性，学生可能不容易想到。
在学生回答的基础上，教师作补充提醒：
思考：观察下面的式子，你能得出什么结论？
对于你求等差数列的通项公式有何启发？
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+……+(an-an-1)
师生活动：学生能发现这是一个恒等式，不管这个数列是什么数列，这个式子都成立。
教师追问：若已知{an}为等差数列呢？
学生很快得出了等差数列的通项公式，而且这样显得推导过程简洁明了。
设计意图：利用刚刚得出的等差数列的定义，求等差数列的通项公式，是运用规律，解决的体现。引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力。学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．
运用规律，解决问题
例1.（1）已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an=( )
A.4-2n B.2n-4 C.6-2n D.2n-6
师生活动：学生回答。在学生回答的基础上，教师作补充。
设计意图：利用等差数列通项公式求解，同时对等差数列的通项公式进行巩固和再认识。
教师追问：对于例1（2）你还能求出哪些量？
学生回答：a2，a3，a4，…
教师总结：即我们给自变量赋一个值，就能得到一个函数值，这正是函数思想的体现，数列本身就是一种函数。观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
设计意图：引出探究3。
探究3：等差数列通项公式与一次函数的关系：
设计问题，创设情境
问题：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
信息交流，揭示规律
师生活动：学生回答：把等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(d≠0)变形为an=dn+(a1-d)(d≠0)，得到了{an}就是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)的自变量取正整数时的函数值，而且直线f(x)=dx+(a1-d)是以等差数列的公差d为斜率的。
设计意图：让学生从函数的角度理解数列，加深学生对等差数列的认识。
问题：你能结合一次函数的图像，得到等差数列的图像吗？
师生活动：学生想到：通过在函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)的图象上画出自变量取正整数的点，得到了数列{an}的图象。
设计意图：使学生从表达式和图象两个方面阐明了等差数列与相应的一次函数之间的关系。
问题：给你一个任意的一次函数，如何由它构造一个等差数列？
师生活动:学生回答：任给一次函数（k，b为常数），则
，
，
…，
，
…
构成一个等差数列，首项为k+b，公差为k。
设计意图：分两个方面研究了等差数列与一次函数的关系。由确定一个一次函数需要两个独立的条件可知，确定一个等差数列需要两个独立的条件。特别地，如果给定等差数列的首项和公差，那么这个数列就唯一确定了，因此，在等差数列的教学中，要特别强调首项和公差的重要性。
运用规律，解决问题
做一做：
若数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )
A.是公差为2的递增等差数列
B.是公差为5的递增等差数列
C.是首项为7的递减等差数列
D.是公差为2的递减等差数列
师生活动：学生回答，教师引导。
设计意图：（1）根据等差数列通项公式的定义，由数列的前两项获得首项、公差，即可求得通项公式，进而可以求出数列的任一项。（2）借助第一问求得的通项公式，判断某个数是不是该数列的项。
通项公式an=a1+(n-1)d中有四个量a1,d,n,an,求解过程中反映了基本量思想和“知三求一”的方程思想.
5.变练演编，深化提高
请同学们把题目补充完整：
（1）已知等差数列通项公式an=2n-3, _______________？
（2） ________________ , 求等差数列通项公式an。
6.信息交流，教学相长
师生活动：学生回答，教师引导。学生在回答中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识。
设计意图：编题实践是学生创新精神和实践能力得以锻炼和表现的最佳措施，是使学生的主观能动性得以充分发挥的有效措施，也是丰富课堂内容的有效方法。让学生自己模仿或创造性的编拟数学(变式)题，供全班同学研究和解答。这样既加深学生对问题的理解,又促进学生的创新意识。
反思小结，观点提炼
三、课堂小结
严格按照王文清老师2015年提出的“四问法”进行课堂小结：
1. 这节课你收获了哪些知识、技能？
2. 你是怎样收获这些知识、技能的？
3. 在收获这些知识、技能的过程中用到了哪些思想、方法？
4.你还有哪些疑惑？
“四问法”课堂小结往往是一节课有没有教学效果的试金石。
四、练习巩固
教材15页练习题及相应同步练习。
通过研究最新版《普通高中课程方案及课程标准》，我按照“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、 探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”的要求，遵从“既要重结论，又要重过程” 的现代教育理念，着眼于概念和结论的生成过程来上等差数列的概念（第一课时）这一节课。
教学模式
对于这一节课的教学模式，我严格按照滨州市数学教研员王文清老师倡导的“自主学习与创新意识培养”数学课堂教学模式进行，大体按照以下7个环节展开：
1.设计问题，创设情境；
2.学生探索，尝试解决；
3.信息交流，揭示规律；
4.运用规律，解决问题；
5.变练演编，深化提高；
6.信息交流，教学相长；
7.反思小结，观点提炼。
教材分析：
等差数列是在学生已经学习了数列的有关概念，并且可以观察归纳得出通项公式之后的基础上对数列的知识进一步深入学习。等差数列作为数列部分的主要内容，它起着承前启后的作用，是学生探究特殊数列的开始，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，同时也培养了学生数学能力。同学们在学习后续内容时，会感受到无论在知识上，还是在方法上这节的学习都具有积极的意义。
学情分析 ：
高二的学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，并且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程。以及对函数和方程思想有所体会，也能够应用数学公式解决简单问题。但是他们的思维仍然需要依赖一定的具体实例来理解并抽象出数学概念，同时思维的严密性有待加强。
教学目标：
1. 通过实例，让学生理解等差数列的定义，了解等差中项的定义及性质；
2.使学生掌握等差数列的通项公式，体会等差数列通项公式与一次函数的关系；
3. 让学生学会用等差数列的通项公式解决简单的数学问题.
核心素养目标：
数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模。
教学重点：
等差数列的定义、等差数列的通项公式及其运用.
教学难点：
等差数列定义的生成及通项公式的推导.
教学过程：
复习引入：
引导语：同学们，我们上一节课学习了数列的定义、性质及其相关概念（如：通项公式、递推公式、前n项和等），并且知道了数列是一类特殊的函数。既然数列是函数，那么我们可以类比学习函数的一般流程来学习数列。
问题1：在必修一中，我们是按照什么流程来学习函数的？对你下一步学习数列有什么启发？
师生活动：学生回答：按照定义→表示→性质→特殊函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的研究。类比这一流程，下一步可能学习特殊的数列。教师归纳：下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手，这就引出了我们马上要学习的内容——等差数列。
设计意图：既然数列是函数，就可以把数列纳入到函数的体系中。这样我们可以从函数的观点看去研究数列，那么我们可以采用与研究函数类似的框架结构。即在了解了数列的一般概念后，我们自然就想到研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式，并运用它们解决数学问题和实际问题。通过以上问题的提出，结合学生的回答情况，既承上又启下，引出新课主题。
新课导学，探究学习
设计问题，创设情境
探究1：等差数列的定义
问题2：观察下列5个数列，把具有相同规律的多个数列分成一组，你能分出几组？
3，5，7，9，11，13…… ①
1，2，4，8，16，32…… ②
-1，1，-1，1，-1，1…… ④
0，1，0，1，0，1…… ⑤
学生探索，尝试解决
师生活动：学生展开小组合作探究并回答：①③、②④、④⑤……
教师追问：是按照什么规律分组的？学生回答。在学生回答的基础上，教师归纳补充。通过分组对比，规律更加清晰，对规律的认识也更加深刻。
设计意图：仅仅用了5个数列，就产生了多种分组，既规避了对原教材上实例的大量文字阅读，又显得清新明朗。关键是极大提升了学生的思维量，更能通过4种分组的对比对等差数列的定义有更深刻的理解。而且增加了教学过程的趣味性、实践性，刚刚开课就调动起了学生积极性，点燃了学生的学习激情。这样在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，这实际上是以概念形成的方式，利用观察、归纳等方法来发现规律，通过这种方式培养了学生的数学抽象和数学运算的数学素养。
信息交流，揭示规律
引导语：①③是同学们分出的第一组，规律很明显：从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。那么凡事具有这种规律的数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，就叫做等差数列。这样就抽象出等差数列的概念。同时得出等差数列的递推公式：an+1-an=d和“等差中项”的定义及性质。
运用规律，解决问题
（1）做一做:观察下面几组数列，判断下列数列是否为等差数列:
①9,6,3,0,-3,-6
②0,5,9,15,20,25
③2,2,2,2,2,2
（2）说一说：你能举出身边的等差数列的例子吗？
师生活动：学生回答。在学生回答的基础上，教师作补充。
设计意图：利用等差数列定义判断一个数列是否为等差数列，同时对等差数列的定义进行巩固和再认识。
探究2：求等差数列的通项公式
设计问题，创设情境
问题3：设一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d，你能用a1、d、n写出等差数列的通项公式吗？
教师提出探究任务，展开小组合作探究。
学生探索，尝试解决
师生活动：学生分享交流各小组的探究结果。
信息交流，揭示规律
学生1：借助等差数列的递推公式：an+1-an=d，再通过把a2，a3，a4，…分别表示为a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d的形式，从而归纳得到an=a1+(n-1)d，这就是首项为a，公差为d的等差数列{an}的通项公式。教师对学生的推导表示肯定，但这里教师要提醒学生，上述推理过程属于归纳推理，而由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。因此，等差数列通项公式需要用后续“4.4数学归纳法”的知识予以严格的证明.
学生2：提出也把n-1个等式a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d,…,an-an-1=d的左右两边分别依次相加，得到an-a1=(n-1)d，从而也可以得到等差数列{an}的通项公式。实际上，这是“累加法”这就是递推公式的一种应用，由于这种方法带有一定的技巧性，学生可能不容易想到。
在学生回答的基础上，教师作补充提醒：
思考：观察下面的式子，你能得出什么结论？
对于你求等差数列的通项公式有何启发？
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+……+(an-an-1)
师生活动：学生能发现这是一个恒等式，不管这个数列是什么数列，这个式子都成立。
教师追问：若已知{an}为等差数列呢？
学生很快得出了等差数列的通项公式，而且这样显得推导过程简洁明了。
设计意图：利用刚刚得出的等差数列的定义，求等差数列的通项公式，是运用规律，解决的体现。引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力。学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．
运用规律，解决问题
例1.（1）已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an=( )
A.4-2n B.2n-4 C.6-2n D.2n-6
师生活动：学生回答。在学生回答的基础上，教师作补充。
设计意图：利用等差数列通项公式求解，同时对等差数列的通项公式进行巩固和再认识。
教师追问：对于例1（2）你还能求出哪些量？
学生回答：a2，a3，a4，…
教师总结：即我们给自变量赋一个值，就能得到一个函数值，这正是函数思想的体现，数列本身就是一种函数。观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
设计意图：引出探究3。
探究3：等差数列通项公式与一次函数的关系：
设计问题，创设情境
问题：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
信息交流，揭示规律
师生活动：学生回答：把等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(d≠0)变形为an=dn+(a1-d)(d≠0)，得到了{an}就是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)的自变量取正整数时的函数值，而且直线f(x)=dx+(a1-d)是以等差数列的公差d为斜率的。
设计意图：让学生从函数的角度理解数列，加深学生对等差数列的认识。
问题：你能结合一次函数的图像，得到等差数列的图像吗？
师生活动：学生想到：通过在函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)的图象上画出自变量取正整数的点，得到了数列{an}的图象。
设计意图：使学生从表达式和图象两个方面阐明了等差数列与相应的一次函数之间的关系。
问题：给你一个任意的一次函数，如何由它构造一个等差数列？
师生活动:学生回答：任给一次函数（k，b为常数），则
，
，
…，
，
…
构成一个等差数列，首项为k+b，公差为k。
设计意图：分两个方面研究了等差数列与一次函数的关系。由确定一个一次函数需要两个独立的条件可知，确定一个等差数列需要两个独立的条件。特别地，如果给定等差数列的首项和公差，那么这个数列就唯一确定了，因此，在等差数列的教学中，要特别强调首项和公差的重要性。
运用规律，解决问题
做一做：
若数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )
A.是公差为2的递增等差数列
B.是公差为5的递增等差数列
C.是首项为7的递减等差数列
D.是公差为2的递减等差数列
师生活动：学生回答，教师引导。
设计意图：（1）根据等差数列通项公式的定义，由数列的前两项获得首项、公差，即可求得通项公式，进而可以求出数列的任一项。（2）借助第一问求得的通项公式，判断某个数是不是该数列的项。
通项公式an=a1+(n-1)d中有四个量a1,d,n,an,求解过程中反映了基本量思想和“知三求一”的方程思想.
5.变练演编，深化提高
请同学们把题目补充完整：
（1）已知等差数列通项公式an=2n-3, _______________？
（2） ________________ , 求等差数列通项公式an。
6.信息交流，教学相长
师生活动：学生回答，教师引导。学生在回答中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识。
设计意图：编题实践是学生创新精神和实践能力得以锻炼和表现的最佳措施，是使学生的主观能动性得以充分发挥的有效措施，也是丰富课堂内容的有效方法。让学生自己模仿或创造性的编拟数学(变式)题，供全班同学研究和解答。这样既加深学生对问题的理解,又促进学生的创新意识。
反思小结，观点提炼
三、课堂小结
严格按照王文清老师2015年提出的“四问法”进行课堂小结：
1. 这节课你收获了哪些知识、技能？
2. 你是怎样收获这些知识、技能的？
3. 在收获这些知识、技能的过程中用到了哪些思想、方法？
4.你还有哪些疑惑？
“四问法”课堂小结往往是一节课有没有教学效果的试金石。
四、练习巩固
教材15页练习题及相应同步练习。