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3.3.1 抛物线及其标准方程
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 抛物线的定义
1.定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2.焦点：定点F.
3.准线：定直线l.
注意点：
(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点二 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) x＝－
y2＝－2px(p>0) x＝
x2＝2py(p>0) y＝－
x2＝－2py(p>0) y＝
注意点：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案：A
解析：∵＋x0＝x0，∴x0＝1.
2.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )
A.(1,0) B. C. D.(0,1)
答案：C
解析：由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为，故选C.
3.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为( )
A.x＝1 B.x＝ C.y＝－1 D.y＝－
答案：C
解析：∵动圆过点(0,1)且与定直线l相切，∴动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，∴l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.
4.设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，∴d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.
5.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案：D
解析：∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，∴3p－p＝2，解得p＝8.
6.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
答案：C
解析：∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2.
7.抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A.3 B.6 C. D.
答案：C
解析：将方程化为标准形式是x2＝y，∵2p＝，∴p＝.故到焦点的距离最小值为.
8.动点到点(3，0)的距离比它到直线 x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线
答案：D
解析：已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
9.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
答案：C
解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
10.已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1. ∵抛物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P到准线x＝－1的距离是5，则点P到y轴的距离是4，∴P(4，±4)，∴△PFO的面积为×1×4＝2.
二、填空题
11.求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．
答案：x2＝10y和x2＝－10y
解析：设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，∴满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
12.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值是为________．
答案：
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，
点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝ ＝.
13.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
答案：(－9,6)或(－9，－6)
解析：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
14.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
答案：
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，解得p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
15.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．
答案：8
解析：如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2，4)．
设P(x0，4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，∴|PF|＝x0＋2＝8.
三、解答题
16.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：方法一 如图所示，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5，
即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
方法二 设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
17.已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)．
(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标；
(2)求点P到点B的距离与到直线x＝－的距离之和的最小值．
解：(1)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴点A在抛物线内部．
过点P作PQ垂直于抛物线的准线l：x＝－于点Q，
由抛物线的定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，
当P，A，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|的值最小，最小值为3＋＝，
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴点P的坐标为(2,2)．
(2)设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d.
显然点B在抛物线的外部．
由抛物线的定义，得|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|，当B，P，F三点共线(P在线段BF上)时取等号．
又|BF|＝＝2，∴所求最小值为2.
18.如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
解：(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B(0,2)，A(2,4)．
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|的值最小．
如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，∴|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M.
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.
19.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝.
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，
因为>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
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3.3.1 抛物线及其标准方程 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
3.3.1 抛物线及其标准方程
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 抛物线的定义
1.定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2.焦点：定点F.
3.准线：定直线l.
注意点：
(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点二 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) x＝－
y2＝－2px(p>0) x＝
x2＝2py(p>0) y＝－
x2＝－2py(p>0) y＝
注意点：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )
A.(1,0) B. C. D.(0,1)
3.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为( )
A.x＝1 B.x＝ C.y＝－1 D.y＝－
4.设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于( )
A.2 B.3 C.4 D.8
6.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
7.抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A.3 B.6 C. D.
8.动点到点(3，0)的距离比它到直线 x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线
9.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
10.已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
11.求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．
12.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值是为________．
13.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
14.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
15.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．
三、解答题
16.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
17.已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)．
(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标；
(2)求点P到点B的距离与到直线x＝－的距离之和的最小值．
18.如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
19.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
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3.3.1 抛物线及其标准方程 1/1
