不等式
一、不等式的性质
1、同向合成
；
；（不具有可逆性）
.
同解变形
；
；
.
尽量避免多次使用不具有可逆性的性质，尽量使用整体代换的思想方法解决问题.
例题1（易错）若二次函数的图象关于轴对称，且，，求的范围.
巩固练
已知，，求的取值范围.
二次函数的图象过坐标原点，且，，求的取值范围.
练习
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，比较的大小结果为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列不等关系正确的是
A． B． C． D．
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．，大小不定
6.给出如下四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，且，则；
其中正确的命题是（ ）
A．①，② B．①，④ C．②，③ D．③，④
一元二次不等式
不等式的恒成立、存在成立
1、若不等式对于一切实数均成立，则实数的取值范围是____．
2、若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3、若关于的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4、若关于的不等式在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为
A． B． C．(1,+∞) D．
5、已知不等式.
若对于所有的实数，不等式恒成立，求的取值范围；
若对于不等式恒成立，求实数的取值范围.
若不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围.
含参的一元二次不等式
1、不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是___
2、关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3、若不等式对一切恒成立，则实数a 取值范围（ ）
A． B． C． D．
4、已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
或 B． C．或 D．或
5、若函数＝的定义域为实数集，则实数的取值范围为（ ）
A．（－2,2） B．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
C．（－∞，－2]∪[2，＋∞） D．[－2,2]
6、解下列关于的不等式：
2、
一元二次不等式的逆向应用
1、已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则x1＋x2＋的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2、若不等式的解集为，求不等式的解集.
一元二次方程根的分布
已知函数的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数的取值范围是_________.
已知函数的两个零点均小于1，则实数的取值范围是________.
3、若的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是__________.
4、已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是_______
5、已知关于的二次方程
若方程有两根，其中一个根在内，另一个根在区间内，求的取值范围；
若方程两根均在内，求的取值范围.
是否存在实数，使函数在区间上有且只有一个零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
7、若方程在有且只有一个解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8、关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求的取值范围.
基本不等式
类型一 直接利用公式求解
1、若，则函数的最小值为_____________.
2、函数的最大值为_____________.
类型二 构造必要形式求解
1、已知，求函数的最大值.
2、当时，求的最大值.
3、已知，，，则的最大值是_________.
类型三 多次利用不等式求解
1、设，则的最小值（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 5
2、若，是正数，则的最小值是__________.
3、已知，，则的最小值是_________.
4、设，则的最小值是_______.
5、设，则的最小值是_____________.
类型四 整体替换
1、已知正数满足则的最小值为_________.
2、已知，且，求的最小值.
3、若正数，满足，则的最小值为_________.
类型五 通过解不等式求解
1、实数，满足，则的最小值为_________.
2、若正实数，满足，则的最小值是____________.
3、已知，，，则的最小值是_________.
4、已知正数，满足，则的最大值为____________.
5、设，是实数，且，则的最小值是____________.
类型六 与函数的关系
1、设,且，的最大值是_________.
2、若,且，则的最小值为___________.
3、求的值域.
4、求函数的值域.
练习：
1、若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
B． C． D．
2、函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
3、函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．设,则的最大值为________.
5、若正数满足，则的最小值是________．
6、若是正实数，且则的最小值为 ．
7、已知实数满足，则的最小值为________.
8、若，且，则的最小值为__________．
9、实数满足，设，则 ．
10、已知，，则的最小值为 .
11、已知实数满足则的最大值为 .
12、已知，，，若恒成立，则的取值范围是 ．
13、已知实数满足，且，则的最小值为 ．
14、已知a、b均为正实数，且，则ab的最小值为 ．
15、若实数且，则的最小值是 ，的最小值是 ．
16、已知正数满足，使得取最小值时，则实数对是_________.
17.已知，则的最小值为 ．
18、已知正实数，满足，则的最小值是 ．
19、设均为正实数，且，则的最小值为 ．
20.已知正实数满足，则的最小值为 ．
21.若正数满足，则的最小值为________．
22、已知的最小值为则的值为 ．
23、若，，是实数，则的最大值是 ．
24、一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ．
26、若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27、已知且，则的最小值为______.
28、已知，且，则的最小值是 .
29、设，，且恒成立，则的最大值是 ．
30、若，，，则的最小值为___________.
31．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
32、设二次函数f（x）= ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为 ；若ax2﹣4x+c>0的解集为 (-1,2),则=不等式
一、不等式的性质
1、同向合成
；
；（不具有可逆性）
.
同解变形
；
；
.
尽量避免多次使用不具有可逆性的性质，尽量使用整体代换的思想方法解决问题.
例题1（易错）若二次函数的图象关于轴对称，且，，求的范围.
答案：3分之14 ，到9，左闭右闭
巩固练
已知，，求的取值范围.
答案：负的3分之11，到1，左闭右闭
二次函数的图象过坐标原点，且，，求的取值范围.
答案：两种方法【6,10】
练习
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设，代入四个不等式验证可知正确
2．已知，比较的大小结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
所以，故选D
3．若，则下列不等关系正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为，所以，又因为由不等式性质可知，故选A．
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由条件可知无法确定，也可能为0
5．若，，，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．，大小不定
【答案】A
【解析】
试题分析：分别将原式变化为：=，=
故
6.给出如下四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，且，则；
其中正确的命题是（ ）
A．①，② B．①，④ C．②，③ D．③，④
【答案】B
【解析】
试题分析：对于① 由于，
，故①正确；排除C、D；
对于② 由于，，故②不正确；排除A；
故选B．
一元二次不等式
不等式的恒成立、存在成立
1、若不等式对于一切实数均成立，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】
试题分析：令，则不等式对于一切实数均成立，因为，所以，由解得．
2、若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：令，则关于的不等式在区间上恒成立等价于，解之得，故选D．
3、若关于的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
A
【解析】
试题分析：将不等式 转化为不等式 ，则 ，然后求出m的值即可;
∵不等式 等价于 故不等式 有实数解，则，或m＞2．故答案为：A
4、若关于的不等式在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为
A． B． C．(1,+∞) D．
【答案】A
【解析】
试题分析：结合不等式 所对应的二次函数的图象，列式求出不等式 在区间[1，5]上无解的a的范围，由补集思想得到有解的实数a的范围．
设函数若关于x的不等式x2+ax-2＞0在区间[1，5]上无解，
所以使的关于x的不等式 在区间[1，5]上有解的a的范围是故选A．
5、已知不等式.
若对于所有的实数，不等式恒成立，求的取值范围；
若对于不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
6、若不等式对于满足的一切的值都成立，求的取值范围.
【答案】
含参的一元二次不等式
1、不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是___
【答案】
【解析】
试题分析：当时，-4<0，不等式成立，当时，应满足，解得所以.
2、关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：时，，时，不等式为，不成立，解集为，时，不等式为，解集不为，当时，的图象是开口向下的抛物线，不等式的解集不为，当，即时，的图象是开口向上的抛物线，因此，解得，综上有，故选A．
3、若不等式对一切恒成立，则实数a 取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：当即时，原不等式变形为恒成立，符合题意；
当时，依题意可得．
综上可得．故B正确．
4、已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
或 B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】 若，，值域为，符合题意，若，由题意可知则或.综上，可知实数的取值范围是或，故选D．
5、若函数＝的定义域为实数集，则实数的取值范围为（ ）
A．（－2,2） B．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
C．（－∞，－2]∪[2，＋∞） D．[－2,2]
【答案】D
【解析】 函数的定义域是实数集R，则恒成立，即，解得，即实数的取值范围是．选D．
6、解下列关于的不等式：
2、
答案：略
一元二次不等式的逆向应用
1、已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则x1＋x2＋的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
不等式变形为
2、若不等式的解集为，求不等式的解集.
【答案】
一元二次方程根的分布
已知函数的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数的取值范围是_________.
【答案】
已知函数的两个零点均小于1，则实数的取值范围是________.
【答案】
3、若的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是__________.
【答案】
4、已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是_______
【答案】
5、已知关于的二次方程
若方程有两根，其中一个根在内，另一个根在区间内，求的取值范围；
若方程两根均在内，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
是否存在实数，使函数在区间上有且只有一个零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】
7、若方程在有且只有一个解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8、关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求的取值范围.
基本不等式
类型一 直接利用公式求解
1、若，则函数的最小值为_____________.
8
2、函数的最大值为_____________.
类型二 构造必要形式求解
1、已知，求函数的最大值.
【答案】1
2、当时，求的最大值.
【答案】8
3、已知，，，则的最大值是_________.
【答案】
类型三 多次利用不等式求解
1、设，则的最小值（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 5
【答案】B
2、若，是正数，则的最小值是__________.
【答案】4
3、已知，，则的最小值是_________.
【答案】4
4、设，则的最小值是_______.
【答案】4
5、设，则的最小值是_____________.
【答案】12
类型四 整体替换
1、已知正数满足则的最小值为_________.
【答案】9
【解析】因为且，所以
（当且仅当，即时取等号），即
的最小值为9.
2、已知，且，求的最小值.
【答案】16
3、若正数，满足，则的最小值为_________.
【答案】9/4
类型五 通过解不等式求解
1、实数，满足，则的最小值为_________.
【答案】
2、若正实数，满足，则的最小值是____________.
【答案】18
3、已知，，，则的最小值是_________.
【答案】4
4、已知正数，满足，则的最大值为____________.
【答案】8
5、设，是实数，且，则的最小值是____________.
【答案】
类型六 与函数的关系
1、设,且，的最大值是_________.
【答案】
2、若,且，则的最小值为___________.
【答案】17/4
3、求的值域.
解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离.
当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）.
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值.
当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）.
4、求函数的值域.
解析：令，则
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
所以，所求函数的值域为.
练习：
1、若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
B． C． D．
【答案】B
2、函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
【答案】B
3、函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．设,则的最大值为________.
【答案】
【解析】由两边同时加上
得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），
从而有（当且仅当,即时，“=”成立）
故填：.
5、若正数满足，则的最小值是________．
【答案】5
【解析】
试题分析：，
，
当且仅当，即时取等号．
6、若是正实数，且则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：将化简得，令，则。 ①，因为是正实数，所以，则对于①式当时有最小值．
7、已知实数满足，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
8、若，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
令,即,
,当且仅当时取等号．
9、实数满足，设，则 ．
【答案】.
【解析】
由得，又，所以即，所以，，故应填入.
11、已知实数满足则的最大值为 .
【答案】
【解析】
由已知，
所以，，，即的最大值为.
12、已知，，，若恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：因为，所以等价于，令，则，所以．
13、已知实数满足，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
因为，所以，，由基本不等式得．
14、已知a、b均为正实数，且，则ab的最小值为 ．
【答案】25
【解析】
∵a>0,b>0,∴4a+b+5=ab(当且仅当a=b时取等号)，即，解得,∴的最小值为25．
15、若实数且，则的最小值是 ，的最小值是 ．
【答案】,.
【解析】
试题分析：由基本不等式得，当且仅当，即等号成立，
，令，则，函数在区间单调递增，当，.
16、已知正数满足，使得取最小值时，则实数对是_________.
【答案】
【解析】
试题分析：，当且仅当即时取得等号，故实数对是
17.已知，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
设，则，
所以
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为；
18、已知正实数，满足，则的最小值是 ．
【答案】．
【解析】
∵，∴，当且仅当时，等号成立，
∴，即的最小值是．
19、设均为正实数，且，则的最小值为 ．
【答案】16；
【解析】
由化为，因均为正实数，故；当且仅当取等号，故的最小值为16．
20.已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
由于，则，利用均值不等式，（当且仅当时取等号），则
，所以的最小值为
21.若正数满足，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】
设： 则 ，
所以，
=
当且仅当，即 时，也即 时，等号成立．
所以答案应填：4．
22、已知的最小值为则的值为 ．
【答案】4
【解析】
试题分析：因为，当且仅当时取等号，所以
23、若，，是实数，则的最大值是 ．
【答案】2.
【解析】，，即，则，化简得，即，即的最大值是2.
24、一元二次不等式的解集为，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
由已知得，解得，又，则。
26、若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
27、已知且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
试题分析：
，当且仅当时，等号成立.
28、已知，且，则的最小值是 .
【答案】
【解析】
由题意，由及均值不等式可得最小值为.
29、设，，且恒成立，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以，所以
，
即的最小值为，故，，所以则的最大值是．
30、若，，，则的最小值为___________.
【答案】4
31．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，故选A．
32、设二次函数f（x）= ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为 ；若ax2﹣4x+c>0的解集为 (-1,2),则=
【答案】3,-12
【解析】
因为二次函数f（x）= ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则，所以，，当且仅当即时取等号．
因为ax2﹣4x+c>0的解集为 (-1,2)，所以-1,2是方程的两个根，则解得
