(共44张PPT)
第3章
图形的相似
3.1比例线段
第2课时
1.理解线段的比与成比例线段的关系；
（重点、难点）
2.了解并掌握黄金分割问题．(重点、难点)
学习目标
两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？
导入新课
如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即
A
B
C
D
m
n
AB:CD= m : n 或
如果把 表示成比值k,那么 =k，或AB=k · CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.
讲授新课
线段的比和成比例线段
1.若线段AB＝6cm，CD＝4cm，则 .
2.若线段AB＝8cm，CD＝2dm，则 .
思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？
有关
无关
求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一
在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同.
注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数.
练一练
4.五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，AB＝5cm，A'B'＝3cm，AB∶A'B'＝ .
A
B
C
D
E
A'
B'
C'
D'
E'
5∶3
3.已知线段AB＝8cm，A'B'＝2cm，AB∶A'B'的比为 ，AB∶A'B'的比值为 ，AB＝ A'B'.
4∶1
4
4
练一练
做一做：设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD, EF, EH的长度分别是多少？
A
B
C
D
G
H
E
F
计算 的值，你发现了什么？
A
B
C
D
G
H
E
F
四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线段，简称比例线段.
归纳总结
AB，EF，AD，EH是成比例线段，
AB，AD，EF，EH也是成比例线段.
注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！
如果
或 a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
d 叫做 a、b、c的第四比例项.
特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即a:b=b:c，则b叫做a,c的比例中项.
相关概念
例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解： （1） ∵
∴ 线段a、b、c、d 不是成比例线段．
，
∴
，
典例精析
（2）a＝2，b＝
，c＝
，d＝
．
（2） ∵
∴
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
注意:
1.若a:b=k , 说明a是b的 k 倍；
2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；
3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；
4.除了a=b外,a:b≠b:a,
互为倒数.
1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？
成比例线段
不成比例线段
2.下列各组线段中成比例线段的是 （ ）
C
练一练
解：根据题意可知,AB=am, AE= a m,AD=1m .
由 ，得
即 开平方,得
例2：一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么a的值应当是多少？
D
A
F
E
C
B
一个五角星如下图所示.
问题：度量C到点A、B的距离, 与 相等吗？
A
C
B
A
B
C
黄金分割的概念
A
B
C
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
概念学习
1.计算黄金比.
解：由 ，得AC2 = AB·BC.
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1= x2=
黄金比
做一做
2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图:
1.经过点B作BD⊥AB,使BD= AB
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗
A
B
D
E
C
巴台农神庙
（Parthenom Temple）
F
C
A
E
B
D
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么
点E是AB的黄金分割点
（即 ）是黄金比
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
A
B
C
D
E
F
例3：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
，解得x = 0.96.
设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( )
(A)12.36 cm (B)13.6 cm
(C)32.36 cm (D)7.64 cm
【解析】选A. 0.618×20=12.36(cm).
A
练一练
2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，则AC的长约为_____cm.（结果精确到0.1 cm）
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题意知
∴AC2=(10-AC)×10，解得AC≈6.2 cm.
6.2
3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC=______cm，DC=_______cm.
【解析】由黄金分割定义可知，
AC=BD= ×AB=(40 -40)cm,
AD=AB-BD=(120-40 ) cm,
所以DC=AC-AD=(80 -160) cm.
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。
衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。
大自然与黄金分割
图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618.
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与长之比也接近0.618;
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23=37×0.618).这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似0.618.
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．
B
C
A
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高468米.设计师在263米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.
人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。
当堂练习
1.一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（ ）
A.100:3 B.1:3 C.10:3 D.1000:3
2.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（ ）
A.5:1 B. 1:5 C.1:500000 D.500000:1
A
C
3.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（ ）
A．S1>S2 B．S1P
A
B
C
5.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高3米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？
4.点C是线段AB的黄金分割点，如果AB=4，求线段 AC的长度．
AC=4×0.618=2.472 或者 AC=4×(1-0.618)=1.518.
离地面的高度 h=3×0.618=1.854m
解：根据题意可知, ,
AB = 15 , AC = 10 , BD = 6.
则 AD = AB – BD =15 – 6= 9.
则
6.已知 ，AB=15，AC=10，BD=6．求AE．
A
B
C
D
E
1.一条线段的长度是另一条线段的5倍，则这两条线段的比等于 .
2.已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则线段d= .
3.已知三个数2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为 .
4cm
，3，12
5∶1
拓展练习
4.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.
解: 设AB=1,那么在 Rt△BAE 中,
A
B
C
D
E
F
G
H
比例线段
两条线段的比：
比例线段
①长度单位统一；
②与单位无关，本身没有单位；
③两条线段有顺序要求.
①概念：项、比例内项、比例外项；
②四条线段有顺序要求；
③特别地：比例中项.
课堂小结
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
课堂小结
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 =
定义(共30张PPT)
第3章
图形的相似
3.2平行线分线段成比例
1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论;
（重点）
2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.
（难点）
学习目标
观察与猜想
下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:
AD,BE1,CF互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？
a
b
c
DE=EF
导入新课
D
F
E
讲授新课
a
b
c
已知：直线a∥b∥c，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1
*证明猜想
证明：过点B作直线l3//l2，分别与
直线a,c相交于点A2，C2，
由于a//b//c，l3//l2，因此 A2B=A1B1 ，BC2=B1C1
易证：△BAA2≌△BCC2.
从而BA2=BC2,
所以A1B1=B1C1.
平行线等分线段
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
归纳总结
讲授新课
如图①，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
合作探究
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图①
平行线分线段成比例（基本事实）
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
(1) 计算 ，你有什么发现？
(2) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图②
(3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，
用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？
如果 ，那么 与 相等吗？
解： 相等.理由如下，如图，我们分别找出AB的二等分点和BC的三等分点，再过它们作AD的平行线.
P
M
H
Q
N
G
由平行线等分线段可知：
*证明猜想（特殊）
如果 ， 那么 与 相等吗？
解：相等.理由如下：我们分别找出AB的n等分点和BC的m等分点，再过它们作AD的平行线.
n个
m个
n个
m个
*证明猜想（一般）
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若a∥b∥ c ，则 ， ，
归纳：
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
1. 如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
想一想：
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( )
A. B.
C. D.
D
练一练
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
观察与思考
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
平行线分线段成比例定理的推论
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳：
如图，DE∥BC， ，则 ；
FG∥BC， ，则 .
练一练
A
B
C
E
D
F
G
例1 如图，在△ABC中， EF∥BC.
(1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7，
FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
典例精析
解：∵
∴
解得 AF = 4.
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多
少？
A
B
C
E
F
解：∵
∴
解得 AC = .
∴ FC = AC－AF = .
如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则
AC= ；FG∥BC，AF=4.5，则AG= .
A
B
C
E
D
F
G
练一练
7.5
6
例2：如图：在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE//BC、EF//AB.若AD=2BD.
(1)求证： (2)求 的值.
A
B
C
D
E
F
解：∵DE//BC，EF//AB
又AD=2BD
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( )
A. B.
C. D.
D
当堂练习
2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，
BC = 4 cm，EF 长 ( )
A
A. 1cm B. cm
C. 3cm D. 2cm
A
B
C
E
F
A
B
C
E
D
2.填空题:
如图:DE∥BC,
已知:
则 .
3.在△ABC中，ED//AB，若 ，
则
4. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm，
AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴CD∥AB，
∴
设菱形的边长为 x cm，则CD
= AD = x cm，DF = (4－x) cm，
∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm.
5.如图，AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的中点，CM交AB于点P,DN ∥CP.
（1）若AB=6cm，求AP的长；
（2）若PM=1cm,求PC的长.
拓展提升
解：(1)∵AB=AC，AD⊥BC于点D,
M是AD的中点,
∴DB=DC,AM=MD.
∵DN ∥CP,
又∵AB=6cm，
∴AP=2cm.
（2）若PM=1cm,求PC的长.
∵DN ∥CP,
又∵PM=1cm，
∴PC=2ND=4PM=4cm.
解：由（1）知AP=PN=NB,
课堂小结
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例
基本事实
平行线分线段成比例(共32张PPT)
第3章
图形的相似
3.3相似图形
1.理解相似图形的基本概念;(重点）
2.理解并掌握相似三角形的概念及其基本性质;
(重点、难点)
3.理解并掌握相似多边形的概念及其基本性质．
学习目标
问题1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？
导入新课
情境引入
问题2 多啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？
下面图形有什么相同和不同的地方？
讲授新课
观察与思考
相似图形
相同点：形状相同
不同点：大小不相同
形状相同的图形叫做相似图形.
相似图形的大小不一定相同.
归纳：
图形的放大
探究归纳
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
图形的缩小
两个图形相似
图形的缩小
归纳：
你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？
思考：
放大镜下的图形和原来的图形相似吗？
练一练
放大镜下的角与原图
形中角是什么关系
问题：下图中，右边的△ABC是由左边的△ABC 放大得到的.这两个三角形相似吗？分别度量它们的三个角和三条边，它们的对应角相等吗？对应边成比例吗？
我发现这两个三角形相似，且它们的对应角相等，对应边成比例．
相似三角形
反过来，我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形．
由此得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
知识要点
A
B
C
C'
B'
A'
如果△ABC与△ A'B'C' 相似，
记作：△ABC ∽△ A'B'C'
读作：△ABC相似于△ A'B'C'
注意：在写两个三角形相似时应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
相似三角形对应边的比叫作相似比.
注意：三角形的前后次序不同，所得相似比不同.
一般地，若△ABC∽△ A'B'C'的相似比为k，
则△ A'B'C'与△ABC的相似比为 .
若k=1呢？
三角形全等是三角形相似的特例
例1：已知△ABC∽△ A'B'C' ,且∠A=48°，AB=8,A'B'=4，AC=6.求∠A'的大小和A'C'的长.
A
B
C
A'
B'
C'
解： 因为△ABC∽△ A'B'C'
又∠A=48°,AB=8,
A'B'=4，AC=6
∴ ∠A' =48°
∴ A'C' =3
典例精析
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到银幕上的.
观察与思考
相似多边形
问题1 这两个多边形相似吗？
问题2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？
问题3 在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成
比例？
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的对应边的比叫作相似比.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的特征：
相似多边形的定义：
归纳：
任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？
a1
a2
a3
an
…
分析：已知等边三角形的每个角都为60°, 三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.
议一议
同理，任意两个正方形都相似.
归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.
…
a1
a2
a3
an
思考：
任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？
例2 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x.
典例精析
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，∴ 它们的对
应角相等．由此可得
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
∵ 四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应边成比
例，由此可得
解得 x ＝ 28 cm.
，即 .
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度．
5
3
2
c
d
7.5
b
a
6
9
练一练
解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得
解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.
所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.
， ， ， ，
当堂练习
1. 下列图形中能够确定相似的是 ( )
A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形
C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形
E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形
ABDF
2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得
甲、乙两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际
距离是 ( )
A. 3000 m B. 3500 m
C. 5000 m D. 7500 m
D
3. 如图所示的两个四边形是否相似？
答案：不相似.
4. 观察下面的图形 (a)~(g)，其中哪些是与图形 (1)(2) 或 (3) 相似的？
5. 填空：
(1) 如图①是两个相似的四边
形，则x= ，y = ，
α= ；
(2) 如图②是两个相似的矩形，
x= .
╰
65°
╯
80°
α
╭
6
125°
╯
80°
╮
3
x
y
图①
3
5
30
20
15
x
图②
2.5
1.5
90°
22.5
6. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1．
(1) 求BC长；
A
B
C
D
E
F
解：∵ E 是 AD 的中点，
∴ .
又∵矩形 ABCD 与矩形 EABF
相似，AB=1，
∴ ，
∴ AB2 = AE·BC，
∴ .
解得
(2) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比.
A
B
C
D
E
F
解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD
的相似比为：
相似图形
相似三角形
课堂小结
概念
性质：三个角对应相等，三条边对应成比例
相似多边形
概念
性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例
相似比：相似图形对应边的长叫做相似比(共22张PPT)
第3章
图形的相似
3.4相似三角形的判定与性质
第1课时
1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；
（重点）
2.会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
(难点)
学习目标
问题1 相似多边形的主要特征是什么？
问题2 相似比的定义是什么？
导入新课
回顾与思考
我们就说△ABC与△A′B′C′______，记作__________________，△ABC与△A′B′C′相似比是k，则△A′B′C′与△ABC的相似比是____.
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′,
∠C=∠C′,
△ABC∽△A′B′C′
相似
讲授新课
相似三角形的性质及有关概念
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,
且
∠A′
∠B′
∠C′
相似比为1时，相似的
两个图形有什么关系？
当相似比等于1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.
典例精析
例1 △ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由．
解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.
因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.
所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.
∴ △ABC∽△DFE.
判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．
方法总结
例2 如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝58cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：
(1)∠AED和∠ADE的度数；
(2)DE的长．
解：(1)∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠ACB＝40°.
在△ADE中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°；
(2) ∵△ABC∽△DFE.
∴DE＝36.25(cm).
当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．
方法总结
如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系 说明理由.
A
B
C
D
解:相似，在△ADE与△ABC中，
∠A= ∠A.
∵ DE//BC，
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
过E作EF//AB交BC于F，
F
E
探究归纳
平行线与相似三角形
∵DBFE是平行四边形，
∴DE=BF.
∴△ADE∽△ABC
A
B
C
D
F
E
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.
“A”型
“X”型
（图3）
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
（图1）
归纳
“A”型
A
D
E
B
C
（图2）
例3 如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AB延长线上一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F.请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，
∴△BEF∽△CDF∽△AED.
故当△BEF∽△CDF时，
相似比为BE: CD＝BE: AB＝1:3；
当△BEF∽△AED时，相似比为BE: AE＝1:4；
当△CDF∽△AED时，相似比为CD: AE＝3:4.
例4 已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.
解：∵AM∥BN，
∴△NBC∽△MAC，
A
B
C
D
E
相似具有传递性
△ADE∽△ABC
M
N
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△AMN∽△ADE
△AMN∽△ABC
共有三对相似三角形
已知DE∥BC
交流讨论
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
A
B
C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1：4
练一练
1.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三
角形_____.
2.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为
AB=3 cm，A′B′= 4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的
相似比是____ .
3.若△ABC的三条边长分别为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△ A′B′C′的最大边长是_____.
全等
4︰3
24cm
当堂练习
4.已知△ABC的三条边长3cm,4cm,5cm,
△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的形状是__________，又知△A1B1C1的最大边长为25cm，那么△A1B1C1的面积为________.
直角三角形
150cm2
5.若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠ C′的度数是（ ）
A.55° B.100° C.25° D.不能确定
C
6.把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（ ）
A.△ABC∽△A′B′C′
B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等
C.△ABC与△A′B′C′的相似比为
D.△ABC与△A′B′C′的相似比为
C
2.当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似；
3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.
课堂小结
1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似 比等于对应边的比；(共20张PPT)
第3章
图形的相似
3.4相似三角形的判定与性质
第2课时
1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件.
2.掌握相似三角形的判定定理1.（重点）
3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）
学习目标
问题1：这两个三角形有什么关系？
观察与思考
全等三角形
导入新课
那这样变化一下呢？
相似三角形
相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
对应角……？
对应边……？
问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？
全等是一种特殊的相似
定义 判定方法
全等三角形
相似三角形
三角、三边对应相等的两个三角形全等
三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似
角边角
A
S
A
角角边
A
A
S
边边边
S
S
S
边角边
S
A
S
斜边、直角边
H
L
问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？
需要三个等量条件
思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？
学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
导入新课
情境引入
讲授新课
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
合作探究
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题：
这两个三角形是相似的
两角分别相等的两个三角形相似
证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，
截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E，
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
问题二 试证明△A′B′C′∽△ABC.
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
归纳：
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
解：∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴
∴BC=14.
B
A
D
E
C
典例精析
如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：
△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
练一练
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，
∠E=180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
例2：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
A
B
C
D
E
1
3
2
O
归纳总结
当堂练习
1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相
似三角形共有 ( )
A. 1对 B. 2对
C. 3对 D. 4对
C
2. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( )
A.
B.
C.
D.
A
C
A
B
D
E
A
B
D
C
3. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或
∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC；
ACD
ACB
B
ADB
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，
∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△DEF中，∠E=80 °，
∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC ∽△DEF.
4. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴
5. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．
求证：
D
C
A
B
E
F
利用两角判定三角形相似
定理：两角分别相等的两个三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理1的运用(共21张PPT)
第3章
图形的相似
3.4相似三角形的判定与性质
第3课时
学习目标
1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）
2.能熟练运用相似三角形的判定定理2．（难点）
问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗
3
3
5
5
不相似
观察与思考
问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
相似
导入新课
讲授新课
利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使
∠A=∠A′， 量出 BC 及 B′C′ 的长，
它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的
两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关
系？
合作探究
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
两个三角形相似
我们来证明一下前面得出的结论：
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，
∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D=AB，
∴
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳：
对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
思考：
A′
B′
B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
典例精析
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
解：∵
∴
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC =
3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：
∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
练一练
∴
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，
AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
∴ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
解：∵ AE=1.5，AC=2，
例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴
提示：解题时要找准对应边.
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ACB=90°．
A
B
C
D
∵
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
当堂练习
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似 ( )
(2) 两个直角三角形相似 ( )
(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( )
×
√
√
×
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使
△ABC ∽ △DBA的条件是 ( )
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) .
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
相似
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边
AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长
度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED.
A
B
C
D
E
证明：∵ AB · AD = AE·AC，
∴
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴ △ABC ∽△AED.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理的运用(共22张PPT)
第3章
图形的相似
3.4相似三角形的判定与性质
第4课时
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)
学习目标
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获
得证明三角形相似的启发吗？
导入新课
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪
些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有
其缺点和局限性？
A
B
C
D
E
复习引入
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通
过三边来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
合作探究
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
三边成比例的两个三角形相似
A
B
C
C′
B′
A′
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
∴
C′
B′
A′
证明:
在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′ ∽△ABC.
B
C
A
D
E
又 ，AD=A′B′，
∴ ， .
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
归纳总结
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
典例精析
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
∵ ， ， ，
∴ .
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
归纳总结
已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24，
DE＝16，EF＝20， DF＝30.
(2) AB=4， BC =8， AC＝10，
DE＝20，EF＝16， DF＝8；
(1) AB =3， BC =4， AC＝6，
DE＝6， EF＝8， DF＝9；
是
否
否
练一练
例2:如图, 方格网的小方格是边长为1的正方形，
△ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，△ ABC与
△A′B′C′相似吗 为什么
C
B
A
A′
B′
C′
解：△ ABC与△ A′B′C′的顶点都在格点上，根据勾股定理，得
∴ △ ABC与△ A′B′C′相似.
例3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′
= 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴ △ A′B′C′∽△ABC. (三边对应
成比例的两个三角形相似)
∴ BC=2B′C′，
∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC
= ∠DAE －∠DAC，
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
∴ △ABC ∽△ADE (三边成
比例的两个三角形相似).
例4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，
∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
A
B
C
D
E
解：∵
解：在 △ABC 和 △ADE 中，
∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠D，∠C=∠E，
∠BAD=∠CAE.
如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
练一练
A
B
C
D
E
当堂练习
1. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为 ( )
A
B
C
D
E
F
A. 20 B. 27 C. 36 D. 45
C
2. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论
正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
A
C
B
P
D
C
∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选C.
解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB= ，AC= ，AD= .
3. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似：
AB=4cm ，BC =6cm ，AC =8cm，A′B′=12cm ，B′C′=18cm ，A′C′=21cm.
答案：不相似.
5. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，
CA的中点，
∴
∴
6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，
已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米，
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
A
C
B
D
28
14
21
42
31.5
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
∴ △ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
三边成比例的两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
课堂小结
相似三角形的判定定理的运用(共31张PPT)
第3章
图形的相似
3.4相似三角形的判定与性质
第5课时
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.
（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
学习目标
A
C
B
A1
C1
B1
问题1： △ABC与△A1B1C1相似吗？
导入新课
A
C
B
A1
C1
B1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
△ABC∽ △A1B1C1
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几
何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
量一量，猜一猜
D1
A1
C1
B1
∟
A
C
B
D
∟
ΔABC ∽ ΔA1B1C1, ,CD和C1D1分别是它们的高, 你知道 等于多少吗？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
讲授新课
A
B
C
A'
B'
C'
合作探究
相似三角形对应高的比等于相似比
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
由此得到：
相似三角形对应高的比等于相似比．
类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
归纳总结
ΔABC∽ ΔA1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线，
已知 ,B1D1 =4cm，则BD= cm.
6
2.ΔABC∽ ΔA1B1C1, AD和A1D1是对应角平分
线，已知AD=8cm， A1D1=3cm ,则 ΔABC与
ΔA1B1C1的对应高之比为 .
8:3
练一练
3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是 m.
P
A
D
B
C
2
4
1.5
例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？
(2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
(3)求正方形PQRS的边长.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
典例精析
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解： AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高
∴ ∠ADC=90°
∵四边形PQRS是正方形
∴SR∥BC
∴∠AER=∠ADC=90°
∴ AE是ΔASR的高.
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解： ΔASR与ΔABC相似. 理由:
∵ SR∥BC
∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C
∴ ΔASR与ΔABC相似.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
（3）求正方形PQRS的边长.
是方程思想哦！
解：∵ ΔASR ∽ ΔABC
AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC
对应边上的高
∴
设正方形PQRS的边长为 x cm,
则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm
∴ 解得：x=24
∴正方形PQRS的边长为24cm.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
变式：
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.
设SP=xcm，则SR=2x cm
得到：
所以 x=2 2x=4
S矩形PQRS= 2×4=8cm2
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况一：SR=2SP
设SR=xcm，则SP=2x cm
得到：
所以 x=2.5 2x=5
S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2
原来是分类思想呀！
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况二：SP=2SR
如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都
等于相似比
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
求证：
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
∴ ∠B′= ∠B, ．
又AD,AD′分别为对应边的中线.
∴ △ABD∽△A′B′D′.
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
验证猜想1
由此得到：
相似三角形对应的中线的比也等于相似比．
同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比．
归纳总结
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
求证：
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠B′= ∠B, ∠B′A′C′= ∠BAC．
又AD,AD′分别为对应角的平方线
∴ △ABD∽△A′B′D′.
A'
B'
D'
C'
E'
A
B
C
D
E
验证猜想2
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
归纳总结
例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，
则由相似性质有
解得x＝18.
较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
3．两个相似三角形对应中线的比为 ，
则对应高的比为______ .
当堂练习
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.
2∶ 3
1．两个相似三角形的相似比为 , 则对应高的比为_________, 则对应中线的比为_________.
解：∵ △ABC∽△DEF，
解得,EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
5.如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当 时，求DE的长.如果 呢？
∴△ASR∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
B
A
E
R
C
D
S
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比)，
当 时，得 解得
B
A
E
R
C
D
S
当 时，得 解得
选做题：
6. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
F
A
B
C
D
E
（1）
F
G
B
A
C
E
D
（2）
相信自己是最棒的！
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长.
A
C
B
D
(1)
A
C
B
D
(5)
D
C
B
A
(4)
A
C
B
D
(3)
D
C
B
A
(1)
A
C
B
D
(2)
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比等于相似比
课堂小结
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应中线的比等于相似比(共27张PPT)
第3章
图形的相似
3.4相似三角形的判定与性质
第6课时
1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点）
2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）
学习目标
导入新课
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
A
B
C
A1
B1
C1
问题引入
讲授新课
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？
(1)
(2)
(3)
1
2
3
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的周长比=______，
(1)与(3)的相似比=______,
(1)与(3)的周长比=______.
1∶ 2
结论： 相似三角形的周长比等于______．
相似比
（都相似）
1∶ 3
1∶ 2
1∶ 3
有什么规律吗？
相似三角形周长比等于相似比
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
A
B
C
A1
B1
C1
想一想：怎么证明这一结论呢？
相似三角形周长的比等于相似比.
归纳总结
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的面积比=______
(1)与(3)的相似比=______,
(1)与(3)的面积比=______
1
2
3
1∶ 2
（1）
（2）
（3）
1∶ 4
1∶ 3
1∶ 9
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,回答以下问题：
结论： 相似三角形的面积比等于__________．
相似比的平方
相似三角形的面积比等于相似比的平方
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
想一想：怎么证明这一结论呢？
∵△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
归纳总结
1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对
应边上中线之比 ，面积之比为 .
2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9，
周长的比为______ .
1:3
2:3
4:9
练一练
例1：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC
即，△ABC平移的距离为
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
A
B
C
D
E
F
∴
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.
练一练
例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求
四边形 BCDE 的面积.
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
B
C
A
D
E
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
B
C
A
D
E
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B
C
D
F
E
练一练
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC ，
相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
∴
A
B
C
D
F
E
又∵ EF∥AB，
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
1. 判断：
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )
√
×
当堂练习
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
小三角形与原三角形的周长比等于______，面积
比等于_____.
1 : 2
1 : 4
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，
∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ
的值为 ( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
14
5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照
射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2
米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，
则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位
小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
A
D
E
F
C
B
H
∴ 即
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为：
(平方米).
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和
△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，
则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
7. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于
点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC.
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则
∴
又∵ DE∥BC，
∴ △ADE ∽△ABC.
A
B
C
D
E
∴
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
A
B
C
D
E
相似三角形的性质2
相似三角形周长之比等于相似比
课堂小结
相似三角形面积之比等于相似比的平方(共33张PPT)
第3章
图形的相似
3.5相似三角形的应用
学习目标
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量
的物体的高度和宽度. (重点)
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化
为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决
问题的能力. (难点)
乐山大佛
导入新课
图片引入
世界上最高的树
—— 红杉
世界上最宽的河
——亚马逊河
怎样测量河宽？
利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.
问题: 如图，A, B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A, B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？
A
B
如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A, B 两点，连接并延长AC,BC,在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，使测量出DE的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出A, B 间的距离了.
C
D
F
讲授新课
利用相似三角形测量宽度
例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知
测得QS = 45 m，ST = 90 m，
QR = 60 m，请根据这些数据，
计算河宽 PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
PQ×90 = (PQ+45)×60.
解得 PQ = 90.
因此，河宽大约为 90 m.
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST.
P
R
Q
S
b
T
a
∴ ，
即 ，
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
45m
90m
60m
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，
求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
60m
50m
120m
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
∴ ，即 ，
解得 AB = 100.
因此，两岸间的大
致距离为 100 m.
E
A
D
C
B
60m
50m
120m
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
归纳：
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
利用相似三角形测量高度
例3 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF.
又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ ，
∴
=134 (m).
因此金字塔的高度为
134 m.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
归纳：
例4：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
A
E
C
D
F
B
N
A
E
C
D
F
B
N
解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,
∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA.
∵∠EAM=∠CAN,
∴△AEM∽△ACN ,
∴ .
∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m ,
∴ , ∴CN=3.6（m），
∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.
故树的高度为5.2m.
1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在
地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是 ( )
A． B．
C． D．
C
练一练
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学
数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚
阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆
顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC =
2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______米．
8
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他测量方法吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
想一想：
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( )
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
B
试一试：
例5 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了
利用相似解决有遮挡物问题
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，
当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树
的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼
睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条
直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
∴ ，
即
解得 EH=8.
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为 ( )
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
当堂练习
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为
0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长
为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( )
A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m
A
A
3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在
可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的
C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD
＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.
A
B
E
D
C
20
4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看
到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝
20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平
面镜的距离 SA 的长度为 .
12 cm
5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.
A
B
C
D
G
E
F
A
B
C
D
G
E
F
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
则
解得：AC = 10，
故 AB = AC + BC
= 10 + 1.5 = 11.5 (m).
答：旗杆的高度为 11.5 m.
∴
6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面
上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆
AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影
长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面
长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗
杆的高度．
A
B
C
D
E
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，
∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，
∴ EA : ED=1 : 1.2，
∴ AE = 8 m，
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，
∴ 学校旗杆的高度为 10 m.
A
B
C
D
相似三角形的应用举例
利用相似三角形测量高度
课堂小结
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题(共28张PPT)
第3章
图形的相似
3.6位似
第1课时
1. 掌握位似图形的概念、性质和画法. (重点)
2. 掌握位似与相似的联系与区别. (难点)
学习目标
导入新课
如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？
图片引入
连接图片上对应的点，你有什么发现？
问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？
观察与思考
讲授新课
位似图形的概念
问题2：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于点O. 有什么关系？
A
B
C
D
E
E'
D'
C'
B'
A'
O
如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P 所在的直线都过同一点O,且OP =k· OP （k≠0）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.其中k为相似多边形的相似比.
概念学习
判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
1. 画出下列图形的位似中心：
练一练
2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 ( )
A. 两个三角形是位似图形
B. 点 A 是两个三角形的位似中心
C. B 与 D、C 与 E是对应位似点
D. AE : AD是相似比
D
D
E
A
B
C
合作探究
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到了什么？
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
位似图形的性质
1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似
图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比
相等．
2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距
离之比等于相似比．（位似图形的相似比也
叫做位似比）
3. 对应线段平行或者在一条直线上．
归纳：
如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形 A′B′C′D′，若 OB : O′B′＝
1 : 2，则四边形 ABCD 的面积与四边形A′B′C′D′的面积比为 ( )
A．4∶1 B． ∶1 C．1∶ D．1∶4
D
O
练一练
例1：如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2.
解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.
A
B
C
F
E
D
O
想一想：你还有其他的画法吗？
位似多边形的画法
A
B
C
画法二：△ABC与△DEF异侧
解：画射线OA,OB,OC;沿着射线OA,OB,OC反方向上分别取点D,E,F,
OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;
顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.
O
E
F
D
(3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B'
C' D' 就是所要求的图形．
例2 把四边形 ABCD 缩小到原来的 1/2.
(1) 在四边形外任选一点 O (如图)；
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、
C' 、D' ，使得 ；
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小
思考：
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反
向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得
呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
如图，△ABC. 根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C'
∽△ABC，且相似比为 1 : 5.
(1) 位似中心在△ABC的一条边AB上；
练一练
A
C
B
O
●
A′
B′
C′
●
●
假设位似中心点 O 为 AB中点，点 O 位置如图所示.根据相似比可确定 A′，
B′，C′ 的位置.
●
(2) 以点 C 为位似中心.
C
A
B
A′
B′
( C′ )
●
●
●
画位似图形的一般步骤：
① 确定位似中心；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关
键点；
③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的
关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
归纳：
利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外.
当堂练习
A
B
C
D
1. 选出下面不同于其他三组的图形 ( )
B
2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位似图形，若AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是
( )
A. 2 DE = 3 MN B. 3 DE = 2 MN
C. 3∠A = 2∠F D. 2∠A = 3∠F
B
A
B
E
C
D
N
F
G
H
M
3. 下列说法：
①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中 △ABC 与 △A′B′C′ 也是位似的，且位似比相等. 其中正确的有 .
①④
4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为
2 : 3，已知 AB＝4，则 DE 的长为_____．
6
5.已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2.
A
B
C
解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.
D
E
F
6. 如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且
AB∥CD∥EF，
(1) 图中有哪几对位似三角形 选其中一对加
以证明；
答案：△DFE 与 △DBA，△BFE 与 △BDC，△AEB 与 △DEC 都是位似图形；证明略.
(2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长.
解：∵ △BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC，
AB=2，CD=3，
∴
∴
解得
位似的概念及画法
位似图形的概念
课堂小结
位似图形的性质
画位似图形(共31张PPT)
第3章
图形的相似
3.6位似
第2课时
1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之
间的联系．
2. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握
把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变
化的规律. (重点、难点)
3. 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的
异同，并能在复杂图形中找出来这些变换.
学习目标
导入新课
复习引入
1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相
交于一点，我们就把这样的两个图形叫做 ，
这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应
点到位似中心的距离之比等于 ，
对应线段 .
2. 如何判断两个图形是不是位似图形
位似图形
位似中心
相似比 (或位似比)
平行或者在一条直线上
3. 画位似图形的一般步骤有哪些？
4. 基本模型：
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
讲授新课
1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．
以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩
小，观察对应点之间坐标的变化.
合作探究
平面直角坐标系中的位似变换
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )，
B' ( ， )；
A" ( ， )，
B" ( ， ).
2
1
2
0
－2
－1
－2
0
2. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)，
C (5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将
△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
2
4
6
4
6
－2
－4
－4
x
y
A
B
2
8
10
C
－2
－6
－8
－10
－8
B'
A'
C'
A"
B"
C"
如图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为
A' ( ， )，B' ( ， )，C' ( ， )；
A" ( ， )，B" ( ， )，C" ( ， ).
4
6
4
2
10
4
－4
－6
－4
－2
－10
－4
问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个
图形的位似图形可以作两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的
比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的
坐标的比为－k．
3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1
时，图形缩小为原来的 k 倍．
归纳：
1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，
B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内
将线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段 CD，则
端点 D 的坐标为 ( )
A. (2，2) B. (2，1)
C. (3，2) D. (3，1)
练一练
D
x
y
A
B
C
D
2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，
以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三
个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，
则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 .
1 : 3
典例精析
例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ，即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形.
A′
B′
还有其他画法吗？自己试一试.
在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3.
练一练
O
C
解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接O，A'，B'，C'.
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
C'
画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐
标都乘 ；在平面
直角坐标系中描点
O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″.
O
C
2
4
6
4
6
B″
－2
－4
－4
x
y
A
B
A″
C″
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
平面直角坐标系中的图形变换
将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；
(2) 关于 x 轴对称；
(3) 以 C 为位似中心，将
△ABC 放大2倍；
(4) 以 C 为中心，将
△ABC 顺时针旋
转180°．
练一练
x
y
A
B
C
1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( )
A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
C
当堂练习
2. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位
似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E
点坐标为 ( )
A．(4，－3) B．(4，－2)
C．(4，－4) D．(4，－6)
A
3. 如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 .
(－2a，－2b)
4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A
(1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积
是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 .
6
5. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和
点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正
方形的位似中心的坐标是___________________．
(1，0) 或 (－5，－2)
O
x
6. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍．
C
2
4
6
－4
x
y
A
B
2
－2
答案：
A' (4，－4)，
B' (8， －10)，
C' (10，－4)；
B'
A'
C'
A"
B"
C"
A″ (－4，4)，
B″ (－8，10)，
C″ (－10，4).
7. 在 13×13 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2).
x
y
A
B
C
(1) 以点 M 为位似中心，位似比为 2，画出△ABC的位似图形 △A′B′C′；
M
A′
B′
C′
解：如图所示.
(2) 写出 △A′B′C′ 的各顶点坐标.
答：△A′B′C′ 的各顶点坐标分别为 A′ (3，6)，B′ (5，2)，C′ (11，4).
8. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)，点 B 的坐标为 (4，0).
4
x
y
A
B
4
3
(1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移
1 个单位长度后得△A1O1B1，
则点 A1 的坐标为 ，
△A1O1B1的面积为 ；
(2，4)
8
(2) 将 △AOB 绕原点旋转 180°
后得 △A2O2B2，则点 A2 的
坐标为 ；
(－3，－4)
(3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的
坐标为 ；
(4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将 △AOB 放大
后得 △A4O4B4，若点 B 在 x 轴负半轴上，则点 A4
的坐标为 ，△A4O4B4的面积为 .
4
x
y
A
B
4
3
(3，－4)
(－6，－8)
32
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
课堂小结
坐标变化规律
平面直角坐标系中的位似图形的画法(共34张PPT)
小结与复习
第27章 相 似
(1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
要点梳理
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
1. 图形的相似
①表象：大小不等，形状相同.
②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
通过定义
平行于三角形一边的直线
三边成比例
两边成比例且夹角相等
两角分别相等
两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
(三个角分别相等，三条边成比例)
2. 相似三角形的判定
对应角相等、对应边成比例
对应高、中线、角平分线的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方
3. 相似三角形的性质
(1) 测高
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
(不能直接测量的两点间的距离)
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距
4. 相似三角形的应用
(1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连
线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位
似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似
比也称为位似比)
5. 位似
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心
的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在
一条直线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
A
B
G
C
E
D
F
●P
B′
A′
C′
D′
E′
F′
G′
A′
B′
C′
D′
E′
F′
G′
A
B
G
C
E
D
F
●P
(4) 平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k.
考点讲练
考点一 相似三角形的判定和性质
针对训练
1．如图,当满足下列条件之一时，都可判定
△ADC ∽△ACB．
(1) ；
(2) ；
(3) .
∠ACD =∠B
∠ACB =∠ADC
B
C
A
D
或 AC2 = AD · AB
2. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的
△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条
边长为 ．
36 和 39
3. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上
且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF
与 △ABC 相似，则 AF = .
B
C
A
E
2 或 4.5
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积
与 △DFA 的面积之比为 .
1 : 9
5. 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂
足为 P，求证：PC2 ＝ PA · PB.
B
·
A
C
D
O
P
证明：连接AC，BC.
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°.
又 ∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，
∠PCB＋∠B＝90°.
∴ ∠A＝∠CPB，
∴ △APC ∽△CPB.
∴ PC2 = AP · PB.
∴
例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
A
B
C
D
E
F
G
H
解：设正方形 EFHG 为加工成的
正方形零件，边 GH 在 BC
上，顶点 E、F 分别在AB、
AC上，△ABC 的高 AD 与边
EF 相交于点 M，设正方形的
边长为 x mm.
M
∵ EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
又∵ AM＝AD－MD＝80－x，
解得 x = 48.
即这个正方形零件的边长是 48 mm.
A
B
C
D
E
F
G
H
M
则
∴
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∠ACF＝120°．
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE．
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
例2 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.
(1) 求证：△ABD ∽△CED；
A
B
C
D
F
E
(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.
解：作 BM⊥AC 于点 M.
∵ AC＝AB＝6，
∴ AM＝CM＝3.
∵ AD ＝ 2CD，
∴CD＝2，AD＝4，
MD＝1.
A
B
C
D
F
E
M
在 Rt△BDM 中，
由(1) △ABD ∽△CED得，
即
∴
A
B
C
D
F
E
M
证明：连接AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC.
∵AC 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC =180°－
(∠EBC+∠DCA)=90°，∴AC⊥BH.
例3 已知：在 △ABC 中，以 AC 边为直径的 ⊙O 交BC 于点 D，在劣弧上取一点 E 使 ∠EBC =∠DEC，延长 BE 依次交 AC 于点 G，交 ⊙O 于 H．
(1) 求证：AC⊥BH；
A
B
C
D
G
E
O
H
(2) 若 ∠ABC=45°，⊙O 的直径等于 10，BD = 8，
求 CE 的长．
A
B
C
D
G
E
O
H
解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°，
∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，
∴ BD = AD.
∵ BD = 8，∴ AD = 8.
在 Rt△ADC中，AD = 8，AC = 10，
由勾股定理得 DC = 6，则 BC = BD + DC = 14.
∵∠EBC = ∠DEC，∠BCE = ∠ECD，
∴△BCE∽△ECD，∴BC : CE = CE : CD，
即 CE2 = BC · CD =14×6 = 84，∴ CE = .
考点二 相似的应用
例1 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D
与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB的长．
2m
1.2m
3.6m
2m
1.2m
3.6m
解：如图，CD＝3.6m，
∵△BDC∽△FGE，
∴ BC＝6m.
在 Rt△ABC 中，
∵ ∠A＝30°，
∴ AB＝2BC＝12 m，
即树长 AB 是 12 m.
即
∴
例2 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度 (画出示意图)，并说明理由．
解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜
子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑
顶 A. 若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、
BE的长，就可算出纪念碑 AB 的高．
根据 ，即可算出 AB 的高．
你还有其他方法吗？
理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.
如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
针对训练
A
B
O
C
D
2m
6m
1.8m
解：∵∠ABO=∠CDO=90°，
∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD.
∴
∴
解得 CD = 5.4m.
故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方．
A
B
O
C
D
2m
6m
1.8m
考点三 位似的性质及应用
针对训练
1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和
△A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( )
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A
C'
B
C
A'
A
B
C
D
B
3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC
是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为
，面积比为 .
D
A
E
B
C
C
4 : 3
16 : 9
4. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6，
3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为
位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则
点 B′ 的坐标为 .
(4，－3)
5. 找出下列图形的位似中心.
6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，
点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点.
A
B
C
(1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和
△ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3.
O
A′
B′
C′
解：如图所示.
(2) 线段 AA′ 的长度是 .
7. 如图，△ABC 在方格纸中.
(1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)，
C (6，2)，并求出 B 点坐标；
解：如图所示，
B (2，1).
x
y
O
(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内
将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；
x
y
O
A′
B′
C′
解：如图所示.
(3) 计算△A′B′C′的面积 S.
x
y
O
A′
B′
C′
解：
课堂小结
相似
相似图形
位似
相似多边形
相似三角形
性质
平面直角坐标系中的位似
应用
性质
判定
平行线分线段成比例
定义
定义、判定、性质
