2023届高三数学一轮复习数列求和 方法归纳与训练讲义（有答案）

数列求和专题训练
一、直接求和法（或公式法）
掌握一些常见的数列的前n项和：
，
1+3+5+……+(2n-1)=,
2 + 4 + 6 +......+ 2n = n (n+1)
等.
例1 求．
变式练习：已知，求的前n项和.
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
例2 求的和．
三、裂项相消法
常见的拆项公式有：
，
，
，等.
例3 已知 ，
求 的和．
小结：如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.
变式练习：求数列，，，…，，…的前n项和S.
四、错位相减法
源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.
例4 求的和．
小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.
变式练习：求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a为常数)的前n项和。
五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.
例5 求数列，的前项和．
变式练习：求数列的前n项和.
数列求和基础训练
1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝________________.
2.设，则＝_______________________.
3. .
4. =__________
5. 数列的通项公式 ，前n项和
6 的前n项和为_________
数列求和提高训练
1．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则 ( )
A． B． C． D．
2．数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N*，则数列{}前10项的和等于 ( )
A．100 B．85 C．70 D．55
3．设m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则m等于 ( )
A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)
4．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
5．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则{cn}的前10项和为 （ ）
A.978 B.557 C.467 D.979
6．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝ ( ) (　　)
A．15 B.12 C．－12 D.－15
7．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 .
8．若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a = ,b = ,c = .
9．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有成立．
求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．
10.设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
11．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝(n＝1,2，…)．
(1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和Sn.
数列求和
一、直接求和法（或公式法）
掌握一些常见的数列的前n项和：
，
1+3+5+……+(2n-1)=
，
等.
例1 求．
解：原式．
由等差数列求和公式，得原式．
变式练习：已知，求 的前n项和.
解：1－
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
例2 求的和．
解：设
则．
两式相加，得 ．
三、裂项相消法
常见的拆项公式有：
，
，
，等.
例3 已知，
求 的和．
解：，
小结：如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.
变式练习：求数列，，，…，，…的前n项和S.
解：∵=）
Sn===
四、错位相减法
源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.
例4 求的和．
解：当时，； 当时，．
小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.
变式练习：求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a为常数)的前n项和。
解：（1）若a=0, 则Sn=0 （2）若a=1,则Sn=1+2+3+…+n=
（3）若a≠0且a≠1
则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan ， ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1
∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1=
∴Sn= 当a=0时，此式也成立。
∴Sn =
五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.
例5 求数列，的前项和．
．
变式练习：求数列的前n项和
解：
数列求和基础训练
1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝
2.设，则＝ .
3..
4. =
5. 数列的通项公式，前n项和
6 . 的前n项和为
数列求和提高训练
1．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则 ( A )
A． B． C． D．
解：∵am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋a1＋n＝an＋1＋n，
∴利用叠加法得到：，∴，
∴．
2．数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N*，则数列{}前10项的和等于 ( B )
A．100 B．85 C．70 D．55
解：∵an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1 ∴＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n―1)―1＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3 则数列{}也是等差数列，并且前10项和等于： 答案：B.
3．设m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则m等于 ( A )
A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)
3．解：因为 a n = n2 - n.，则依据分组集合即得. 答案;A.
4．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于 ( A )
A.1 B.-1 C.0 D.2
解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn= 答案：A
5．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则{cn}的前10项和为 ( A )
A.978 B.557 C.467 D.979
解 由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则
∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978. 答案：A
6. 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝ ( A ) (　　)
A．15 B.12 C．－12 D.－15
解析 A　设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.
一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为
解： 设此数列{an},其中间项为a1001,
则S奇=a1+a3+a5+…+a2001=1001·a1001,S偶=a2+a4+a6+…+a2000=1000a1001. 答案:
若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c= .
解： 原式= 答案：
9．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有成立．
求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．
解：(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d＞0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，可得bn＝3n－1
当n＝1时，c1＝3； 当n≥2时，由，得cn＝2·3n－1，
故 故c1＋c2＋c3＋…＋c2014＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32002＝32015．
设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列 的前n项和，求Tn.
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d.∵S7＝7，S15＝75，
∴即解得∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)． ∴－＝， ∴数列是首项为－2，公差为的等差数列． ∴Tn＝n2－n.
已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝
(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn.
解析 (1)∵an＋1＝，∴＝＝＋，∴－1＝，又a1＝，
∴－1＝≠0，∴－1≠0，∴＝，∴数列是以为首项，为公比的等比数
(2)由(1)知－1＝·即＝＋1∴＝＋n.设Tn＝＋＋＋…＋.......①
则Tn＝＋＋…＋＋ ．．．．．．． ② ， ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－
＝－＝1－－，∴Tn＝2－－＝2－.又∵1＋2＋3＋…＋n＝， ∴ 数列的前n项和Sn＝2－＋＝－.
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