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高中数学人教A版（2019）必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式

2.2 基本不等式 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（含答案）

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名称 2.2 基本不等式 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（含答案）
格式 docx
文件大小 73.9KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版（2019）
科目 数学
更新时间 2022-10-07 22:51:52

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文档简介

《第三节　不等式》同步练习
（　基本不等式（2）））
一、基础巩固
知识点1　利用基本不等式比较大小
1.若0A.a2+b2 B.2
C.2ab D.a+b
2.设m>1,P=m+,Q=5,则P,Q的大小关系为(　　)
A.PC.P≥Q D.P≤Q
3.[2022湖南长沙雅礼中学高一期末考试]某地近来猪肉价格起伏较大,假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤,b元/斤(a≠b),甲和乙购买猪肉的方式不同,甲每周购买20元的猪肉,乙每周购买6斤猪肉,甲、乙两次平均单价分别记为m1,m2,则(　　)
A.m1=m2
B.m1>m2
C.m2>m1
D.m1,m2的大小无法确定
知识点2　利用基本不等式求最值
4.已知a>0,b>0,且2a+b=4,则ab的最大值为(　　)
A. B.4 C. D.2
5.[2022江苏扬州高一期末考试]若x>2,则x+的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
6.[2022甘肃金昌一中高一期末考试]若x>0,则的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知a>0,b>0,则4a+b+的最小值是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.5
8.(多选)已知正数x,y满足x+y=2,则(　　)
A.xy的最大值是1
B.的最小值是2
C.x2+y2的最小值是4
D.的最小值是
9.若对任意x>0,x3+5x2+4x≥ax2恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.求:
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
11.求下列函数的最值.
(1)y=(x<1)的最大值.
(2)y=(x>-2)的最大值.
知识点3　利用基本不等式证明不等式
12.证明下列不等式,并讨论等号成立的条件.
(1)若-1≤x≤1,则≤;
(2)若ab≠0,则||≥2.
13.已知a,b,c均为正实数.
(1)求证:a+b+c≥.
(2)若a+b=1,求证:(1+)(1+)≥9.
知识点4　基本不等式的实际应用
14.[2022河南驻马店高一期末考试]某批救灾物资随41辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长360 km,为安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km(车长忽略不计),要使这批物资尽快全部到达灾区,则v=(　　)
A.70 B.80 C.90 D.100
15.[2022北京石景山高一期末考试]某人计划建造一个室内面积为1 500 m2的矩形温室大棚,并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5 m宽的通道,两养殖池之间保留2 m宽的通道.设温室的一边长度为x m,两个养殖池的总面积为y m2,如图所示.
(1)将y表示为x的函数;
(2)当x取何值时,y取最大值 最大值是多少
二、能力提升
1. 已知x>0,y>0,x+2y=3,则的最小值为(　　)
A.3-2 B.2+1 C.-1 D.+1
2.[2022重庆高一期末考试]已知2a-b=2,且0A.2 B.3 C.4 D.5
3.若不等式+3≥x(a+b)对任意正数a,b恒成立,则实数x的最大值为(　　)
A. B.2 C. D.1
4.若x>0,y>0,x+2y=1,则的最大值为　　　　.
5.[2022江苏南京高一期末考试]若正实数a,b满足a+b+2=ab,则a+b-2的最小值为　　　　;的最小值是　　　　.
6. 中国汉代数学名著《九章算术》中有一问题为“设一直角三角形(如图1)的两直角边长分别为a和b,求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长”.数学家刘徽利用出入相补原理给出了上述问题如图2和图3所示的解答,则图1中直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为　　　　,当内接正方形的面积为1时,则图3中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为　　　　.
7.[2022安徽芜湖高一期末考试]设a,b,c为正实数,且a+b+c=1.证明:
(1)≥;
(2)a3+b3+c3≥.
8.为发展空间互联网,抢占6G技术制高点,某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解,该企业研发部原有100人,年人均投入a(a>0)万元,现把研发部人员分成两类:技术人员和研发人员,其中技术人员有x名(x∈N*且45≤x≤75),调整后研发人员的年人均投入增加4x%,技术人员的年人均投入调整为a(m-)万元.
(1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入,则调整后的技术人员最多有多少人
(2)是否存在实数m同时满足两个条件:①技术人员的年人均投入始终不减少;②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、基础巩固
1.D　2.C　3.C　4.D　5.C　6.A　7.C　8.ABD
9.(-∞,9]
10.(1)xy=2x+8y≥2,当且仅当2x=8y,即x=16,y=4时等号成立,
∴≥8,∴xy≥64,∴xy的最小值为64.
(2)由2x+8y=xy,得=1,
∴x+y==10+≥10+2=18,当且仅当,即x=12,y=6时等号成立,
∴x+y的最小值为18.
11.(1)y==x-1++2=2-[(1-x)+]≤2-2=2-2,当且仅当1-x=,即x=1-时取等号,所以y=(x<1)的最大值是2-2.
(2)设t=(t>0),则x=t2-2,
y=≤,当且仅当2t=,即t=,即x=-时,等号成立.
故y=(x>-2)的最大值为.
12.证明(1)因为-1≤x≤1,所以0≤x2≤1,1-x2≥0,所以≤,当且仅当x2=1-x2,即x=±时,等号成立.
(2)因为ab≠0,当ab>0时,||=≥2=2,当且仅当a=b≠0时等号成立.
当ab<0时,||=(-)+(-)≥2=2,当且仅当a=-b≠0时等号成立.
综上,若ab≠0,则||≥2成立,当且仅当a2=b2≠0时等号成立.
13.证明(1)因为a,b,c都是正数,所以[(a+b)+(b+c)+(a+c)]≥(2+2+2)=,当且仅当a=b=c时,等号成立,所以a+b+c≥.
(2)(1+)(1+)=1+=1+=1+≥1+=1+=9,
当且仅当a=b=时等号成立.
∴(1+)(1+)≥9.
14.C
15.(1)依题意,得温室的另一边长为 m,
因为,所以3则养殖池的总面积y=(x-3)(-5)=1 515--5x,3(2)由(1),知y=1 515-(+5x)≤1 515-2=1 515-300=1 215,当且仅当=5x,即x=30时等号成立,
所以当x=30时,y取最大值,为1 215.
二、能力提升
1.B　2.A 3.C
4.
5.2　2
6.　2
7.证明(1)由题意,得
=(2a+2b+2c)()
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]()
=(3+)
≥(3+2+2+2)
=(当且仅当a=b=c=时等号成立).
(2)由题意,得a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(1-c)ab,　①
b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(1-a)bc,　②
c3+a3=(c+a)(c2+a2-ca)≥(1-b)ca,　③
由①+②+③,得2(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca-3abc,
即a3+b3+c3≥(当且仅当a=b=c=时等号成立).
8.(1)依题意可得调整后研发人员有(100-x)人,年人均投入为(1+4x%)a万元,
则(100-x)(1+4x%)a≥100a,
解得0≤x≤75.
又45≤x≤75,x∈N*,所以调整后的技术人员最多有75人.
(2)假设存在实数m满足条件.
由条件①,得a(m-)≥a,得m≥+1.
又45≤x≤75,x∈N*,
所以当x=75时,+1取得最大值7,所以m≥7.
由条件②,得(100-x)(1+4x%)a≥a(m-)x,不等式两边同除以ax,
得(-1)(1+)≥m-,
整理得m≤+3,
因为+3≥2+3=7,当且仅当,即x=50时等号成立,所以m≤7.
综上,得m=7.
故存在实数m为7满足条件.
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