6.4.1 样本的数字特征（1） 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（Word含答案）

《第四节　用样本估计总体的数字特征》同步练习
（（1）　样本的数字特征）
一、基础巩固
知识点1　样本的平均数、中位数、众数
1.[2022上海长宁区高三上一模]给定一组数据15,17,14,10,12,17,17,16,14,12,设这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则(　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.b>c>a
2.[2022云南昆明五华区高三模考]联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)在中国昆明举行,全国30个城市联动举行了“2021COP15春城之邀——一粒来自昆明的种子”活动,活动特别准备了2万份“神秘”花种盲盒,其中有一种花的植株高度的频率分布直方图如图所示,则这种花的植株高度的众数约为　　　　,中位数约为　　　　.
3.某公司的33名职工的季度奖金(单位:元)如下表所示:
人数 1 1 2 1 5 3 20
季度奖金 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500
(1)求该公司职工季度奖金的平均数、中位数、众数(精确到整数);
(2)假设将表中的5 000元提升到20 000元,5 500元提升到30 000元,求新的平均数、中位数、众数(精确到整数);
(3)你认为哪个统计量更能反映该公司员工的季度奖金情况,结合此问题谈一谈你的看法.
知识点2　样本的极差、方差、标准差
4.如图所示,样本A和样本B分别取自两个不同的总体,它们的平均数分别为和,标准差分别为sA和sB,则(　　)
A.,sA>sB
B.,sA>sB
C.,sAD.,sA5.[2022贵州毕节金沙一中高二月考]一组数据由8个数构成,已知它们的平均数为6,平方和为384,则这组数据的方差为(　　)
A.20 B.18 C.12 D.10
6.某公司普通员工的年收入分别为x1,x2,…,xn(n≥3,n∈N*),设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z.若加上收入最高的公司总经理的年收入xn+1,则关于这(n+1)个数据,下列说法正确的是(　　)
A.平均数大大增加,中位数一定变大,标准差可能不变
B.平均数大大增加,中位数可能不变,标准差变大
C.平均数大大增加,中位数可能不变,标准差不变
D.平均数可能不变,中位数可能不变,标准差可能不变
7.(多选)[2022云南昆明高二下期末考试]《数术记遗》记述了积算(即筹算)、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共7人,他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间(单位:min)分别为93,93,88,81,94,91,90.则这组时间数据的(　　)
A.极差为13　　　　 B.平均数为90
C.方差为25　　　　 D.中位数为92
8.[2022江西九校高二上期中联考]从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛,现对他们的射击水平进行测试,两人在相同条件下各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲:7,8,6,8,6,5,9,10,7,4;
乙:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
(1)求,,,.
(2)你认为应该选哪名学生参加比赛,并给出理由.
知识点3　用样本的数字特征估计总体的数字特征
9.(多选)[2022辽宁重点高中协作体高一上期末考试]某汽车制造厂分别从A,B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试,下面列出了每一个轮胎可使用的最远路程(单位:103km).
A类轮胎:94,96,99,99,105,107;
B类轮胎:95,95,98,99,104,109.
根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况,下列说法正确的是(　　)
A.A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数
B.A类轮胎行驶的最远路程的极差小于B类轮胎行驶的最远路程的极差
C.A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数
D.A类轮胎的性能更加稳定
10.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间(单位:min)记录如下表:
等待时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25]
频数 4 8 5 2 1
则估计该医院急救中心病人的平均等待时间为　　　,病人等待时间的方差为　　　.
11.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下.
(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数、中位数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款
二、能力提升
1.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2,方差是,那么另一组数3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2的平均数、方差分别是(　　)
A.2, B.2,1 C.4,3 D.4,
2.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成情况,随机采访了9位职工,得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44.若用样本估计总体,则公司中年龄在(-s,+s)内的人数占总人数的百分比是(其中是平均数,s为标准差,结果精确到1%)(　　)
A.14% B.25% C.56% D.67%
3.[2022河南南阳高一上期末考试]已知一个样本容量为7的样本的平均数为5,方差为2,现样本加入三个新数据4,5,6,若新样本的平均数为,方差为s2,则(　　)
A.=5,s2=1.8 B.=5,s2=1.6
C.=4.9,s2=1.6 D.=5.1,s2=1.8
4.[2022华师大二附中高三上月考]某校在劳动基地开展开垦菜地、种植蔬菜的实践活动.某班级统计其负责菜地连续8周的蔬菜周产量(单位:斤),并制作折线图如图所示,根据折线图信息,下列结论中错误的是(　　)
A.这8周周产量的众数为19
B.共有4周周产量超过这8周周产量的平均数
C.这8周周产量的中位数小于其平均数
D.前4周周产量的方差大于后4周周产量的方差
5.若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不低于第3名,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据,推断一定是尖子生的是(　　)
A.甲同学:平均数为2,众数为1
B.乙同学:平均数为2,方差小于1
C.丙同学:中位数为2,众数为2
D.丁同学:众数为2,方差大于1
6. (多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的80%分位数等于乙的成绩的80%分位数
D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
7.在一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未污损,即9,10,11,1 ,那么这组数据的方差最大时,被污损的两个数据分别是　　　　.
8.在一场文艺比赛中, 10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组,分别为小组A、小组B.给参赛选手甲、乙打分如下.
小组A:
甲:7.5　7.5　7.8　7.8　8.0　8.0　8.2　8.3　8.4　9.5
乙:7.0　7.8　7.8　7.8　8.0　8.0　8.3　8.3　8.5　8.5
小组B:
甲:7.4　7.5　7.5　7.6　8.0　8.0　8.2　8.9　9.0　9.0
乙:6.9　7.5　7.6　7.8　7.8　8.0　8.0　8.5　9.0　9.0
(以下计算结果保留两位小数.)
(1)选择一个可以度量打分相似性的量,并对每组评委的打分计算度量值,根据这个值判断小组A与小组B哪个更专业.
(2)根据(1)的判断结果,计算专业评委给参赛选手甲、乙打分的平均分.
(3)若用专业评委打分的数据,选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后.剩下8个评委评分的平均分.那么这两位选手的最后得分是多少 若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分,两位选手的排名有变化吗 你认为哪种评分办法更好(只判断不说明)
9.[2022华师大一附中高一下期末考试]从某小区抽100户居民进行月用电量调查,发现他们的月用电量(单位:度)都在[50,350]内,进行适当分组,并得到如图所示的频率分布折线图.
(1)请画出频率分布直方图,并求出频率分布折线图中x的值;
(2)请结合频率分布直方图,估计本小区月用电量落在区间[50,200)内的用户的月用电量的平均数;
(3)已知在原始数据中,月用电量落在区间[50,200)内的用户的月用电量的方差为1 600,所有这100户的月用电量的平均数为188度,方差为5 200,且月用电量落在区间[50,200)内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同,估计本小区月用电量在区间[200,350]内的用户月用电量的标准差.
(参考数据:142=196,262=676,722=5 184,482+1 600=3 904,1402+1 600=21 200,1882+5 200=40 544)
参考答案
一、基础巩固
1.B
2.45　45.8
3.(1)=1 500+×(4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+
0×20)≈1 500+591=2 091(元),
中位数是1 500元,众数是1 500元.
(2)新的平均数是'=1 500+×(28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20)≈1 500+1 788=3 288(元),
中位数是1 500元,众数是1 500元.
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的季度奖金情况.因为公司中少数人的季度奖金与大多数人的季度奖金差别较大,导致平均数与中位数、众数偏差较大,所以平均数不能反映该公司员工的季度奖金情况.
4.B 5.C 6.B 7.AB
8. (1)由题意得
(7+8+6+8+6+5+9+10+7+4)=7,
(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)=7,
[(7-7)2×2+(8-7)2×2+(6-7)2×2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(4-7)2]=3,
[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(6-7)2×2]=1.2.
(2)由(1)可知甲、乙两人的平均成绩一样,乙的方差小于甲的方差,说明乙的成绩更稳定,
所以应该选乙参加比赛.
9.ABD
10.9.5　28.5
11. (1)依题意,可得使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55,
因为0.06+0.34=0.4<0.5,0.06+0.34+0.12=0.52>0.5,所以中位数为30+≈38.33,
平均数为15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04=40.
(2)使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为
15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=
35<40, 所以选B款订餐软件.
二、能力提升
1.C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.AC
7.19,1
8.(1)选择方差进行分析.
小组A的打分中,
甲的均值×(7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.5)=8.1,
甲的方差×[(7.5-8.1)2×2+(7.8-8.1)2×2+(8.0-8.1)2×2+(8.2-8.1)2+(8.3-8.1)2+(8.4-8.1)2
+(9.5-8.1)2]≈0.30,
乙的均值×(7.0+7.8+7.8+7.8+8.0+8.0+8.3+8.3+8.5+8.5)=8,
乙的方差×[(7.0-8)2+(7.8-8)2×3+(8.0-8)2×2+(8.3-8)2×2+(8.5-8)2×2]=0.18;
小组B的打分中,
甲的均值×(7.4+7.5+7.5+7.6+8.0+8.0+8.2+8.9+9.0+9.0)=8.11,
甲的方差×[(7.4-8.11)2+(7.5-8.11)2×2+(7.6-8.11)2+(8.0-8.11)2×2+(8.2-8.11)2
+(8.9-8.11)2+(9.0-8.11)2×2]≈0.37,
乙的均值×(6.9+7.5+7.6+7.8+7.8+8.0+8.0+8.5+9.0+9.0)=8.01,
乙的方差×[(6.9-8.01)2+(7.5-8.01)2+(7.6-8.01)2+(7.8-8.01)2×2+(8.0-8.01)2×2+(8.5-8.01)2+(9.0-8.01)2×2]≈0.39.
由以上数据可得,在甲、乙得分均值均差0.1的情况下,小组B的打分方差较大,所以小组A的打分更专业.
(2)由(1)可得,小组A为专业评委,
所以选手甲的平均分=8.1,
选手乙的平均分=8.
(3)由专业评委的数据,去掉一个最高分,去掉一个最低分后,甲、乙的均值分别为:
=8,
≈8.06.
去掉一个最低分,一个最高分之后,乙的均值高于甲,按照10个数据计算时,甲的均值高于乙的均值,所以两位选手的排名有变化.
我认为去掉一个最低分和一个最高分的评分方法更好.
9.(1)根据题中频率分布折线图作出频率分布直方图,如图所示.
由频率分布折线图或频率分布直方图可得(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50=1,
所以x=0.004 4.
(2)月用电量落在区间[50,100),[100,150),[150,200)内的用户数分别为0.002 4×50×100=12,0.003 6×50×100=18,
0.006 0×50×100=30,
所以估计本小区月用电量落在区间[50,200)内的用户的月用电量的平均数为(75×12+125×18+175×30)÷(12+18+30)=140(度).
(3)由(2)知月用电量落在区间[50,200)的户数为60,用户的月用电量的平均数为140,
则月用电量落在区间[200,350]内的户数为100-60=40,
设前60户的月用电量分别为xi(i=1,2,…,60),平均数=140,方差=1 600,
后40户的月用电量分别为yn(n=1,2,…,40),平均数为,方差为,
全部100户的月用电量分别为zm(m=1,2,…,100),平均数=188,方差s2=5 200,
所以60+40=100,所以=260.
得=21 200,
s2=-1882=5 200,得=40 544,
所以()-2602=(100×40 544-60×21 200)-2602 =1 960,所以s2=14.
所以月用电量在区间[200,350]内的用户的月用电量的标准差为14.