5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

《第一节　方程解的存在性及方程的近似解》同步练习
（1　利用函数性质判定方程解的存在性）
一、基础巩固
知识点1　对数函数的图象及其应用
1.[2022安徽宿州十三所重点中学高一上期末联考]已知函数f(x)=loga(x+3)+1(a>0且a≠1),则函数f(x)恒过定点(　　)
A.(1,0) B.(-2,0)
C.(0,1) D.(-2,1)
2.函数y=ax与y=lo x(a>0且a≠1)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
3.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是(　　)
A.a>1,c>1 B.a>1,0C.01 D.04. [2022江西宜春九中高一阶段练习]当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.(0,)
5.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,已知a的取值为,,,,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是　　　　　.
知识点2　对数函数的性质及其应用
6.[2022江西南昌十三中等四校高一上期末联考]函数f(x)=+lo(x+1)的定义域是(　　)
A.[-1,3) B.(-1,3)
C.(-1,3] D.[-1,3]
7.若loga<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围为(　　)
A.(,1)
B.(,+∞)
C.(0,)∪(1,+∞)
D.(0,)∪(,+∞)
8.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(0,2) D.(2,+∞)
9.(多选)[2022重庆巴蜀中学高一上期末考试]若f(x)=ln(x2+1)(x∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=0对称
B.f(x)的图象关于点(0,0)中心对称
C.f(x)没有最小值
D.f(x)没有最大值
10.若函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在区间[,8]上的最大值比最小值大5,则实数a的值为　　　　.
11. 分别比较下列各组数的大小:
(1)log3.82.5,log2.82.9,log2.84.6;
(2)8-0.7,log70.8,log0.80.7;
(3)log25与log35.
12.[2022江西高一上期末联考]已知函数f(x)=log3(2-x)+log3(x+4).
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(x)的最大值.
13. [2022山东烟台高一上期末考试]解关于x的不等式:loga(x+1)>loga(3-x2)(a>0,且a≠1).
14.[2022重庆高一上期末联考]已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x2-x+a)的定义域为R.
(1)求实数a的取值范围;
(2)讨论关于x的不等式f(x)>1+logax的解集.
二、能力提升
1.已知lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是(　　)
2.[2022湖南岳阳高一上期中考试]设m,n,t为正数,且3m=4n=5t,则(　　)
A.mC.n3.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是(　　)
A.0C.04.已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,那么实数a的取值范围是(　　)
A.(0,] B.[,1)
C.[,] D.[,1)
5.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间[,]上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(,1) B.[,1)
C.(,1) D.[,1)
6.[2022重庆八中高一上期末考试]已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(log20.2),b=g(20.5),c=g(4),则a,b,c的大小关系为(　　)
A.cC.b7.(多选)[2022安徽宿州高一上期末联考]已知f(x)=lox,g(x)=log2x,h(x)=lg x,若f(a)=g(b)=h(c),则a,b,c的大小关系可能是(　　)
A.aC.a>b>c D.b>a>c
8.(多选)[2022湖北宜昌一中等三校高一下联考]已知函数f(x)=lo(x2-2ax+4),其中a∈R,则下列说法中正确的是(　　)
A.当a=0时,函数f(x)有最大值-2
B.当-2C.当a≥2时,函数f(x)的值域为R
D.当a≥1时,函数f(x)在(-∞,1)上单调递增
9.[2022山东德州一中高一上期末考试]已知实数a>0,且满足不等式33a+2>34a+1,则不等式loga(3x+2)10.[2022北京房山区高一上期末考试]已知函数f(x)=,若f(x)存在最小值,则实数a的取值范围是　　　　　.
11.已知f(x)是对数函数,且f(b2-2b+5)的最大值为-2,其中b∈R.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于任意的实数x∈[2,8],都有2f(x)-m+6<0恒成立,求实数m的取值范围.
12.[2022安徽蚌埠高一上期末联考]在①f(x)=log2x,g(x)=x2-4x+4,②f(x)=x2-4x+4,g(x)=log2x这两个条件中任选一个,补充到下面的横线中,并求解问题.
已知函数　　　　　.
(1)求函数y=f(g(x))的解析式及定义域;
(2)解不等式f(g(x))≤1.
13.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)当a>1时,解关于x的不等式f(x)(3)当a=3时,若不等式f(x)-log3(1+3x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.
14. 已知函数f(x)=lo的图象关于原点对称,其中a为常数.
(1)求a的值;
(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)(3)若关于x的方程f(x)=lo(x+k)在[2,3]上有解,求实数k的取值范围.
参考答案
一、基础巩固
1.D 2.A 3.D 4.C
5. ,,,
6.C 7.C 8.B 9.AD
10.或2
11.(1)∵y=log2.8x在(0,+∞)上是增函数,∴log2.84.6>log2.82.9>log2.82.8=1.
又y=log3.8x在(0,+∞)上是增函数,
∴log3.82.5∴log3.82.5(2)∵y=8x在R上是增函数,
∴0<8-0.7<80=1.
∵y=log7x在(0,+∞)上是增函数,
∴log70.8∵y=log0.8x在(0,+∞)上是减函数,
∴log0.80.7>log0.80.8=1.
∴log0.80.7>8-0.7>log70.8.
(3)∵log25=,log35=,又log53>log52>0,∴log25>log35.
12.(1)要使函数有意义,则,解得-4所以函数f(x)的定义域为(-4,2).
(2)f(x)=log3(2-x)+log3(x+4)=log3(-x2-2x+8)=log3[-(x+1)2+9],
因为-4所以log3[-(x+1)2+9]≤log39=2,即f(x)的最大值为2.
13.当a>1时,原不等式等价于,即,解得1所以当a>1时,原不等式的解集为{x|1当0解得-1所以当0综上,当a>1时,原不等式的解集为{x|114.(1)由题知 x∈R,x2-x+a>0恒成立,所以Δ=1-4a<0,解得a>,
又a>0且a≠1,所以1,
所以实数a的取值范围是(,1)∪(1,+∞).
(2)f(x)>1+logax loga(x2-x+a)>logaax.
函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,所以0即(x-1)(x-a)<0,解得a函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,所以x2-x+a>ax>0,即(x-1)(x-a)>0,解得x<1或x>a,
又x>0,所以0a.
综上,当1时,原不等式的解集为(0,1)∪(a,+∞).
二、能力提升
1.B 2.D 3.A 4.C 5.A 6.B
7.ABC 8.ABC
9.(,)
10.(-∞,-2]
11.(1)设f(x)=logax (a>0,a≠1),
则f(b2-2b+5)=loga(b2-2b+5).
令u=b2-2b+5=(b-1)2+4,所以当b=1时,u取得最小值4.
因为f(b2-2b+5)的最大值为-2,
所以0所以函数f(x)的解析式为f(x)=lox.
(2)由于对于任意的实数x∈[2,8],都有2f(x)-m+6<0恒成立,
所以m>2f(x)+6对于x∈[2,8]恒成立.
设g(x)=2f(x)+6=2lox+6,x∈[2,8],则m>g(x)max.
因为g(x)=2lox+6在[2,8]上单调递减,
所以g(x)max=g(2)=2lo2+6=4,
所以m>4,即实数m的取值范围为(4,+∞).
12.若选①.
(1)y=f(g(x))=log2(x2-4x+4).
令x2-4x+4>0,得x<2或x>2,
故函数y=f(g(x))的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(2)由(1),知log2(x2-4x+4)≤1,
因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,
所以0解得2-≤x<2或2所以不等式f(g(x))≤1的解集为[2-,2)∪(2,2+].
若选②.
(1)y=f(g(x))=(log2x)2-4log2x+4,
易知函数y=f(g(x))的定义域为(0,+∞).
(2)由(1),知(log2x)2-4log2x+4≤1,
令log2x=t,则t2-4t+3≤0,解得1≤t≤3,即1≤log2x≤3.
因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且1=log22,3=log28,所以2≤x≤8,
所以不等式f(g(x))≤1的解集为[2,8].
13.(1)当a>1时,ax-1>0,得x>0,当00,得x<0.
综上,a>1时,函数f(x)的定义域为(0,+∞);
0(2)∵a>1,∴y=ax-1在R上为增函数,
∴由复合函数的单调性,知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
由f(x)故关于x的不等式f(x)(3)设g(x)=f(x)-log3(1+3x)=log3,x∈[1,3],
设t==1-,x∈[1,3],
易知t=1-在x∈[1,3]上单调递增,
所以t∈[,],故g(x)min=log3.
又f(x)-log3(1+3x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,
故m故实数m的取值范围为(-∞,-log32).
14.(1)函数f(x)=lo的图象关于原点对称,
∴f(x)+f(-x)=0,即lo+lo=0,
∴lo()=0,∴=1恒成立,
即1-a2x2=1-x2,即(a2-1)x2=0恒成立,所以a2-1=0,解得a=±1,
又a=1时,f(x)=lo无意义,故a=-1.
(2)x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)∴lo(x+1)由于y=lo(x+1)是减函数,故当x∈(1,+∞)时,lo(x+1)∈(-∞,-1),
∴m≥-1,即实数m的取值范围是[-1,+∞).
(3)∵f(x)=lo=lo(1+)在[2,3]上单调递增,g(x)=lo(x+k)在[2,3]上单调递减,关于x的方程f(x)=lo(x+k)在[2,3]上有解,
∴,即,解得-1≤k≤1,
∴实数k的取值范围是[-1,1].