高中数学人教A版（2019）必修第一册专项突破——2.2基本不等式（A）（含解析）

一、单选题
1．若，则的最小值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
4．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
5．已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（ ）
A．24 B．313 C．913 D．25
6．若正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知当x=a时，代数式取得最小值b，则a+b= （ ）
A．-3 B．2 C．3 D．8
8．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．当0A．0 B．9 C．10 D．12
11．已知集合，则
A． B．
C． D．
12．若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
13．已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
14．设a b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ）
A． B．
C． D．
15．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
16．已知，，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
17．,不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 ，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
19．已知a，b∈R，且，则的最小值是 _____．
20．已知、，且，则的最大值是_________.
21．若，则的最小值是___________.
22．若，则的最大值为_______
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参考答案：
1．D
【分析】将变形为，即可利用均值不等式求最小值.
【详解】因为，所以，因此,当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值等于3.
故选：D.
2．B
【分析】利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出与的大小关系.
【详解】因为、是正实数，且，则，
，因此，.
故选：B.
3．B
【分析】由题意可得，，进而利用基本不等式，即可得出结论．
【详解】由题意，，，
可得，，
当且仅当时等号成立，
所以此三角形面积的最大值为12．
故选：．
4．D
【分析】设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可．
【详解】解：设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．
故选：D．
5．D
【分析】根据等式ab﹣a﹣2b﹣2＝0表示出b，求出a的范围，然后将（a+1）（b+2）中的b消去，再利用基本不等式可求出（a+1）（b+2）的最小值．
【详解】因为ab﹣a﹣2b﹣2＝0，
所以b，又a＞0，b＞0，
所以0，解得a＞2，
又b1，
所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2
＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4
＝3a7＝3（a﹣2）13
，
当且仅当3（a﹣2）即a＝4时等号成立，
即（a+1）（b+2）的最小值为25．
故选：D．
6．C
【分析】由配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
【详解】（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
7．C
【分析】由基本不等式求得最小值得及取最小值成立的条件得即可得结果．
【详解】令，由，得x+1>0，>0，
所以由基本不等式得，
当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，即x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.．
故选：C
8．B
【分析】由题可得，根据展开利用基本不等式可求.
【详解】，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
9．A
【分析】先由得到，推出，根据基本不等式即可求出结果.
【详解】因为正数满足，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故选A
【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
10．B
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为0所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，
故选：B.
11．B
【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
12．A
【分析】根据基本不等式计算求解.
【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
13．D
【分析】利用基本不等式求得的最小值判断.
【详解】解：因为正实数、满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：D
14．D
【分析】根据不等式性质和基本不等式逐项分析判断即可得解.
【详解】对于选项A，因为a b是正实数，所以，则，可得到，当且仅当时等号成立，故选项A错误；
对于选项B，因为a b是正实数，所以，当且仅当，即时取等号，故选项B错误；
对于选项C，，当且仅当时取等号，故选项C错误；
对于选项D，，则恒成立，故选项D正确；
故选：D.
15．D
【分析】先将转化为，根据－4【详解】
又∵－4∴x－1<0．
∴－(x－1)>0．
∴．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
故选：D
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
16．C
【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】因为，，由基本不等式可得，，
上述两个不等式当且仅当时成立，故ABD选项错误，C选项正确.
故选：C.
17．D
【分析】不等式化为：，利用基本不等式的性质可得的最小值，即可得出．
【详解】不等式化为：，
，，当且仅当时取等号．
不等式对一切恒成立，
，
解得，
故选：．
18．B
【解析】由公式列出面积的表达式，代入已知，然后由基本不等式求得最大值．
【详解】由题意
，
当且仅当，即时等号成立﹐
此三角形面积的最大值为3.
故选：B．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
19．2
【分析】两次利用基本不等式即可得出结论.
【详解】∵，
∴ ，当且仅当a＝1＝b时取等号，
其最小值是2，
故答案为：2．
20．
【分析】利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为、，由基本不等式可得，得，
当且仅当，即，时，等号成立.
因此，的最大值是.
故答案为：.
21．2
【分析】根据，结合已知解不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
则，
所以，
解得或（舍去），
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是2.
故答案为：2.
22．
【分析】由基本不等式求最大值．
【详解】∵，∴，∴，
当且仅当即时取等号，∴当时，有最大值.
故答案为：．
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