高中数学人教A版（2019）必修第一册专项突破——2.2基本不等式（B）（含解析）

一、单选题
1．已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
2．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．已知，，则y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
5．若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木 ”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）
A．里 B．里 C．里 D．里
9．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
10．若，则有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
11．若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0 B．有最小值为0
C．有最大值为－4 D．有最小值为－4
13．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
15．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
18．已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．36
二、填空题
19．问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第层楼时，环境不满意程度为.则此人应选第_______楼，会有一个最佳满意度.
20．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木 ”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________ 里.
21．已知正数，，满足，则的最小值是___________.
22．已知正数，满足，则的最大值为______．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．C
【解析】由已知可得，即求的最小值，由基本不等式可得答案.
【详解】因为，，则，
所以，
当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以
所以实数的最大值为8.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．D
【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.
4．C
【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
【详解】因为，，，所以，
∴，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.
故选：C
5．A
【分析】由题得，再通过变形得到，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
则
，
当且仅当时取等号，
故选：A．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对式子进行合理的变形和拼凑，使之能使用基本不等式求最值.
6．C
【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
7．C
【分析】由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.
【详解】解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误；
对于选项B，因为，所以，故B错误；
对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确；
对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误；
故选：C.
8．D
【分析】根据题意得，进而得，再结合基本不等式求的最小值即可.
【详解】因为1里=300步，
则由图知步=4里，步=2.5里．
由题意，得，
则，
所以该小城的周长为，
当且仅当时等号成立.
故选:D．
【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.
9．A
【分析】由已知得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】已知正数、满足，可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.
因此，实数的最大值为.
故选：A.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
10．D
【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．
故选：D.
11．A
【分析】首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.
【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：
目标函数转化为，
由图易得，直线在时，轴截距最大.
所以.
因为，即，
当且仅当，即，时，取“”.
故选：A
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.
12．B
【分析】由均值不等式可得，分析即得解
【详解】由题意，，由均值不等式
，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0
故选：B
13．D
【分析】令，则，由权方和不等式和基本不等式得，即可求解．
【详解】由得
因为，，则
令
则化为恒成立，
由权方和不等式得
当且仅当，得即时等号成立．
所以
故选：D
14．D
【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.
【详解】实数，，，
整理得，当且仅当时取，故选项A错误；
(，
当且仅当时取，故选项B错误；
，，
，当且仅当时取，
但已知,故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
，
，
，当且仅当时取，故选项D正确，
故选：D
15．B
【分析】由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.
【详解】解：因为为正实数，
=，
当，即时等号成立，
此时有，
又因为，
所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.
故选：B.
16．D
【分析】由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.
【详解】由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时 ；
当时，不等式的解集为，
，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得 ，此时.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.
17．C
【分析】根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得，，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.
【详解】由题意，不等式的解集为，
可得，且方程的两根为和，
所以，所以，，
所以，所以A正确；
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；
由，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确．
故选：C．
18．B
【分析】对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值.
【详解】因为正实数a，b满足，
所以，即，当且仅当时，即时取等号.
因为，所以，
所以.
故的最小值是16.
故选：B
19．
【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，可得出，利用基本不等式结合双勾函数的单调性可求得结果.
【详解】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，由题意知，
，当且仅当，即时取等号，
但考虑到，所以，当时，当时，
即此人应选楼，不满意度最低.
故答案为：.
【点睛】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
20．
【分析】根据题意得出，进而可得出，结合基本不等式求的最小值即可.
【详解】因为里步，由图可知，步里，步里，
，则，且，
所以，，所以，，则，
所以，该小城的周长为（里）.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
21．
【分析】由，而代入整理，应用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件.
【详解】令，且，，为正数，
∴，当且仅当，时等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用基本不等式得到不等关系，结合已知条件作等量代换，再由基本不等式求最值，注意等号成立条件.
22．
【分析】由条件得，进而得，由基本不等式可得解.
【详解】由，得，
由，得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，、
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用等量代换实现二元换一元，进而可利于基本不等式求最值.
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