高中数学人教A版（2019）必修第一册专项突破——2.2基本不等式（C）（含解析）

一、单选题
1．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．若正数满足，则中最大的数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知，则的最大值是（ ）
A． B． C．0 D．
5．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．6 D．
6．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为
A． B． C． D．
7．在中，内角，，的对边分别为，，，其中为钝角，且满足，，若点与点在的两侧，且，，，四点共圆，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
9．已知，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
10．若a，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
11．已知a，b∈R，a+b＝2.则的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
12．是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．在中，内角，，的对边分别为，，，且面积为，则面积的最大值为　　
A． B． C． D．
15．设实数，满足条件且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．已知，则的最小值为（ ）.
A．9 B． C．5 D．
二、填空题
19．若，，则的最小值为___________.
20．设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.
21．已知正实数满足则的最小值为_______________.
22．若正实数满足，则的最小值为___________.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.
【详解】解：因为满足，
则
，
当且仅当时取等号，
故选：．
【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
2．B
【分析】设b,，则，根据，，得到，解得，验证时成立，得出答案．
【详解】不妨设b,，则，即，
因为，所以，
所以，
所以，
又 ，
得，又，所以，
当时，当且仅当或时，中的等号成立，
所以a，b，c中最大的数的最小值为5，
故选：．
【点睛】此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，
3．C
【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.
【详解】，，配凑得：，
两边同时除以4得：，即，
令，，则，，，
所以
（当且仅当即时，等号成立）.
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题.
4．A
【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.
【详解】
令
，等号在时取到．
故选：A
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
5．C
【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案．
【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
． ，
，当且仅当时取等号，
的最小值为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力．
6．B
【分析】通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.
【详解】
，为三角形内角，则
，，当且仅当时取等号
【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.
7．C
【分析】由,借助二倍角角公式化简为利用正弦定理求得,因为,求得, 四边形面积等于,借助余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式化简即可求出最大值.
【详解】由,得,由正弦定理得
,又为钝角,,又四点共圆
,在中,由余弦定理得:
即，当且仅当时,等号成立.
同理,在中，，即，,
四边形面积的最大值为.
故选:.
【点睛】本题考查正弦定理,余弦定理,基本不等式,在解三角形中的应用,难度较难.
8．A
【解析】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可.
【详解】,
，且a,b为正数，
，
当且仅当，即时，，
若不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒成立，
即对任意实数x恒成立，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.
9．A
【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
【详解】，，又，且，
，
当且仅当，解得，时等号成立，
故的最小值为9．
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，当且仅当时，等号成立；
又，当且仅当时，即，等号成立；
，解得，，
所以的最大值为
故选：A
11．C
【分析】化简配方可得+＝，令t＝ab﹣1＝a（2﹣a）﹣1＝﹣（a﹣1）2≤0，则＝，令4﹣2t＝s（s≥4），即t＝，再由基本不等式计算可得最大值.
【详解】解：a，b∈R，a+b＝2.
则+＝
＝＝＝，
令t＝ab﹣1＝a（2﹣a）﹣1＝﹣（a﹣1）2≤0，
则＝，
令4﹣2t＝s（s≥4），即t＝，
可得＝＝，
由s+≥2＝8，
当且仅当s＝4，t＝2﹣2时上式取得等号，
可得≤ ＝，
则+的最大值为，
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意化简变形和换元，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于较难题.
12．A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】若要使最大，则均为正数，即符号相同，
不妨设均为正实数，
则
，
当且仅当，且取等，即取等号，
即则的最大值为，
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
13．D
【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
14．B
【解析】由已知利用三角形的面积公式可求，可得，的值，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的面积公式即可求解其最大值．
【详解】解：，
，，，，
又，由余弦定理可得：，
，
当且仅当时取等号，
．
面积的最大值为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
15．A
【解析】对分成三种情况进行分类讨论，利用基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意成立，故.由于，所以且.
当时，，当且仅当时，等号成立.
当时，，当且仅当时，等号成立.
综上所述，由于，所以的最小值为.
故选：A
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
16．B
【分析】首先对题中所给的式子进行变形，之后利用基本不等式求得最小值，将问题转化为关于待求式子的一个一元二次不等式，解不等式求得结果.
【详解】，
两边同时乘以“”得：，
所以，
当且仅当时等号成立，令，
所以，解得或，
因为，所以，即，
故选：B.
【点睛】该题主要考查基本不等式的应用，考查化归与转化的思想，考查的数学核心素养是数学运算，属于中档题目.
17．D
【分析】由sinB=cosA sinC化简可求 cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得,由，为单位向量，可得，，可得,可得，则由，利用基本不等式求解最小值．
【详解】中设，，
，，
即，
，
，，
，，
，，
，根据直角三角形可得，，
，，，
以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点，
则存在实数使得,
设，，则，，,
,
，则,
,
故所求的最小值为,
故选：D.
【点睛】本题为平面向量的综合题，考查解三角形、平面向量数量积、平面向量共线定理、基本不等式的应用，属于综合题，解题关键在于将三角形中数量关系利用向量坐标运算进行转换，属于较难题.
18．B
【分析】首先将所给的不等式进行恒等变形，然后结合均值不等式即可求得其最小值，注意等号成立的条件.
【详解】.
，且，
，
当且仅当，即时，取得最小值2.
的最小值为.
故选B.
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，代数式的变形技巧，属于中等题.
19．
【分析】根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.
【详解】因为且，则两边同除以，得，
又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.
故答案为:
20．[1,13]
【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.
【详解】二次函数f(x)对称轴为，
∵f(x)值域为，
∴且，n＞0.
，
∵
====
∴，，
∴∈[1,13].
故答案为：[1,13].
21．
【解析】根据，利用一元二次方程的解法结合,
得到，进而得到，利用基本不等式求解.
【详解】因为正实数满足，
所以，
解得，
因为，
所以，
所以
当且仅当，取等号，
所以的最小值为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用方程思想，由条件解得x，将问题转化为解决.
22．
【分析】由已知等量关系得，代入目标式化简得，应用基本不等式求最小值即可.
【详解】由且知：，
∴当且仅当时等号成立，即时等号成立.
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
答案第1页，共2页
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