高中数学人教A版（2019）必修第一册专项突破——2.3二次函数与一元二次方程、不等式（C）（含解析）

一、单选题
1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则的最小值为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．28
3．已知函数，若关于的不等式的解集为，则
A． B．
C． D．
4．在R上定义运算.若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．现有以下结论：
①函数的最小值是；
②若、且，则；
③的最小值是；
④函数的最小值为.
其中，正确的有（ ）个
A． B． C． D．
8．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．已知函数的图象与x轴交于、两点，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ）
A．不存在有序数组，使得
B．存在唯一有序数组，使得
C．有且只有两组有序数组，使得
D．存在无穷多组有序数组，使得
11．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
13．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
14．记不等式 解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．{或} C． D．或
16．若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
17．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
18．若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．
二、填空题
19．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式(ax+b)(cx-b)<0的解集是________.
20．已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
21．已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.
22．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为______
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】分和两种情况分别满足不等式恒成立，当时，根据一元二次不等式恒成立所满足的条件：二次项系数和根的判别式的符号，建立不等式组，可得的取值范围.
【详解】当时，不等式可化为，其恒成立，
当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需解得.
综上，的取值范围是.
故选：A.
【点睛】方法点睛：一元二次型不等式恒成立的情况：
(1)不等式对任意实数x恒成立等价于或 ；
(2)不等式对任意实数x恒成立等价于或 ；
2．C
【分析】化简得到，变换，利用均值不等式得到答案.
【详解】因为，，，所以，
则，
当且仅当时，等号成立.
故选：.
【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换是解题的关键.
3．B
【分析】由题意可得，且，3为方程的两根，运用韦达定理可得，，的关系，可得的解析式，计算，（1），（4），比较可得所求大小关系．
【详解】关于的不等式的解集为，
可得，且，3为方程的两根，
可得，，即，，
，，
可得，（1），（4），
可得（4）（1），故选．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．
4．A
【分析】利用新定义得，令，转化为，利用配方法求最值可得，再解一元二次不等式可得答案.
【详解】由，得，即，
令，此时只需，
又，
所以，即，解得.
故选：A.
5．A
【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，
故 ，
故选：A
6．A
【分析】将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由换元法、基本不等式换“1”的代换求解即可．
【详解】由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，
令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，
∴，即，当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
故选：A．
7．B
【解析】取，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误.
【详解】对于①，当时，，①错误；
对于②，若，且，说明，，则，当且仅当时取等号，显然成立，②正确；
对于③，，
当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，③错误；
对于④，因为，所以，
函数的最大值为，所以结论不正确，④错误.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．D
【分析】当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解
【详解】当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
9．D
【解析】利用函数图象与的交点，可知的两个根分别为或，再利用根与系数的关系，转化为，，最后代入不等式，求解集.
【详解】由条件可知的两个根分别为或，
则，，得，，
，
整理为：，
解得：或，
所以不等式的解集是.
故选：D
【点睛】思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示，，再代入不等式化简后就容易求解.
10．D
【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．
【详解】由题意不等式的解集为，
即的解集是，
则不等式的解是或，不等式的解集是，
设，，，
所以，，
和是方程的两根，
则，，
又，
所以是的一根，
所以存在无数对，使得．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．
11．A
【分析】把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围．
【详解】不等式在内有解等价于时，.
当时，，所以.
故选：A.
12．A
【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.
【详解】∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
13．A
【分析】先分离参数，再由基本不等式得出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为时，恒成立，所以在恒成立
因为，当且仅当，即或（舍）等号成立
所以
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题以及基本不等式的恒成立问题，属于中档题.
14．B
【分析】求出集合，由分析知，求出集合，进而得出中有且只有两个正整数解的等价条件，列不等式组即可求解.
【详解】由可得：或，所以或，
因为中有且只有两个正整数解，所以，
对于方程，判别式，
所以方程的两根分别为：，，
所以，
若中有且只有两个正整数解，
则即，可得，
所以，
当时，解得，此时，不符合题意，
综上所述：a的取值范围为，
故选：B.
15．A
【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不等式的解集．
【详解】解：因为不等式的解集为，
的两根为，2，且，即，，解得，，
则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．
故选：A.
16．B
【分析】由题可知不等式的解集是的子集，分类讨论，利用集合的关系列不等式即得.
【详解】因为不等式的解集为，
由题意得不等式的解集是的子集，
不等式，即，
①当时，不等式的解集为，满足；
②当时，不等式的解集为，
若，则，
所以；
③当时，不等式的解集为，满足；
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：B．
17．B
【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.
【详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
18．A
【分析】由题知，，进而将不等式转化为，再解不等式即可.
【详解】解：由，整理得 ①．
又不等式的解集为，
所以，且，即②．
将①两边同除以得：③．
将②代入③得：，解得．
故选：A
19．##
【分析】先求出，把不等式(ax+b)(cx-b)<0化为，直接解得.
【详解】由图像知：1和2是关于x的方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个根，
所以，，所以.
不等式(ax+b)(cx-b)<0可化为，即，解得：.
所以不等式(ax+b)(cx-b)<0的解集是.
故答案为：
20．
【分析】将问题转化成关于的函数，则对任意恒成立，只要区间端点的函数值均小于0即可；
【详解】由题意，因为当时，不等式恒成立，
可转化为关于的函数，
则对任意恒成立，则满足
解得，即的取值范围为.
故答案为：.
21．
【分析】根据给定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.
【详解】依题意，，是方程的两个根，且，
于是得，解得：，
因此，不等式为：，解得，
所以不等式 的解集是.
故答案为：
22．
【分析】问题等价于不等式的解集中恰有个正整数，得出，且这三个正整数为，由此可求得答案.
【详解】解：因为不等式的解集中恰有个正整数，
即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为，
所以这三个正整数为，所以，
故答案为：.
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