活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册1.2.2 直线的两点式方程（有答案）

1．2.2　直线的两点式方程
1. 掌握直线的两点式(截距式)方程，了解截距式是两点式的特殊情况．
2. 能够根据条件熟练地求出直线的方程．
活动一 探究直线的两点式方程
　　1. 巩固直线的点斜式(斜截式)方程：
练习　(1) 已知直线l经过两点P1(1，2)，P2(3，5)，求直线l的方程；
(2) 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中(x1≠x2，y1≠y2)，求过这两点的直线方程．
2. 直线的两点式方程：
思考1
若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1＝x2或y1＝y2，此时过这两点的直线方程是什么？
思考2
(1) 方程＝的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图形？
(2) 方程＝和方程＝表示同一个图形吗？
(3) 直线的两点式方程能否表示所有的直线？是否可以通过适当变形适合所有直线呢？
活动二 根据直线的两点式方程求直线方程
例1　已知直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程．
注：其中a称为直线在x轴上的截距，b称为直线在y轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程．
思考3
直线的截距式方程的适用范围是什么？
例2　已知三角形的顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，分别求这个三角形三边所在直线的方程．
思考4
根据已知条件，如何选择恰当的形式求直线的方程？
活动三 截距概念的辨析
例3　求过点P(3，2)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
　　
直线在两坐标轴上截距相等，直接考虑截距式方程＋＝1，也可以由图形性质，得到k＝－1时截距相等，从而选用点斜式．解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用方程y＝kx.
　若将例3中的“截距相等”改为“截距的绝对值相等”，结果如何？
1. 过点(1，2)且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程是(　　)
A. x－y＋1＝0 B. 2x－y＝0
C. x－y＋1＝0或2x－y＝0 D. x－y＋1＝0或2x＋y＝0
2. 已知直线l过点(3，－1)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为(　　)
A. x＋y－2＝0 B. x＋y－2＝0或x－y－4＝0
C. x－y－4＝0 D. x＋3y＝0或x－y－4＝0
3. (多选)下列说法中，错误的是(　　)
A. 经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B. 不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
C. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
D. 经过任意两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示
4. 经过两点A(1，2)，B(3，4)的直线方程为______________．
5. 已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8)．
(1) 求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
(2) 求直线l与两坐标轴围成的图形的面积．
参考答案与解析
【活动方案】
1. 直线的点斜式方程为y－y1＝k(x－x1)．
练习：(1) 由题意，得y－2＝(x－1)，化简，得3x－2y＋1＝0.故直线l的方程为3x－2y＋1＝0.
(2) 由题意，得直线的斜率k＝，
由直线的点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)．
因为y1≠y2，x1≠x2，所以方程可以写成＝.故过这两点的直线方程为＝.　
2. 直线的两点式方程为＝.
思考1：若x1＝x2，则过这两点的直线方程为x＝x1；
若y1＝y2，则过这两点的直线方程为y＝y1.
思考2：(1) 表示曲线上的点在运动时，动点和一个定点的连线的斜率始终等于两定点连线的斜率，它表示的图形是一条直线(不包含点(x1，y1))．
(2) 不是．后者表示的图形是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，前者为这条直线除去点P1.
(3) 两点式不适用于与两坐标轴垂直的直线．变形之后可以适合所有直线．
例1　因为直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，
代入直线的两点式方程，得＝，
即＋＝1.
思考3：适合已知截距a(与x轴的交点(a，0))及截距b(与y轴的交点(0，b))的直线，不适合过原点的直线．
例2　因为直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点，所以由直线的两点式方程，得＝，
即直线AB的方程为3x＋8y＋15＝0.
因为直线BC过B(3，－3)，C(0，2)两点，所以斜率k＝＝－，由直线的点斜式方程，得y－2＝－(x－0)，
即直线BC的方程为5x＋3y－6＝0.
因为直线AC过A(－5，0)，C(0，2)两点，
所以由直线的截距式方程，得＋＝1，
即直线AC的方程为2x－5y＋10＝0.
思考4：略
例3　当在两坐标轴上的截距a＝b＝0时，
设所求直线的方程为y＝kx，将点P(3，2)代入，得2＝3k，
解得k＝，所以所求直线的方程为y＝x；
当在两坐标轴上的截距a＝b≠0时，
设所求直线的方程为＋＝1，
则解得a＝b＝5，
所以所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.
综上，所求直线的方程为y＝x或x＋y－5＝0.
跟踪训练　所求直线的方程为y＝x或x－y－1＝0或x＋y－5＝0.
【检测反馈】
1. C　解析：若在两坐标轴上的截距a＝b＝0，则直线方程为2x－y＝0；若在两坐标轴上的截距a≠0，b≠0，则由a＋b＝0，得该直线的斜率为1.由直线的点斜式方程，得直线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
2. B　解析：显然直线在两坐标轴上的截距a，b均不为0，当a＝b时，k＝－1，由直线的点斜式方程，得直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0；当a＋b＝0时，同理，得直线的方程为x－y－4＝0.
3. ABC　解析：经过定点P(x0，y0)且斜率存在的直线才可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示，故A错误；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程＋＝1表示，故B错误；经过定点A(0，b)且斜率存在的直线才可以用方程y＝kx＋b表示，故C错误；当x1≠x2时，经过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线可以用方程y－y1＝(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示，当x1＝x2时，经过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线可以用方程x＝x1，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示，因此经过任意两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示，故D正确．故选ABC.
4. x－y＋1＝0　解析：由题意，得直线方程为＝，即x－y＋1＝0.
5. (1) 由直线的两点式方程，得＝，
所以＝，
即＝x－1，
所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.
所以＋＝1.
故直线l的两点式方程为＝，
截距式方程为＋＝1.
(2) 如图，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，OA＝4，OB＝8，
故S△AOB＝OA·OB＝×4×8＝16.
故直线l与两坐标轴围成的图形的面积为16.