活动单导学课程苏教版高中数学选择性必修第一册 1.2.4直线的方程 习题课（有答案）
文档属性
| 名称 | 活动单导学课程苏教版高中数学选择性必修第一册 1.2.4直线的方程 习题课（有答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 136.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-08 09:38:59 | ||
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文档简介
1．2.4 直线的方程习题课
1. 熟练掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化，及各种形式在解题中的灵活运用．
2. 理解直线的方程和直线之间的对应关系．
活动一 巩固直线方程的各种形式
直线方程的各种形式及适用范围
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含与x轴或y轴垂直的直线
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不全为0) 平面直角坐标系内的直线都适用
练习
(1) 直线l经过两点(1，－2)，(－3，4)，则该直线的方程是______________；
(2) 从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增量是3，横坐标增量是－2，则该直线的斜率是________；
(3) 经过点A(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__________________________________________________________；
(4) 过点P(4，3)作直线l，它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为_____________________________________________.
活动二 灵活运用直线方程的几种形式
例1 一条直线经过点M(2，1)，且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程．
例2 在△ABC中，已知点A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．
(1) 若AB，AC的中点分别为M，N，求直线MN的方程，并化为一般式方程；
(2) 求边BC上的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0(a∈R)．
(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2) 若使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
例4 在△ABC中，已知点A(1，1)，B(5，1)，A＝，B＝，且点C在第一象限．求：
(1) 边AB的方程；
(2) 边AC和边BC所在的直线方程.
活动三 直线方程的综合应用
例5 经过点A(1，2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．
例6 已知直线l的方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0.
(1) 求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2) 过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形的面积最小，求直线l1的方程．
1. 已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于 ，在y轴上的截距为－2，则直线m的方程为( )
A. y＝x－2 B. y＝x－2
C. y＝－x－2 D. y＝x＋2
2. 已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点(4，4)，则直线l的方程为( )
A. y－4＝2(x－4) B. y－4＝2(x－4)或y－4＝－(x－4)
C. y＋4＝2(x＋4) D. y＋4＝2(x＋4)或y－4＝－(x＋4)
3. (多选)直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象可能是( )
A B C D
4. (2021·南阳桐柏县第一高级中学期中)已知直线l过点P(，－1)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程是______________．
5. 已知点P(6，4)和直线l1：y＝4x，求过点P的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小．
参考答案与解析
【活动方案】
练习：(1) 3x＋2y＋1＝0
(2) －
(3) 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
(4) 3x－2y－6＝0或3x－8y＋12＝0
例1 设所求直线的方程为＋＝1(ab≠0)，
由已知，得解得或
此时直线的方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
例2 (1) 由题意，得AB，AC的中点坐标分别为M(，1)，N.由直线的两点式方程，得＝，所以直线的一般式方程为6x－8y－13＝0.
(2) 由于边BC的中点坐标为(2，3)，故边BC上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为＋＝1.
例3 (1) 将直线l的方程化为y－＝a，
所以直线l的斜率为a，且过定点A.
因为点A在第一象限，所以不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2) 由(1)知直线OA的斜率为k＝＝3.
因为直线l不经过第二象限，所以a≥3，
故实数a的取值范围为[3，＋∞)．
例4 (1) lAB：y＝1(1≤x≤5)．
(2) lAC：x－y－＋1＝0，lBC：x＋y－6＝0.
例5 当截距为0时，设直线方程为y＝kx.
又直线过点A(1，2)，故斜率k＝2，即y＝2x；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1或＋＝1.
又直线过点A(1，2)，则a＝3或a＝－1，
所以直线方程为x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.
故这样的直线有3条，分别为y＝2x，x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.
例6 (1) 原方程整理，得(x－2y－3)m＋2x＋y＋4＝0，
令解得
所以不论m为何值，直线必过定点M(－1，－2)．
(2) 设直线l1的方程为y＝k(x＋1)－2，k<0.
令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝k－2，
所以三角形的面积＝||·|k－2|＝≥4，当且仅当k＝－2时，等号成立，故当k＝－2时，三角形的面积取得最小值4，此时直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.
【检测反馈】
1. A 解析：因为cosθ＝，0≤θ＜π，所以k＝tanθ＝，所以直线m的方程为y＝x－2.
2. B 解析：设直线l的方程为y－4＝k(x－4)，则直线l与x轴和y轴的交点坐标分别为，(0，4－4k)，所以4－＝4－4k＋6，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为y－4＝2(x－4)或y－4＝－(x－4)．
3. BC 解析： 由题意，得l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a.在A中，由l1知a>0，b<0，则－b>0，与l2的图象不符，故A错误；在B中，由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图象相符，故B正确；在C中，由l1知a<0，b>0，则－b<0，与l2的图象相符，故C正确；在D中，由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图象不符，故D错误．故选BC.
4. x＋y－2＝0 解析：因为直线y＝x的斜率为，所以直线y＝x的倾斜角为60°.因为直线l的倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，所以直线l的倾斜角为120°，即直线l的斜率为tan120°＝－.因为直线l过点P(，－1)，所以直线l的方程为y－(－1)＝－(x－)，即y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.
5. 设直线l与l1的交点为Q(x1，4x1)(x1＞1)，三角形的面积为S，
则直线l的方程为y－4＝(x－6)，
所以直线l与x轴的交点为R.
S＝××4x1＝＝＋＝10(x1＋1)＋＝10(x1－1)＋＋20≥2×10＋20＝40，当且仅当x1＝2时取等号，
所以直线l的方程为x＋y－10＝0.
1. 熟练掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化，及各种形式在解题中的灵活运用．
2. 理解直线的方程和直线之间的对应关系．
活动一 巩固直线方程的各种形式
直线方程的各种形式及适用范围
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含与x轴或y轴垂直的直线
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不全为0) 平面直角坐标系内的直线都适用
练习
(1) 直线l经过两点(1，－2)，(－3，4)，则该直线的方程是______________；
(2) 从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增量是3，横坐标增量是－2，则该直线的斜率是________；
(3) 经过点A(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__________________________________________________________；
(4) 过点P(4，3)作直线l，它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为_____________________________________________.
活动二 灵活运用直线方程的几种形式
例1 一条直线经过点M(2，1)，且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程．
例2 在△ABC中，已知点A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．
(1) 若AB，AC的中点分别为M，N，求直线MN的方程，并化为一般式方程；
(2) 求边BC上的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0(a∈R)．
(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2) 若使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
例4 在△ABC中，已知点A(1，1)，B(5，1)，A＝，B＝，且点C在第一象限．求：
(1) 边AB的方程；
(2) 边AC和边BC所在的直线方程.
活动三 直线方程的综合应用
例5 经过点A(1，2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．
例6 已知直线l的方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0.
(1) 求证：不论m为何值，直线必过定点M；
(2) 过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形的面积最小，求直线l1的方程．
1. 已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于 ，在y轴上的截距为－2，则直线m的方程为( )
A. y＝x－2 B. y＝x－2
C. y＝－x－2 D. y＝x＋2
2. 已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点(4，4)，则直线l的方程为( )
A. y－4＝2(x－4) B. y－4＝2(x－4)或y－4＝－(x－4)
C. y＋4＝2(x＋4) D. y＋4＝2(x＋4)或y－4＝－(x＋4)
3. (多选)直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象可能是( )
A B C D
4. (2021·南阳桐柏县第一高级中学期中)已知直线l过点P(，－1)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程是______________．
5. 已知点P(6，4)和直线l1：y＝4x，求过点P的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小．
参考答案与解析
【活动方案】
练习：(1) 3x＋2y＋1＝0
(2) －
(3) 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
(4) 3x－2y－6＝0或3x－8y＋12＝0
例1 设所求直线的方程为＋＝1(ab≠0)，
由已知，得解得或
此时直线的方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
例2 (1) 由题意，得AB，AC的中点坐标分别为M(，1)，N.由直线的两点式方程，得＝，所以直线的一般式方程为6x－8y－13＝0.
(2) 由于边BC的中点坐标为(2，3)，故边BC上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为＋＝1.
例3 (1) 将直线l的方程化为y－＝a，
所以直线l的斜率为a，且过定点A.
因为点A在第一象限，所以不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2) 由(1)知直线OA的斜率为k＝＝3.
因为直线l不经过第二象限，所以a≥3，
故实数a的取值范围为[3，＋∞)．
例4 (1) lAB：y＝1(1≤x≤5)．
(2) lAC：x－y－＋1＝0，lBC：x＋y－6＝0.
例5 当截距为0时，设直线方程为y＝kx.
又直线过点A(1，2)，故斜率k＝2，即y＝2x；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1或＋＝1.
又直线过点A(1，2)，则a＝3或a＝－1，
所以直线方程为x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.
故这样的直线有3条，分别为y＝2x，x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.
例6 (1) 原方程整理，得(x－2y－3)m＋2x＋y＋4＝0，
令解得
所以不论m为何值，直线必过定点M(－1，－2)．
(2) 设直线l1的方程为y＝k(x＋1)－2，k<0.
令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝k－2，
所以三角形的面积＝||·|k－2|＝≥4，当且仅当k＝－2时，等号成立，故当k＝－2时，三角形的面积取得最小值4，此时直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.
【检测反馈】
1. A 解析：因为cosθ＝，0≤θ＜π，所以k＝tanθ＝，所以直线m的方程为y＝x－2.
2. B 解析：设直线l的方程为y－4＝k(x－4)，则直线l与x轴和y轴的交点坐标分别为，(0，4－4k)，所以4－＝4－4k＋6，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为y－4＝2(x－4)或y－4＝－(x－4)．
3. BC 解析： 由题意，得l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a.在A中，由l1知a>0，b<0，则－b>0，与l2的图象不符，故A错误；在B中，由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图象相符，故B正确；在C中，由l1知a<0，b>0，则－b<0，与l2的图象相符，故C正确；在D中，由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图象不符，故D错误．故选BC.
4. x＋y－2＝0 解析：因为直线y＝x的斜率为，所以直线y＝x的倾斜角为60°.因为直线l的倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，所以直线l的倾斜角为120°，即直线l的斜率为tan120°＝－.因为直线l过点P(，－1)，所以直线l的方程为y－(－1)＝－(x－)，即y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.
5. 设直线l与l1的交点为Q(x1，4x1)(x1＞1)，三角形的面积为S，
则直线l的方程为y－4＝(x－6)，
所以直线l与x轴的交点为R.
S＝××4x1＝＝＋＝10(x1＋1)＋＝10(x1－1)＋＋20≥2×10＋20＝40，当且仅当x1＝2时取等号，
所以直线l的方程为x＋y－10＝0.