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4.2.2 指数函数的图象与性质(一)
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
指数函数：y＝ax(a>0，且a≠1)
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：R
值域：(0，＋∞)
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
注意点：
(1)函数图象只出现在x轴上方．
(2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)．
(3)当0
(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴．
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为( )
A. y＝(e－1)x B. y＝(1－e)x C. y＝3x+1 D. y＝x2
答案：A
解析：由指数函数的定义可知选A.
2.函数y＝的定义域为( )
A. (－∞，3) B. (－∞，3] C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)
答案：D
解析：由题意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3，所以函数y＝的定义域为[3，＋∞)．
3.函数y＝ax＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点( )
A. (0，1) B. (1，0) C. (2，1) D. (0，2)
答案：D
解析：因为y＝ax的图象一定经过点(0，1)，将y＝ax的图象向上平移1个单位得到函数y＝ax＋1的图象，所以，函数y＝ax＋1的图象经过点(0，2)．
4.已知0A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
答案：A
解析：函数恒过点(0,1＋b)，因为b<－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
5.函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
答案：D
解析：函数y＝x＋a单调递增．由题意知a>0且a≠1.当01时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D.
6.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1-x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. [0，1] D. (0，1]
答案：D
解析：依题意－≤1且a＋1>1，解得07.(多选题)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象不可能是( )
答案：BCD
解析：抛物线的方程为y＝a2－，其顶点坐标为，结合各选项中指数函数的图象知0<<1，所以－<－<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－和0之间，故选BCD.
8.已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上对任意的x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. (1,2) D. (0，＋∞)
答案：B
解析：因为函数f(x)在R上对任意的x1≠x2都有>0成立，所以函数f(x)是R上的增函数，所以函数f(x)满足解得≤a<2.
9.函数y＝在[－6,6]上的图象大致为( )
答案：B
解析：因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－6,6]，所以函数y＝为奇函数，排除C；当x>0时，f(x)＝>0恒成立，排除D；因为f(4)＝＝＝≈7.97，排除A.选B.
10.已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为( )
答案：A
解析：∵x∈(0,4)，∴x＋1>1，∴f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，
当且仅当x＝2时取等号，此时f(x)取得最小值1，∴a＝2，b＝1，则g(x)＝2|x＋1|＝函数g(x)的图象可以看成由函数y＝的图象向左平移1个单位长度得到，结合选项可知A正确．
二、填空题
11.函数y＝的值域是________．
答案：[0，4)
解析：由题意知0≤16－4x<16，所以0≤<4.所以函数y＝的值域为[0，4)．
12.已知集合A＝{x|1≤2x<16}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∩B＝________．
答案：{0，1，2}
解析：由1≤2x<16得0≤x<4，即A＝{x|0≤x<4}，又B＝{x|0≤x<3，x∈N}，所以A∩B＝{0，1，2}．
13.已知函数f(x)满足f(x)＝则f(－7.5)的值为________．
答案：
解析：由题意，得f(－7.5)＝f(－5.5)＝f(－3.5)＝f(－1.5)＝f(0.5)＝20.5＝.
14.函数y＝ax(－2≤x≤3)的最大值为2，则a＝________．
答案：或
解析：当01时，y＝ax在[－2，3]上是增函数，所以ymax＝a3＝2，解得a＝.综上知a＝或.
15.已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________．
答案：3－3
解析：因为f(x)的图象过(0，－2)，(2，0)且a>1，所以所以a＝，b＝－3，所以f(x)＝()x－3，f(3)＝()3－3＝3－3.
三、解答题
16.求不等式a4x＋5>a2x－1 (a>0，且a≠1)中x的取值范围．
解：对于a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)，
当a>1时，有4x＋5>2x－1，解得x>－3；
当0故当a>1时，x的取值范围为{x|x>－3}；
当017.若0≤x≤2，求函数y＝4x－－3·2x＋5的最大值和最小值．
解：y＝4x－－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.
令2x＝t，则1≤t≤4，y＝(t－3)2＋，
所以当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故该函数的最大值为ymax＝，最小值为ymin＝.
18.已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，当x∈[－1，0]时，函数的解析式为f(x)＝－(a∈R)．
(1)试求a的值；
(2)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(3)求f(x)在[0，1]上的最大值．
解：(1)因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，所以a＝1.
(2)设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，
所以f(x)＝－f(－x)＝－＝2x－4x.
即当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－4x.
(3)f(x)＝2x－4x＝－＋，
其中2x∈[1，2]，
所以当2x＝1时，f(x)max＝0.
19.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图(1)所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图(2)所示，求a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求出m的取值范围．
解：(1)由题图可知f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以
又因为a>0且a≠1，所以a＝，b＝－3.
(2)由题图可知f(x)单调递减，
所以0即a0＋b<0，所以b<－1.
(3)画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.
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知识点 指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
指数函数：y＝ax(a>0，且a≠1)
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：R
值域：(0，＋∞)
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
注意点：
(1)函数图象只出现在x轴上方．
(2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)．
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴．
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为( )
A. y＝(e－1)x B. y＝(1－e)x C. y＝3x+1 D. y＝x2
2.函数y＝的定义域为( )
A. (－∞，3) B. (－∞，3] C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)
3.函数y＝ax＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点( )
A. (0，1) B. (1，0) C. (2，1) D. (0，2)
4.已知0A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
6.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1-x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. [0，1] D. (0，1]
7.(多选题)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象不可能是( )
8.已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上对任意的x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. (1,2) D. (0，＋∞)
9.函数y＝在[－6,6]上的图象大致为( )
10.已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为( )
二、填空题
11.函数y＝的值域是________．
12.已知集合A＝{x|1≤2x<16}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∩B＝________．
13.已知函数f(x)满足f(x)＝则f(－7.5)的值为________．
14.函数y＝ax(－2≤x≤3)的最大值为2，则a＝________．
15.已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________．
三、解答题
16.求不等式a4x＋5>a2x－1 (a>0，且a≠1)中x的取值范围．
17.若0≤x≤2，求函数y＝4x－－3·2x＋5的最大值和最小值．
18.已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，当x∈[－1，0]时，函数的解析式为f(x)＝－(a∈R)．
(1)试求a的值；
(2)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(3)求f(x)在[0，1]上的最大值．
19.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图(1)所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图(2)所示，求a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求出m的取值范围．
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