苏教版高中数学选择性必修第一册1.2.4 直线的方程 习题课 课时小练（有解析）

1．2.4　直线的方程习题课
一、 单项选择题
1. 过点(2，1)，且斜率k＝－2的直线方程为(　　)
A. x－1＝－2(y－2) B. 2x＋y－1＝0
C. y－2＝－2(x－1) D. 2x＋y－5＝0
2. 在等边三角形PQR中，点P(0，0)，Q(4，0)，且点R在第四象限内，则PR和QR所在直线的方程分别为(　　)
A. y＝±x
B. y＝±(x－4)
C. y＝x和y＝－(x－4)
D. y＝－x和y＝(x－4)
3. 过点P(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有(　　)
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
4. 直线2x－y－4＝0绕着它与x轴的交点，按逆时针方向旋转后，所得的直线方程是(　　)
A. x－3y－2＝0 B. 3x＋y－6＝0
C. 3x－y＋6＝0 D. x－y－2＝0
5. 已知直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则实数m的值为(　　)
A. 2或 B. 2或－ C. －2或－ D. －2或
6. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为　(　　)
A. (0，－4) B. (－4，0) C. (4，0)或(－4，0) D. (4，0)
二、 多项选择题
7. 下列说法中，正确的是(　　)
A. 直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)
B. 直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2
C. 直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60°
D. 直线x－y－4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
8. 已知直线l：x－my＋m－1＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l的斜率可以等于0
B. 直线l的斜率有可能不存在
C. 直线l可能过点(2，1)
D. 若直线l的横纵截距相等，则m＝±1
三、 填空题
9. 若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点________．
10. 已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为______________．
11. 若直线l过点(1，4)，且在两坐标轴上的截距的乘积是18，则直线l的方程为______________．
12. 已知直线l：ax＋y－2＋a＝0，若直线l过点(2，0)，则a＝________；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则a＝________．
四、 解答题
13. 在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1) 顶点C的坐标；
(2) 直线MN的方程．
14. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.
(1) 求证：直线l经过定点；
(2) 若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程；
(3) 若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围．
1. D　解析：根据直线的点斜式方程可得y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2. D　解析：如图，由题意可知，PR，RQ所在直线的倾斜角分别为120°，60°，所以PR，RQ所在直线的斜率分别为－，，故PR，RQ所在直线的方程分别为y＝－x和y＝(x－4)．
3. C　解析：设直线在x轴，y轴上的截距分别为a和－a(a≠0)，则直线l的方程为－＝1.因为直线经过点P(3，4)，所以－＝1，解得a＝－1，此时直线l的方程为x－y＋1＝0；当a＝0时，直线过原点，设直线方程为y＝kx，过点P(3，4)，此时直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.综上所述，直线l有2条．
4. B　解析：直线l：2x－y－4＝0的斜率等于2，设倾斜角等于θ，即tanθ＝2，直线l绕着它与x轴的交点(2，0)逆时针旋转，所得到的直线的倾斜角等于θ＋，故所求直线的斜率为tan＝＝＝－3，故所求的直线方程为 y－0＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
5. A　解析：由题意可知，直线过点(1，0)，代入可得2m2－m＋3＝4m＋1，解得m＝或m＝2.因为2m2－m＋3≠0恒成立，所以m＝或m＝2满足题意．　
6. B　解析：设点C(m，n)，由重心坐标公式得，△ABC的重心为，代入欧拉线方程得－＋2＝0，整理得m－n＋4＝0①.因为AB边的中点为(1，2)，kAB＝＝－2，所以AB边的垂直平分线的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.由解得所以△ABC的外心为O(－1，1)，则OC2＝OA2，即(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8②，联立①②解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，点B，C重合，故舍去．故顶点C的坐标为(－4，0)．
7. ABD　解析：y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2)，故A正确；令x＝0，则y＝－2，即直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；x＋y＋1＝0可化为y＝－x－1，则该直线的斜率为－，即倾斜角为120°，故C错误；直线x－y－4＝0，当x＝0时，y＝－4，当y＝0时，x＝4，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故D正确．故选ABD.
8. BD　解析：当m＝0时，直线l的斜率不存在；当 m≠0时，直线l的斜率不等于0，故A错误，B正确；2－m＋m－1＝1≠0，则点(2，1)不在直线l上，故C错误；当m＝0时，纵截距不存在，当m≠0时，令 x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝1－m，由＝1－m，得m＝±1，故D正确．故选BD.
9. (0，2)　解析：直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，故直线l2经过定点(0，2)．
10. 15x－10y－6＝0　解析：直线l的斜率k＝.设直线l在y轴上的截距为b，则l在x轴上的截距为 b＋1，所以＝，解得b＝－，所以直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.
11. y＝－2x＋6或y＝－8x＋12　解析：设直线l的方程为＋＝1，则解得或故所求直线的方程为y＝－2x＋6或y＝－8x＋12.
12. 　1或2　解析：因为直线l：ax＋y－2＋a＝0过点(2，0)，所以2a＋0－2＋a＝0，解得a＝.因为直线l在两坐标轴上的截距相等，当直线l经过坐标原点时，截距都为0，此时－2＋a＝0，解得a＝2；当直线l不经过坐标原点时，方程可化为＋＝1，所以＝2－a，解得a＝1，综上可得a＝1或2.
13. (1) 设点C(x0，y0)，则AC边的中点为M，
BC边的中点为N，
因为点M在y轴上，所以＝0，得x0＝－5.
又因为点N在x轴上，所以＝0，
所以y0＝－3，即点C(－5，－3)．
(2) 由(1)可得点M，N(1，0)，
所以直线MN的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
14. (1) 直线l过定点(－2，1)．证明略．
(2) 由直线l的方程，得点A，
B(0，1＋2k)．
由题意知－＜0，且1＋2k＞0，所以k＞0.
因为S＝OA·OB＝，
由基本不等式可得当k＝时，面积S取得最小值4，此时直线l的方程是x－2y＋4＝0.
(3) 由直线l过定点(－2，1)且直线不经过第四象限，可得斜率k>0或k＝0，故实数k的取值范围是[0，＋∞)．