1.3.1 两条直线的平行与垂直(1)
一、 单项选择题
1. 已知过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行,则m的值为 ( )
A. -1 B. -2 C. 2 D. 1
2. 已知过点A(-5,m-2)和B(-2m,3)的直线与直线x+3y+2=0平行,则m的值为( )
A. 4 B. -4 C. 10 D. -10
3. 顺次连接点A(-4,3),B(2,5),C(3,2),D(-3,0)所构成的图形是( )
A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对
4. 已知直线l1:x+my+7=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则实数m的值为( )
A. -1或3 B. -1 C. -3 D. 1或-3
5. “a=3”是“直线l1:ax+a2y+6=0和直线l2:(a-2)x+3ay+2a=0平行”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6. 已知直线mx+ny+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且在y轴上的截距为,则m,n的值分别为( )
A. 4和3 B. -4和3 C. -4和-3 D. 4和-3
二、 多项选择题
7. (2021·佛山顺德区文德学校月考)已知直线l:mx+y+1=0,A(1,0),B(3,1),则下列结论中正确的是( )
A. 直线l恒过定点(0,1)
B. 当m=0时,直线l的斜率不存在
C. 当m=1时,直线l的倾斜角为
D. 当m=-时,直线l与直线AB平行
8. (2021·丽水外国语学校月考)已知直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题中正确的是( )
A. 若l1∥l2,则斜率k1=k2
B. 若斜率k1=k2,则l1∥l2
C. 若倾斜角α1=α2,则l1∥l2
D. 若l1∥l2,则倾斜角α1=α2
三、 填空题
9. 已知集合A={(x,y)|2x-y+1=0},B={(x,y)|y=kx+3},若A∩B=?,则实数k的值为________.
10. 在平面直角坐标系中,若直线3x+ay-7=0与直线x+y+6=0将平面划分成3个部分,则a=________.
11. 过点P(3,4)且与直线2x-y+1=0平行的直线方程为__________.
12. 不过同一点的三条直线4x+y=4,mx+y=0和2x-3my=4不能构成三角形,则m的值为________.
四、 解答题
13. 已知直线l1经过点A(0,-1)和点B,直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l1与l2没有公共点,求实数a的值.
14. 已知点A(1,3),B(5,1),C(3,7),若A,B,C,D四点构成的四边形是平行四边形,求点D的坐标.
答案与解析
1. B 解析:由题意,得kAB==,kCD==.因为AB∥CD,所以kAB=kCD,所以=,解得m=-2.
2. A 解析:因为kAB==,直线x+3y+2=0的斜率为k=-,所以=-,解得m=4.
3. A 解析:因为A(-4,3),B(2,5),C(3,2),D(-3,0),所以kAB==,kBC==-3,kCD==,kAD==-3,所以kAB=kCD,kBC=kAD,所以四边形ABCD是平行四边形.
4. A 解析:因为直线l1:x+my+7=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,所以1×3-m(m-2)=0,解得m=-1或m=3.若m=-1,则l1:x-y+7=0与l2:-3x+3y-2=0平行,满足题意;若m=3,则l1:x+3y+7=0与l2:x+3y+6=0平行,满足题意.故m的值为-1或3.
5. D 解析:当a=3时,直线l1:x+3y+2=0,直线l2:x+9y+6=0,此时直线l1与直线l2不平行;当直线l1:ax+a2y+6=0和直线l2:(a-2)x+3ay+2a=0平行时,a·3a-a2·(a-2)=0,解得a=5(a=0舍去).综上,“a=3”是“直线l1:ax+a2y+6=0和直线l2:(a-2)x+3ay+2a=0平行”的既不充分又不必要条件.
6. C 解析:由题意可得=,则n=-3.又直线mx+ny+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以=≠,解得m=-4.
7. CD 解析:直线l恒过点(0,-1),故A错误;当m=0时,直线l的方程为y=-1,斜率为0,故B错误;当m=1时,直线l的斜率为-1,倾斜角为,故C正确;当m=-时,直线l的方程为y=x-1.直线AB的方程为y=(x-1),即y=x-,与直线l斜率相同且不重合,所以直线l与直线AB平行,故D正确.故选CD.
8. BCD 解析:对于A,若l1∥l2,且l1与l2的倾斜角均为,则直线l1与l2的斜率不存在,故A错误;对于B,若斜率k1=k2,且直线l1与l2为两条不重合的直线,则l1∥l2,故B正确;对于C,若倾斜角α1=α2,且直线l1与l2为两条不重合的直线,由平行线的性质可得l1∥l2,故C正确;对于D,若l1∥l2,由平行线的性质可得倾斜角α1=α2,故D正确.故选BCD.
9. 2 解析:因为集合A={(x,y)|2x-y+1=0},B={(x,y)|y=kx+3},且A∩B=?,所以直线2x-y+1=0与直线y=kx+3平行,所以k=2.
10. 3 解析:由题意,得直线3x+ay-7=0与直线 x+y+6=0互相平行,所以=≠,解得 a=3.
11. 2x-y-2=0 解析:设与直线2x-y+1=0平行的直线方程为2x-y+m=0,将点P(3,4)的坐标代入直线方程,得m=-2×3+4=-2,所以所求直线的方程为2x-y-2=0.
12. 4或- 解析:①当直线l1:4x+y-4=0平行于l2:mx+y=0时,m=4;②当直线l1:4x+y-4=0平行于l3:2x-3my-4=0时,m=-;③当直线l2:mx+y=0平行于l3:2x-3my-4=0时,-m=,无解.综上,满足条件的m的值为4或-.
13. 由题意,得l1∥l2,所以kl1=kl2.因为kl1=kAB==-,kl2=kMN==3,所以-=3,解得a=-6.经检验,a=-6时,直线AB与直线MN没有公共点,满足题意,所以实数a的值为-6.
14. 由题意得kAC=2,kAB=-,kBC=-3,
设点D的坐标为(x,y),分以下三种情况:
①当BC为对角线时,有kCD=kAB,kBD=kAC,
所以kBD==2,kCD==-,
得x=7,y=5,即点D(7,5);
②当AC为对角线时,有kCD=kAB,kAD=kBC,
所以kAD==-3,kCD==-,
得x=-1,y=9,即点D(-1,9);
③当AB为对角线时,有kBD=kAC,kAD=kBC,
所以kBD==2,kAD==-3,
得x=3,y=-3,即点D(3,-3),
所以点D的坐标为(7,5)或(-1,9)或(3,-3).