苏教版高中数学选择性必修第一册1.3.2 两条直线的平行与垂直 课时小练（有解析）

1．3.2　两条直线的平行与垂直(2)
一、 单项选择题
1. 已知直线l经过点A(0，4)，且与直线2x－y－3＝0垂直，则直线l的方程是(　　)
A. x＋2y－8＝0 B. x＋2y＋8＝0
C. 2x＋y－4＝0 D. 2x－y＋4＝0
2. (2021·朝阳建平县实验中学月考)已知直线l1：mx－y＋1＝0，l2：mx＋(m＋2)y－1＝0，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A. 1或－2 B. －2 C. －1或2 D. 2
3. (2021·芜湖第一中学期中)已知两点A(7，－4)，B(－5，6)，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　)
A. 5x＋6y＋11＝0 B. 6x－5y－1＝0
C. 5x＋6y－11＝0 D. 6x－5y＋1＝0
4. 在平面直角坐标系中有两个点A(4，2)，B(1，－2)，若在x轴上存在点C，使∠ACB＝，则点C的坐标是(　　)
A. (3，0) B. (0，0) C. (5，0) D. (0，0)或(5，0)
5. (2021·北京昌平区第二中学期中)已知直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：4x＋ny＋3＝0，l3：mx＋6y＋1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n 的值为(　　)
A. －10 B. 10 C. －2 D. 2
6. 已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A. 10 B. －4 C. 0 D. 14
二、 多项选择题
7. (2021·重庆缙云教育联盟月考)已知直线l1：ax＋2y＋1＝0.直线l2：x＋(a－1)y＋2＝0，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若l1∥l2，则a＝2
B. 若l1⊥l2，则a＝
C. 直线l1过定点
D. 直线l2过定点(－2，0)
8. (2021·广州十六中期中)已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，则下列命题中正确的有(　　)
A. 当m＝3时，l1与l2重合
B. 若l1∥l2，则m＝0
C. 当m≠3时，l1与l2相交
D. 若l1⊥l2，则m＝
三、 填空题
9. 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________．
10. 已知点A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为________时，AB⊥CD.
11. 垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为________________．
12. 一张坐标纸对折一次后，点A(0，4)与点B(8，0)重叠，若点C(2，3)与点D(m，n)重叠，则m＋n＝________．
四、 解答题
13. (2021·苏州期中)已知三角形的顶点A(4，1)，B(－6，3)，C(3，0)．
(1) 求AC边上的高BH所在直线的方程；
(2) 求AB边上的中线CD所在直线的方程．　
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的长为3，宽为2，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，O为坐标原点．
(1) 求OB所在直线的方程；
(2) 线段AB上是否存在一点P，使得CP⊥OP？若存在，求出线段AP的长度；若不存在，请说明理由．
答案与解析
1. A　解析：因为直线2x－y－3＝0的斜率为2，直线l与该直线垂直，所以直线l的斜率kl＝－.又直线l经过点A(0，4)，所以直线l的方程为y－4＝－x，即x＋2y－8＝0.
2. C　解析：因为l1⊥l2，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
3. B　解析：依题意，kAB＝＝－，则线段AB的垂直平分线的斜率为k＝.又A，B两点的中点为(1，1)，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0.
4. D　解析：设点C(x0，0)，则kAC＝，kBC＝.因为∠ACB＝，所以AC⊥BC，则kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得x0＝0或x0＝5，所以点C的坐标为(0，0)或(5，0)．
5. C　解析：因为直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：4x＋ny＋3＝0，且l1∥l2，所以2n＝2×4，解得n＝4，经检验成立．因为直线l1：2x＋2y－1＝0，l3：mx＋6y＋1＝0，且l1⊥l3，所以2m＋2×6＝0，解得m＝－6，所以m＋n＝－2.
6. B　解析：由题意，得k1＝－，k2＝，所以－×＝－1，解得a＝10.将点(1，c)代入直线l1的方程，得c＝－2，代入直线l2的方程，得b＝－12，所以a＋b＋c＝10－2－12＝－4.
7. BCD　解析：对于A，若l1∥l2，则a×(a－1)－2＝0，所以a2－a－2＝0，所以a＝2或a＝－1，经检验此时两直线平行，故A错误；对于B，若l1⊥l2，则a×1＋2(a－1)＝0，所以a＝，故B正确；对于C，直线l1当x＝0时，无论a取何值，y＝－恒成立，所以此时直线l1过定点，故C正确；对于D，直线l2当y＝0时，无论a取何值，x＝－2恒成立，所以直线l2过定点(－2，0)，故D正确．故选BCD.
8. AD　解析：对于A，当m＝3时，直线l1为x＋3y＋6＝0，直线l2为x＋3y＋6＝0，即两直线重合，故A正确；对于B，l1∥l2时，有m(m－2)＝3，解得m＝－1或m＝3(重合舍去)，故B错误；对于C，由B知，当m≠3，m＝－1时，l1∥l2，故C错误；对于D，l1⊥l2时，m－2＋3m＝0，即m＝，故D正确．故选AD.
9. －2　2　解析：若两直线垂直，则两直线的斜率之积为－1，根据根与系数的关系得k1＋k2＝2，k1·k2＝＝－1，即m＝－2.若两直线平行，则两直线的斜率相等，所以k2＝k1＝1，所以＝1，解得m＝2.
10. (－9，0)　解析：设点D(x，0)，因为kAB＝＝4≠0，所以直线CD的斜率存在，则由AB⊥CD，知kAB·kCD＝－1，所以4·＝－1，解得x＝－9，所以点D的坐标为(－9，0)．
11. 4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0　解析：由题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)，令y＝0，得x＝－；令x＝0，得y＝－，则S＝|－|·|－|＝6，得c2＝122，c＝±12，所以直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.
12. 7　解析：因为AB的中点为(4，2)，kAB＝＝－，所以对称轴方程为y＝2x－6.CD的中点为，则＝2×－6①.由题意，得直线AB与CD平行，所以kAB＝kCD，即－＝②，联立①②，解得m＝6，n＝1，所以m＋n＝7.
13. (1) 因为A(4，1)，C(3，0)，所以kAC＝＝1，
因为BH为AC边上的高，有kAC·kBH＝－1，
所以kBH＝－1.
又高BH所在直线过点B(－6，3)，
所以高BH所在直线的方程为y－3＝－1×[x－(－6)]，即x＋y＋3＝0.
(2) 因为A(4，1)，B(－6，3)，
所以AB的中点D，即D(－1，2)．
又C(3，0)，所以kCD＝＝－.
又因为过点C(3，0)，
所以CD所在直线的方程为y－0＝－×(x－3)，即x＋2y－3＝0.
14. (1) 由题意知O(0，0)，B(2，3)，C(0，3)，
所以OB所在直线的斜率为＝，
所以OB所在直线的方程为y－0＝(x－0)，即3x－2y＝0.
(2) 不存在点P，使得CP⊥OP，理由如下：
假设线段AB上存在点P(2，a)(0≤a≤3)，使得CP⊥OP.
显然直线CP与直线OP都存在斜率，分别记作kCP，kOP，则kCP·kOP＝－1，
因为kCP＝＝，kOP＝＝，
所以·＝－1，即a2－3a＋4＝0，
Δ＝(－3)2－4×4<0，方程无解，
所以线段AB上不存在点P，使得CP⊥OP.