苏教版高中数学选择性必修第一册1.4 两条直线的交点 课时小练（有解析）

1．4　两条直线的交点
一、 单项选择题
1. 直线x＋2y＋2＝0与直线2x＋y－2＝0的交点坐标是(　　)
A. (2，－2) B. (－2，2) C. (－2，1) D. (3，－4)
2. 若直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值是(　　)
A. －24 B. 6 C. ±6 D. 24
3. (2021·连云港期中)若三条直线2x＋ky＋8＝0，x－y－1＝0和2x－y＝0交于一点，则k的值为(　　)
A. －2 B. － C. 3 D.
4. (2021·重庆复旦中学期中)若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为(　　)
A. －3，－4 B. 3，4 C. 4，3 D. －4，－3
5. 经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(　　)
A. 2x＋y－8＝0 B. 2x－y－8＝0
C. 2x＋y＋8＝0 D. 2x－y＋8＝0
6. (2021·泰安期中)瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(4，0)，B(0，2)，C(0，－3)，则△ABC欧拉线的方程为(　　)
A. x＋2y－3＝0 B. 2x＋y－3＝0
C. x－2y－3＝0 D. 2x－y－3＝0
二、 多项选择题
7. (2022·辽师大附属中学月考)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 存在k，使得l2的倾斜角为90°
B. 对任意的k，l1与l2都有公共点
C. 对任意的k，l1与l2都不重合
D. 对任意的k，l1与l2都不垂直
8. 平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是(　　)
A. 0 B. 2 C. －1 D. －2
三、 填空题
9. 若直线l1：x＋by＝1与直线l2：x－y＝a的交点坐标为(0，2)，则a＝________，b＝________．
10. 直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________．
11. 若直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a的值为________．
12. (2021·滕州第一中学月考)已知直线l1的方程为：x＋ay－2＝0，直线l2的方程为：2x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则直线l1与l2的交点坐标为________．
四、 解答题
13. (2021·海南州中学、海南州贵德中学期中)已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2.
(1) 求直线l1和l2的交点坐标；
(2) 已知直线l3经过l1与l2的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l3的方程．
14. (2021·连云港东海县期中)已知直线l：(4λ＋1)x－(λ＋1)y＋3＝0.
(1) 求证：直线l过定点；
(2) 若直线l被两平行直线l1：x－2y＋2＝0与l2：x－2y－6＝0所截得的线段AB的中点恰好在直线2x＋y＋6＝0上，求λ的值．
答案与解析
1. A　解析：根据题意，联立方程解得即直线x＋2y＋2＝0与直线2x＋y－2＝0的交点坐标是(2，－2)．
2. C　解析：因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)，所以消去b，可得k＝±6.
3. C　解析：联立得将代入2x＋ky＋8＝0，得k＝3.
4. B　解析：由得由题意得解得
5. A　解析：联立解得所以直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点坐标为(1，6)．又因为所求直线垂直于直线x－2y＝0，所以所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
6. D　解析：由题可得△ABC的重心为G(，－)，直线AB的斜率为＝－，所以AB边上的高的斜率为2，则AB边上的高的方程为y＋3＝2(x－0)，即2x－y－3＝0.直线AC的斜率为＝，所以AC边上的高的斜率为－，则AC边上的高的方程为y－2＝－(x－0)，即4x＋3y－6＝0，联立得垂心坐标为H，则直线GH的斜率为＝2，则直线GH的方程为y－0＝2，所以△ABC欧拉线的方程为2x－y－3＝0.
7. ABD　解析：对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，l2：x＝0的斜率不存在，则直线的倾斜角为90°，故A正确；由方程组得(2k＋1)x＝0，对于任意的k，此方程都有解，所以l1与l2都有公共点，故B正确；若直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)重合，则＝，解得k＝－，所以当k＝－时，l1与l2重合，故C错误；由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，当k≠0时，l2的斜率为＝－1－≠－1，则l1与l2不垂直，当k＝0时，l2：x＝0，显然l1与l2不垂直，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．故选ABD.
8. ACD　解析：因为平面上三条直线x－2y＋1＝0，x－1＝0，x＋ky＝0将平面分为六部分，所以三条直线相交于一点，或其中两条平行．①因为直线x－2y＋1＝0和直线x－1＝0的交点是(1，1)，直线x＋ky＝0过另两条直线的交点，所以k＝－1；②若直线x＋ky＝0与直线x－1＝0平行或与直线x－2y＋1＝0平行，此时k＝0或k＝－2.综上，实数k的取值集合是{0，－1，－2}．故选ACD.
9. －2　　解析：将点(0，2)代入直线x＋by＝1，解得b＝，再将点(0，2)代入直线x－y＝a，解得a＝－2.
10. 9　解析：由得交点坐标为(－2，6)．又两条直线与y轴的交点分别为(0，12)，(0，3)，所以所求三角形面积为×(12－3)×2＝9.
11. －2或－　解析：由题意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或a＝－.
12. (0，1)　解析：因为l1⊥l2，所以2－a＝0，解得a＝2，所以直线l1的方程为x＋2y－2＝0，解得所以直线l1与l2的交点坐标为(0，1)．
13. (1) 由直线l1的方程为x＋2y－4＝0，且l1⊥l2，可得直线l2的斜率为kl2＝－＝2.
又l2在x轴上的截距为，即过点，
所以直线l2的方程为y＝2，即2x－y－1＝0.
联立解得
故交点坐标为.
(2) 当直线l3在两坐标轴上的截距都为0时，即l3过原点，
又直线l3过点，
所以此时直线l3的方程为y＝x，
即7x－6y＝0；
当直线l3在两坐标轴上的截距都不为0，即不过原点时，设直线l3的方程为＋＝1(a≠0)．
因为直线l3过点，
所以＋＝1，解得a＝，
故直线l3的方程为＋＝1，
即5x＋5y－13＝0.
综上所述，直线l3的方程为7x－6y＝0或5x＋5y－13＝0.
14. (1) 由(4λ＋1)x－(λ＋1)y＋3＝0，得λ(4x－y)＋x－y＋3＝0.
令解得
所以直线l恒过定点(1，4)．
(2) 设直线l1，l2分别与直线2x＋y＋6＝0交于C，D两点，
由解得C，
由解得D，
所以CD的中点M的坐标为(－2，－2)，
不妨设点A在直线l1上，点B在直线l2上，
则△AMC≌△BMD，则MA＝MB，
故M(－2，－2)为AB的中点．
将点M代入直线l的方程，得(4λ＋1)(－2)－(λ＋1)(－2)＋3＝0，解得λ＝.