苏教版高中数学选择性必修第一册1.5.1平面上两点间的距离 课时小练（有解析）

1.5.1　平面上两点间的距离
一、 单项选择题
1. 已知点A(－2，－1)，B(2，5)，则AB等于(　　)
A. 4 B. C. 6 D. 2
2. (2021·昆明第一中学期中)已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则过点A的中线长为(　　)
A. B. 2 C. 11 D. 3
3. (2021·海南州中学、海南州贵德中学期中)若点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则AB的长为(　　)
A. 10 B. 5 C. 8 D. 6
4. (2021·盐城中学期中)直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则OQ的最大值是　(　　)
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
5. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，若点A，C的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B的坐标是(　　)
A. (2，0)或(4，6) B. (2，0)或(6，4) C. (4，6) D. (0，2)
6. (2021·重庆南开中学月考)某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成．若AB＝60km，AE＝CD＝30km，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中P1，P2，P3，P4是AC的五等分点，则转播台应建在(　　)
A. 点P1处
B. 点P2处
C. 点P3处
D. 点P4处
二、 多项选择题
7. (2021·葫芦岛兴城高级中学月考)某同学在研究函数f(x)＝＋|x－1|的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f(x)＝＋，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的最小值为
B. 函数f(x)的最小值为
C. 函数f(x)没有最大值
D. 函数f(x)有最大值
8. (2021·衡水冀州区第一中学期中)设过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P，则PA＋PB可能的取值有(　　)
A. 2 B. 5 C. 6 D. 7
三、 填空题
9. 已知直线l过点M0(1，5)，且倾斜角是，且与直线x－y－2＝0交于点M，则MM0的长为________．
10. 已知点A(1，1)，B(2，2)，点P在直线y＝x上，则当PA2＋PB2取得最小值时，点P的坐标为________．
11. (2021·如皋月考)已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P(0，)，则线段AB的长为________．
12. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(反射点分别为Q，R)，则光线经过的路径总长PQ＋QR＋RP＝________．
四、 解答题
13. (2021·北京一零一中学期中)已知过点A(－1，1)的直线l与直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且AB＝7，求直线l的方程．
14. (2021·海南华侨中学月考)已知点P(0，2)，Q(－1，1)．
(1) 求经过点Q且与点P距离最远的直线l的方程；
(2) 若点M(3，1)，试在直线l上求一点T，使得PT＋MT最小，并求最小值．
答案与解析
1. D　解析：因为点A(－2，－1)，B(2，5)，所以AB＝＝2.
2. B　解析：设过点A中线长为线段AD.D为BC的中点，则点D(4，－2)，所以AD＝＝＝2.
3. A　解析：设点A(a，0)，B(0，b)，则点M，所以＝3，＝4解得a＝6，b＝8，所以A(6，0)，B(0，8)，所以AB＝＝10.
4. B　解析：因为l1：x－my－2＝0与l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q，所以OQ＝＝.当m＝0时，OQmax＝2，所以OQ的最大值是2.
5. A　解析：设点B的坐标为(x，y)，则解得或故点B的坐标为(2，0)或(4，6)．
6. A　解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则P4(6，6)，P3(12，12)，P2(18，18)，P1(24，24)．设转播台建在点P(x，y)处，则PA2＋PB2＋PC2＋PD2＋PE2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2－(120＋60＋60)x＋5y2－(60＋120＋60)y＋2×602＋4×302＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋5 040，所以当x＝24且y＝24时，PA2＋PB2＋PC2＋PD2＋PE2最小，所以转播台应建在点P1处．
7. BC　解析：由f(x)＝＋，可理解为动点P(x，0)到两个定点A(0，1)，B(1，0)的距离和．如图，由三角形三边关系可得PA＋PB≥AB＝，当点P和点B重合时，等号成立，PA＋PB无最大值，所以函数f(x)的最小值为，没有最大值．故选BC.
8. BC　解析：由x＋my＋1＝0，得y＝－(x＋1)，故定点A(－1，0)，mx－y－2m＋3＝0，得y－3＝m(x－2)，故定点B(2，3)，且两直线的斜率乘积为－1，即两直线垂直．当点P与点A或点B重合时，PA＋PB＝AB＝＝3，当点P与点A或点B不重合时，由两边之和大于第三边得PA＋PB>AB＝3，且由勾股定理得PA2＋PB2＝AB2＝18，由基本不等式得(PA＋PB)2＝PA2＋PB2＋2PA·PB≤2(PA2＋PB2)＝36，当且仅当PA＝PB时等号成立，故3≤PA＋PB≤6.故选BC.
9. 10＋6　解析：因为直线l过点M0(1，5)，且倾斜角是，所以直线l的方程为y－5＝(x－1)，即x－y＋5－＝0.由得点M(－4－3，－4－5)，所以MM0＝＝10＋6.
10. 　解析：设点P(2t，t)，则PA2＋PB2＝(2t－1)2＋(t－1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－18t＋10＝10＋，当t＝时，PA2＋PB2取得最小值，此时点P的坐标为P.
11. 10　解析：因为直线2x－y＝0和x＋ay＝0互相垂直，所以2×＝－1，解得a＝2，所以线段AB的中点为P(0，5)，所以设A(m，2m)，B，则解得所以A(4，8)，B(－4，2)，所以AB＝＝10.
12. 　解析：以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．因为△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，则lBC：x＋y－2＝0，点P(1，0)，所以点P关于y轴的对称点为P1(－1，0)．设点P关于直线lBC：x＋y－2＝0的对称点为P2(x0，y0)，则＝1，且＋－2＝0，解得x0＝2，y0＝1，即点P2(2，1)，则PQ＋QR＋RP＝P2Q＋QR＋RP1＝P1P2＝.
13. 当直线斜率不存在时，方程为x＝－1，与直线l1相交于点B(－1，8)，此时AB＝7，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋1)，
联立方程组
解得B，
则AB＝＝7，
解得k＝－，
故直线方程为y－1＝－(x＋1)，
即3x＋4y－1＝0，
综上，直线l的方程为x＝－1或3x＋4y－1＝0.
14. (1) 直线l经过点Q，将直线l沿点Q旋转，发现当PQ与l垂直时，点P到直线l的距离最大，最大长度为PQ.
因为kPQ＝＝1，kl·kPQ＝－1，
所以kl＝－1，
所以经过点Q，且与点P距离最远的直线l的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.
(2) 作点P关于直线l的对称点P′，连接P′M交直线l于点T，则点T即为所求．
因为PT′＋MT′＝P′T′＋MT′≥P′M，
当P′，T′，M三点共线时，等号成立．
根据对称性可得点P关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，0)，
所以P′M＝＝，
所以PT＋MT′的最小值为.
因为P′M的直线方程为y＝(x＋2)，即y＝(x＋2)，
联立得
所以点T.