苏教版高中数学选择性必修第一册1.5.2点到直线的距离 课时小练（有解析）

1．5.2　点到直线的距离(2)
一、 单项选择题
1. 已知点P(－2，3)，Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则PQ的最小值为(　　)
A. 1 B. C. D.
2. 若点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　)
A. B. C. 或 D. －或－
3. 如果点P到点A，B及直线x＝－的距离都相等，那么满足条件的点P有(　　)
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个
4. 若直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为(　　)
A. 2x＋3y－12＝0 B. 2x－3y－12＝0
C. 2x－3y＋12＝0 D. 2x＋3y＋12＝0
5. (2021·连云港东海县期中)已知点A(2，1)，点B为两条直线y＝kx－2k＋1与x＋y－1＝0的交点，则AB的最小值为(　　)
A. 1 B. C. D. 2
6. 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　　)
A. 2 B. C. 3 D.
二、 多项选择题
7. 若两平行线分别经过点A(5，0)，B(0，12)，则它们之间的距离d可能等于(　　)
A. 0 B. 5 C. 12 D. 13
8. (2021·江门第二中学月考)已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 边AB所在直线的方程为x＋y－4＝0
B. 边AB的垂直平分线的方程为y＝x
C. AB＝2
D. △ABC的面积是5
三、 填空题
9. 若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2间的距离不大于，则k的取值范围是______________．
10. (2022·江门第二中学月考)点(－1，0)到直线y＝kx＋1距离的最大值为________．
11. 已知m∈R，则直线l1：(m＋1)x－(m－3)y－4＝0与直线l2：(m＋1)x－(m－3)y＝0的距离的最大值为________．
12. 已知点P在直线x＋2y－1＝0上，点Q在直线x＋2y＋3＝0上，PQ的中点为M(x0，y0)，且1≤y0－x0≤7，则 的取值范围是________．
四、 解答题
13. 已知直线l：y＝－x＋1，求：
(1) 点P(－2，－1)关于直线l的对称点的坐标；
(2) 直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
(3) 直线l关于点A(1，1)对称的直线方程．
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为3，宽为2，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在线段DC上的点G处，已知折痕EF所在直线的斜率为－.
(1) 求折痕EF所在的直线方程；
(2) 若P为BC的中点，求△PEF的面积．
答案与解析
1. B　解析：由题意，得PQ的最小值为点P到直线l的距离，所以PQmin＝＝.
2. D　解析：由题意，得＝，化简，得6a＋4＝－3a－3或6a＋4＝3a＋3，解得a＝－或a＝－.
3. B　解析：设满足条件的点P的坐标为(x，y)．因为点P 到点A，B及直线x＝－的距离都相等，所以
解得即点P的坐标为，所以符合条件的点P有1个．
4. D　解析：由ax＋y＋3a－1＝0，得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令得点M(－3，1)．因为点M不在直线2x＋3y－6＝0上，所以设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0.
5. B　解析：由y＝kx－2k＋1，得y＝k(x－2)＋1，则直线y＝kx－2k＋1过定点A(2，1)．根据题意，当直线AB与直线x＋y－1＝0垂直时，AB最小，点A(2，1)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，即AB的最小值为.
6. C　解析：因为点A在直线l1上，点B在直线l2上，M是AB的中点，所以点M在到两直线l1与l2距离相等的平行线上．因为直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0，所以点M所在直线的方程为x＋y－6＝0，则MO的最小值为d＝＝3.
7. BCD　解析：易知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，即dmax＝AB＝13，所以08. ABD　解析：对于A，由A(1，3)，B(3，1)可得边AB所在直线的方程为y－3＝(x－1)，化简，得x＋y－4＝0，故A正确；对于B，由A(1，3)，B(3，1)可知AB的中点坐标为(2，2)，且kAB＝＝－1，所以AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以边AB的垂直平分线的方程为y－2＝x－2，化简，得y＝x，故B正确；对于C，由A(1，3)，B(3，1)，得AB＝＝2，故C错误；对于D，由选项A和C可知，AB＝2，边AB所在直线的方程为x＋y－4＝0，又点C(－1，0)，所以点C到直线AB的距离为d＝＝，所以S△ABC＝AB·d＝×2×＝5，故D正确．故选ABD.
9. [－11，－6)∪(－6，－1]　解析：由y＝－2x－k－2，得2x＋y＋k＋2＝0，则两平行直线间的距离d＝＝≤，解得－11≤k≤－1.当k＋2＝－4，即k＝－6时两直线重合，所以k的取值范围是[－11，－6)∪(－6，－1]．
10. 　解析：直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，则点(－1，0)到直线y＝kx＋1距离的最大值为点(－1，0)到点(0，1)的距离，所以点(－1，0)到直线y＝kx＋1距离的最大值为d＝＝.
11. 　解析：因为直线l1，l2平行，所以由平行线间的距离公式，得d＝＝＝，所以当m＝1时，dmax＝.
12. 　解析：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋2y1－1＝0，x2＋2y2＋3＝0，两式相加，得x1＋x2＋2(y1＋y2)＋2＝0.因为PQ的中点为M(x0，y0)，所以x0＋2y0＋1＝0.设t＝，将y0＝tx0代入上式，得x0＝－.因为1≤y0－x0≤7，所以1≤(t－1)≤7，解得－≤t≤0，即－≤≤0.
13. (1) 设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l，
所以解得
即点P关于直线l的对称点的坐标为.
(2) 直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则直线l2上任一点P1(x，y)关于直线l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立，
所以
所以
将点(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得7x－y－14＝0，
即直线l2的方程为7x－y－14＝0.
(3) 设直线l关于点A(1，1)对称的直线为l′，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P′2(x，y)一定在直线l′上，反之也成立，
所以所以
将点(x1，y1)代入直线l的方程，得x＋2y－4＝0，
所以直线l′的方程为x＋2y－4＝0.
14. (1) 设折痕EF所在的直线方程为y＝－x＋b，点A落在线段DC上的对称点为G(a，2)，其中0≤a≤3，则AG的中点M的坐标为，
所以解得
所以折痕EF所在的直线方程为y＝－x＋.
(2) 由(1)知，折痕EF所在的直线方程为y＝－x＋，即－x－y＋＝0，
所以点E，F，
所以EF＝＝.
因为P为BC的中点，所以点P的坐标为(3，1)，
所以点P到折痕EF的距离为d＝＝，
所以△PEF的面积S＝EF·d＝××＝.