苏教版高中数学选择性必修第一册1.5.2 点到直线的距离 课时小练（有解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学选择性必修第一册1.5.2 点到直线的距离 课时小练（有解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 17.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-08 10:25:33 | ||
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文档简介
1．5.2 点到直线的距离(1)
一、 单项选择题
1. 点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为( )
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2
2. 若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a的值为( )
A. －1 B. 5 C. －1或5 D. －3或3
3. 已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则两直线之间的距离是( )
A. 4 B. C. D.
4. (2021·无锡滨湖区期中)已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A. B. C. D. 6
5. (2021·杭州第二中学滨江校区期中)原点到直线l：3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0的距离的最大值为( )
A. B. 2 C. D.
6. 已知P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，则的最小值为( )
A. 5 B. C. D.
二、 多项选择题
7. 已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A. －6 B. － C. 0 D.
8. (2021·郴州嘉禾县第一中学月考)已知直线y＝2x与x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，则下列结论中正确的是( )
A. a＝－3
B. b＝2
C. 点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为
D. 点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为
三、 填空题
9. 若点M(m，n)为直线l：3x＋4y＋2＝0上的动点，则m2＋n2的最小值为________．
10. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，1)，B(3，4)，C(4，－1)，则△ABC的面积为________．
11. 若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°；⑥90°. 其中正确答案的序号是________．
12. 过两直线x－y＋1＝0和x＋y－＝0的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为___________________________．
四、 解答题
13. (2021·台州十校联盟期中)已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．
(1) 求线段AB的中垂线方程；
(2) 直线l平行于直线AB，且点Q(2，－3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
14. (2021·重庆第十一中月考)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a<0)，l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，若l1与l2的距离是.
(1) 求a的值．
(2) 能否找到一点P，使点P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；②点P到l1的距离等于P点到l2的距离；③点P到l1的距离是点P到l3的距离之比是1∶.若能，求出点P坐标；若不能，说明理由．
答案与解析
1. A 解析：直线x＋2＝0，即x＝－2，直线为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到直线x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.
2. C 解析：由点到直线的距离公式，得＝，解得a＝－1或a＝5.
3. D 解析：因为3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝.
4. D 解析：3x＋2y＋1＝0与3x＋2y＋4＝0间距离d1＝＝，4x－6y＋c1＝0与4x－6y＋c2＝0间距离d2＝＝|c1－c2|.由正方形可知d1＝d2，即＝|c1－c2|，解得|c1－c2|＝6.
5. B 解析：由可得所以直线l过定点A(－2，2)，所以原点与点A(－2，2)的连线垂直于直线l即点A(－2，2)为垂足时，原点到直线l的距离最大，所以原点到直线l距离最大值为OA＝＝2.
6. C 解析：由题意，得的最小值是点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，所以的最小值为d＝＝.
7. AD 解析：由题意得＝，所以|3m＋5|＝|m－7|，所以(3m＋5)2＝(m－7)2，所以8m2＋44m－24＝0，所以2m2＋11m－6＝0，所以 m＝或m＝－6.
8. ABD 解析：由题意，得解得a＝－3，b＝2，故A，B正确，所以点(1，2)到直线－3x＋2y＋3＝0的距离d＝＝，故C错误，D正确．故选ABD.
9. 解析：由题意知m2＋n2的最小值表示直线l上的点M(m，n)到点(0，0)的最小距离的平方．因为点(0，0)到直线l的最小距离为＝，所以m2＋n2的最小值为.
10. 解析：由点B(3，4)，C(4，－1)，得kBC＝＝－5，所以直线BC的方程为y＋1＝－5(x－4)，整理，得5x＋y－19＝0，所以点A(1，1)到直线BC的距离为d＝＝.又因为BC＝＝，所以S△ABC＝BC·d＝.
11. ②⑥ 解析：两平行线间的距离为d＝＝1.因为直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为2，所以直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为60°，所以直线m的倾斜角等于30°＋60°＝90°或60°－30°＝30°.
12. x＝或x－y＋1＝0 解析：易求得两直线交点的坐标为.当斜率不存在时，显然直线x＝满足条件；当斜率存在时，设过该点的直线方程为y－＝k，化为一般式得2kx－2y＋－k＝0.因为直线与原点的最短距离为，所以＝，解得k＝，所以所求直线的方程为x－y＋1＝0.综上，所求的直线方程为x＝或x－y＋1＝0.
13. (1) 由题意得kAB＝＝－，线段AB的中点为M(5，－2)，
所以线段AB的中垂线方程为y＋2＝(x－5)，即3x－4y－23＝0.
(2) 设直线l的方程为y＝－x＋b，即4x＋3y－3b＝0.
由已知可得＝3，可得3b＝14或－16.
故直线l的方程为4x＋3y－14＝0或4x＋3y＋16＝0.
14. (1) 因为l2：2x－y－＝0，
所以l1与l2间的距离为d＝＝，
因为a<0，所以a＝－.
(2) 设点P(x0，y0)．
由条件②知，点P在直线2x－y＋c＝0上，
且＝，解得c＝－，
所以4x0－2y0－5＝0.
由条件③知，＝·，
所以|4x0－2y0－9|＝|x0＋y0－1|，即3x0－3y0－8＝0或5x0－y0－10＝0.
因为点P在第一象限，所以x0>0，
所以或
解得(舍去)或
所以存在点P同时满足①②③.
一、 单项选择题
1. 点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为( )
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2
2. 若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a的值为( )
A. －1 B. 5 C. －1或5 D. －3或3
3. 已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则两直线之间的距离是( )
A. 4 B. C. D.
4. (2021·无锡滨湖区期中)已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A. B. C. D. 6
5. (2021·杭州第二中学滨江校区期中)原点到直线l：3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0的距离的最大值为( )
A. B. 2 C. D.
6. 已知P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，则的最小值为( )
A. 5 B. C. D.
二、 多项选择题
7. 已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A. －6 B. － C. 0 D.
8. (2021·郴州嘉禾县第一中学月考)已知直线y＝2x与x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，则下列结论中正确的是( )
A. a＝－3
B. b＝2
C. 点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为
D. 点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为
三、 填空题
9. 若点M(m，n)为直线l：3x＋4y＋2＝0上的动点，则m2＋n2的最小值为________．
10. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，1)，B(3，4)，C(4，－1)，则△ABC的面积为________．
11. 若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°；⑥90°. 其中正确答案的序号是________．
12. 过两直线x－y＋1＝0和x＋y－＝0的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为___________________________．
四、 解答题
13. (2021·台州十校联盟期中)已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．
(1) 求线段AB的中垂线方程；
(2) 直线l平行于直线AB，且点Q(2，－3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
14. (2021·重庆第十一中月考)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a<0)，l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，若l1与l2的距离是.
(1) 求a的值．
(2) 能否找到一点P，使点P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；②点P到l1的距离等于P点到l2的距离；③点P到l1的距离是点P到l3的距离之比是1∶.若能，求出点P坐标；若不能，说明理由．
答案与解析
1. A 解析：直线x＋2＝0，即x＝－2，直线为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到直线x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.
2. C 解析：由点到直线的距离公式，得＝，解得a＝－1或a＝5.
3. D 解析：因为3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝.
4. D 解析：3x＋2y＋1＝0与3x＋2y＋4＝0间距离d1＝＝，4x－6y＋c1＝0与4x－6y＋c2＝0间距离d2＝＝|c1－c2|.由正方形可知d1＝d2，即＝|c1－c2|，解得|c1－c2|＝6.
5. B 解析：由可得所以直线l过定点A(－2，2)，所以原点与点A(－2，2)的连线垂直于直线l即点A(－2，2)为垂足时，原点到直线l的距离最大，所以原点到直线l距离最大值为OA＝＝2.
6. C 解析：由题意，得的最小值是点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，所以的最小值为d＝＝.
7. AD 解析：由题意得＝，所以|3m＋5|＝|m－7|，所以(3m＋5)2＝(m－7)2，所以8m2＋44m－24＝0，所以2m2＋11m－6＝0，所以 m＝或m＝－6.
8. ABD 解析：由题意，得解得a＝－3，b＝2，故A，B正确，所以点(1，2)到直线－3x＋2y＋3＝0的距离d＝＝，故C错误，D正确．故选ABD.
9. 解析：由题意知m2＋n2的最小值表示直线l上的点M(m，n)到点(0，0)的最小距离的平方．因为点(0，0)到直线l的最小距离为＝，所以m2＋n2的最小值为.
10. 解析：由点B(3，4)，C(4，－1)，得kBC＝＝－5，所以直线BC的方程为y＋1＝－5(x－4)，整理，得5x＋y－19＝0，所以点A(1，1)到直线BC的距离为d＝＝.又因为BC＝＝，所以S△ABC＝BC·d＝.
11. ②⑥ 解析：两平行线间的距离为d＝＝1.因为直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为2，所以直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为60°，所以直线m的倾斜角等于30°＋60°＝90°或60°－30°＝30°.
12. x＝或x－y＋1＝0 解析：易求得两直线交点的坐标为.当斜率不存在时，显然直线x＝满足条件；当斜率存在时，设过该点的直线方程为y－＝k，化为一般式得2kx－2y＋－k＝0.因为直线与原点的最短距离为，所以＝，解得k＝，所以所求直线的方程为x－y＋1＝0.综上，所求的直线方程为x＝或x－y＋1＝0.
13. (1) 由题意得kAB＝＝－，线段AB的中点为M(5，－2)，
所以线段AB的中垂线方程为y＋2＝(x－5)，即3x－4y－23＝0.
(2) 设直线l的方程为y＝－x＋b，即4x＋3y－3b＝0.
由已知可得＝3，可得3b＝14或－16.
故直线l的方程为4x＋3y－14＝0或4x＋3y＋16＝0.
14. (1) 因为l2：2x－y－＝0，
所以l1与l2间的距离为d＝＝，
因为a<0，所以a＝－.
(2) 设点P(x0，y0)．
由条件②知，点P在直线2x－y＋c＝0上，
且＝，解得c＝－，
所以4x0－2y0－5＝0.
由条件③知，＝·，
所以|4x0－2y0－9|＝|x0＋y0－1|，即3x0－3y0－8＝0或5x0－y0－10＝0.
因为点P在第一象限，所以x0>0，
所以或
解得(舍去)或
所以存在点P同时满足①②③.