22.2 相似三角形的判定（5）课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
沪科版 九年级上册
22.2相似三角形的判定(5)
直角三角形相似的判定
教学目标:掌握证明直角三角形相似的方法．
教学重点:
用直角三角形相似证明三角形相似.
教学难点:
用直角三角形相似法证明三角形相似.
类比全等三角形与相似三角形的判定方法：
两边对应成比例且夹角
相等的两个三角形相似.
两角对应相等的
两个三角形相似.
角边角
角角边
边角边
全等三角形
的判定方法
相似三角形
的判定方法
边边边
三边对应成比例
的两个三角形相似.
类比全等三角形与相似三角形的判定方法：
斜边和一直角边对应成比例
的
两个三角形相似.
HL
全等三角形
的判定方法
相似三角形
的判定方法
已知:如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
求证:Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
A
B
C
A′
C′
B′
=
AB
A′B′
AC
A′C′
∠C=90°，∠C′=90°，
.
学习新知
A
B
C
A′
C′
B′
=
AB
A′B′
AC
A′C′
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
=
=
AB
A′B′
BC
B′C′
AC
A′C′
证明:
=k，
则AB=kA′B′，
AC=kA′C′.
∵BC2=
B′C′2=
AB2－AC2，
A′B′2－A′C′2，
=
BC2
B′C′2
AB2－AC2
B′C′2
k2A′B′2
k2(A′B′2－A′C′2)
k2B′C′2
BC
B′C′
=k .
=k2，
B′C′2
B′C′2
B′C′2
=
=
=
∴
∴
∴
∴
设
－k2A′C′2
A
B
C
A′
C′
B′
已知:如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
求证:Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
=
AB
A′B′
AC
A′C′
∠C=90°，∠C′=90°，
.
斜边和一条直角边应成比例的两个直角三角形相似.
1.如图，已知Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=5，AC=3，DE=6，
DF= 时， Rt△ABC∽Rt△DEF.
3.6
B
C
A
E
F
D
DF
AC
DE
AB
=
DF
3
6
5
=
练习巩固
2.已知在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=∠F=90°， AB=5，AC=3，DE=6，
当DF= 时，Rt△ABC与Rt△DEF相似.
3.6
B
C
A
E
F
D
B
C
A
E
F
D
或4.8
DF
AC
DE
AB
=
DF
3
6
5
=
DF
BC
DE
AB
=
DF
4
6
5
=
例4．如图，∠ABC=∠CDB=90°，CB=a，AC=b. 问当BD与a，b之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以点C，D，B为顶点的三角形相似？
A
B
C
D
a
b
解：
∵∠ABC=∠CDB=90°，
∴当AC:CB=CB:BD时，
△ABC∽△CDB.
即 b:a=a:BD
∴ BD= .
a2
b
例4．如图，∠ABC=∠CDB=90°，CB=a，AC=b. 问当BD与a，b之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以点C，D，B为顶点的三角形相似？
A
B
C
D
a
b
解：
∵∠ABC=∠CDB=90°，
∴当AC:CB=CB:CD时，
△ABC∽△BDC.
即 b:a=a:CD，
∴ CD= .
a2
b
∴BD2
=CB2－CD2
=a2－( )2
a2
b
∴BD=
= －
a2b2
b2
a4
b2
= ( b2－a2)
a2
b2
( b2－a2)
a2
b2
=
a
b
b2－a2
3. 在Rt△ABC与Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′ = 90 °, 当具有下列条件时，这两个直角三角形是否相似，为什么？
(1) AB=10cm， AC=8cm，
(2) AB=5cm， AC=4cm，
A′B′=15cm，
B′C′=9cm，
A′C′=15cm，
B′C′=9cm.
(教材P84)练习第3题
3. 在Rt△ABC与Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′ =90 °，当具有下列条件时，这两个直角三角形是否相似，为什么？
(1) AB=10cm， AC=8cm，
A′B′=15cm，
B′C′=9cm，
解:
AB
A′B′
∴
=
10
15
=
BC
B′C′
6
9
=
2
3
，
AB
A′B′
BC
B′C′
∴
∴△RtABC∽△RtA′B′C′.
=
=
2
3
，
∵在Rt△ABC中，AB=10，AC =8，
∠C= 90 °，
∴BC2
=AB2－AC2
=102 －82
=36，
∴BC=6
3. 在Rt△ABC与Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′ =90 °，当具有下列条件时，这两个直角三角形是否相似，为什么？
(2) AB=5cm， AC=4cm，
A′C′=12cm，
B′C′=9cm，
解:
AC
A′C′
∴
=
4
12
=
BC
B′C′
6
9
=
2
3
，
AC
A′C′
BC
B′C′
∴
∴△RtABC∽△RtA′B′C′.
=
=
1
3
，
∵在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，
∠C= 90 °，
∴BC2
=AB2－AC2
=52 －42
=9，
∴BC=3，
(教材P84)练习第2题
2. 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， CD是边AB上的高. 求证：
(1) CD2=AD·BD；
(2) BC2=AB·BD； AC2=AB·AD .
B
D
A
C
2. 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， CD是边AB上的高. 求证：(1) CD2=AD·BD；
B
D
A
C
CD2=AD·BD
CD
BD
AD
CD
=
△ADC∽△CDB
等积式
比例式
∠CDA=∠CDB
∠ACD=∠B，
CD⊥AB
∠1＋∠B=90°
∠1＋∠ACD=90°
∠ACB=90°
1
2. 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， CD是边AB上的高. 求证：(1) CD2=AD·BD；
B
D
A
C
证明:
∴△ADC∽△CDB.
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠1＋∠ACD=90°.
∴∠ACD=∠B，
∴AD:
∴∠1＋∠B=90°.
∴CD2=AD·BD.
CD
=CD:BD.
1
2. 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， CD是边AB上的高. 求证：(2)BC2=AB·BD； AC2=AB·AD .
B
D
A
C
证明:
∴△BDC∽△BCA.
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDB.
∵∠B=∠B，
∴BD:BC=BC:AB.
∴BC2=AB·BD；
2. 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， CD是边AB上的高. 求证：(2)BC2=AB·BD； AC2=AB·AD .
B
D
A
C
证明:
∴△ADC∽△ACB.
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDA.
∵∠A=∠A，
∴AD:AC=AC:AB.
∴AC2=AB·AD.
4. 你能根据相似形知识证明勾股定理吗？
B
D
A
C
证明:
∴△ADC∽△ACB.
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB= 90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDA =∠CDB.
∵∠A=∠A，
∴AD:AC=AC:AB.
∴AC2=AB·AD.
∴△BDC∽△BCA.
∵∠B=∠B，
∴BD:BC=BC:AB.
∴BC2=AB·BD；
∴AC2＋BC2=AB·BD＋AB·AD.
=AB·(BD＋AD)
=AB·AB
=AB2
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
4.三边对应成比例的两个三角形相似.
3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.两角分别相等的两个三角形相似.
5.斜边和一条直角边应成比例的两个
直角三角形相似.
判断两个三角形相似的方法
课堂小结
1.如图，已知∠ABD=∠BCD=90°，BC=6，CD=8，BD= ，当AB= 时，△ABD∽△BCD.
巩固提高
A
B
C
D
6
8
10
7.5
2.如图，已知∠ACB=∠BDC=90°，AB=5，BC=3，要使△BCD与△ABC相似，则CD= .
巩固提高
A
B
C
D
2.4
或1.8
CD~
BC
CD~
AC
注意对应的关系
3.如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线L经过点C，且L∥AB，P为L上的一个动点.若△PAC与△ABC相似，则PC= .
巩固提高
A
B
C
P
L
注意对应的关系
6.4
或10
今天作业
课本P86页第10、11题
谢谢
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