22.3 相似三角形的性质（2）课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
沪科版 九年级上册
22.3相似三角形的性质(2)
教学目标:会利用相似三角形的性质解决简单的实
际问题．
教学重点:
用相似三角形对应的高的比的性质解题.
教学难点:
用相似三角形高的比的性质解题.
(2)相似三角形对应的 高、中线、角平分线
的比等于相似比.
相似三角形的性质:
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
(3)相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例.
(1)已知 △ABC∽△A′B′C′，的相似比为2：1，
则周长比为 ，对应边上中线之比 ，
面积之比为 .
2：1
4：1
2：1
温故知新
(2)已知△ABC∽△A′B′C′，且面积之比为1：9，
则相似比为 ，对应边上的高线之比为 ，周长之比为 .
1:3
1:3
1:3
(4)若两个相似三角形的面积比是3:4，
那么这两个三角形的周长比是_______.
(3)两个相似三角形的周长分别是10和40，
那么这两个三角形的面积比是______.
1:16
:2
3
(5)两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是120cm2 ，则较小三角形的周长___cm，面积为 cm2.
6:18=1:3
1:3=x:42
3x=42
x=14
14
1:9=y:120
y=
40
3
40
3
P
Q
S
R
A
B
C
D
例1 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2:1，且矩形长的一边位于BC边上，另两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的边长.
E
要求PQ
△APQ∽△ABC
PQ // BC
PQ:BC=AE:AD
∴ ，
P
Q
S
R
A
B
C
D
E
解：如图，矩形PQRS为加工后的矩形零件，
长边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E.
设PS为xcm，则PQ为
为2xcm；
∵ PQ//BC，
∴△APQ∽△ABC，
解方程得，
答：这个矩形零件边长分别为48cm和 24cm.
PQ
BC
AE
AD
=
x=24，
2x=48.
∴ ，
2x
80
60－x
60
=
∴ 6x=4(60－x)，
AE=
AD－ED
=AD－PS
=(60－x)cm.
6x=240－4x
A
B
C
D
如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2:1，且矩形的一边位于BC边上，另两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的边长.
例1 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2:1，且矩形长的一边位于BC边上，另两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的边长.
如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2:1，且矩形的一边位于BC边上，另两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的边长.
A
B
C
D
如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2:1，且矩形的一边位于BC边上，另两个顶点分别在边AB、AC上.求这个矩形零件的边长.
方案(1)矩形长的一边位于边BC上.
方案(2)矩形短的一边位于边BC上.
A
B
C
D
方案(2)矩形短的一边位于边BC上.
P
Q
S
R
A
B
C
D
P
Q
S
R
方案(1)矩形长的一边位于边BC上.
∴ ，
P
Q
S
R
A
B
C
D
E
解：①如图，矩形PQRS为加工后的矩形零件，
长边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E.
设PS为xcm，则PQ为
为2xcm；
∵ PQ//BC，
∴△APQ∽△ABC，
解方程得，
答：这个矩形零件边长分别为48cm和 24cm.
PQ
BC
AE
AD
=
x=24，
2x=48.
∴ ，
2x
80
60－x
60
=
∴ 6x=4(60－x)，
AE=
AD－ED
=AD－PS
=(60－x)cm.
6x=240－4x
∴ ，
P
Q
S
R
A
B
C
D
E
解：②如图，矩形PQRS为加工后的矩形零件，
短边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E.
设PQ为xcm，则PS为
为2xcm；
∵ PQ//BC，
∴△APQ∽△ABC，
解方程得，
答：这个矩形零件边长分别为 cm和 cm.
PQ
BC
AE
AD
=
x= ，
2x= .
∴ ，
x
80
60－2x
60
=
∴ 6x=8(60－2x)，
AE=
AD－ED
=AD－PS
=(60－2x)cm.
3x=240－8x
240
11
480
11
240
11
480
11
A
B
C
D
2.已知，在△ABC中，BC=120mm，边BC上的高为80mm，在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在BC边上，另两个顶点分别在边AB，AC上.问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？
P
Q
S
R
E
S矩形PQRS
=PQ · PS
=x · y
∴ ，
P
Q
S
R
A
B
C
D
E
解：如图，
设矩形PQRS的边PQ为xmm，PS
为ymm；
∵ PQ//BC，
∴△APQ∽△ABC，
PQ
BC
AE
AD
=
∴ ，
x
120
80－y
80
=
∴ y=80－ x，
则AE=
AD－ED
=AD－PS
=(80－y)mm.
2
3
∵ S矩形PQRS
=PQ · PS
=x · y
∴ S矩形PQRS
=x · (80－ x)
2
3
解：如图，
设矩形PQRS的边PQ为xmm，PS
为ymm；
∵ PQ//BC，
∴△APQ∽△ABC，
PQ
BC
AE
AD
=
∴ ，
∴ ，
x
120
80－y
80
=
∴ y=80－ x，
则AE=
AD－ED
=AD－PS
=(80－y)mm.
2
3
∵ S矩形PQRS
=PQ · PS
=x · y
∴ S矩形PQRS
=x · (80－ x)
2
3
= － x2 ＋ 80x
2
3
∵－ ＜0，
∴ S矩形PQRS有最大值，
2
3
此时，
x=
80
2 · (－ )
2
3
－
=60(mm)，
∴ y=40mm.
有相似三角形，又有垂直，就有 高的比等于 相似比.充分挖掘题目中隐含的条件、利用相似三角形对应线段的比等于相似比列方程是解题的关键.
解题心得
1．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为( ).
A．9∶4 B．4∶9
C．3∶2 D．81∶16
C
巩固提高
2.己知两个相似三角形周长的比为3：2，
其中较小的三角形面积为12，则较大的
三角形的面积是( ).
A．27 B．24 C．18 D．16
A
A
B
C
D
3.如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=120cm，高AD=80cm，要把铁皮加工成正方形零件，使正方形的一边GH位于BC边上，另两个顶点E、F分别在边AB、AC上.则这个正方形零件的边长为 cm.
E
F
G
H
48
今天作业
课本P90页第4、5、6题
谢谢
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