第4章 投影与视图 专项训练（含解析）

投影与视图 单元测试题
一、单选题
1．一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（ ）平方米．
A．19 B．21 C．33 D．36
2．如下图所示的几何体从上面看到的图形(　　)
A． B． C． D．
3．三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ）
A． B． C． D．
4．一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长方体孔，其俯视图如图所示．则此圆柱体钢块的主视图可能是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
5．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变
6．把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．用相同的小正方体搭成的几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少需要多少个小正方体（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图是由若干个小正方体组成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体从正面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
10．在同一时刻，将两根长度不等的竹竿置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竹竿的相对位置是（　　）
A．两根竹竿都垂直于地面 B．以两根竹竿平行斜插在地上
C．两根竹竿不平行 D．无法确定
二、填空题
11．在如图所示的几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的几何体是_____．（写出所有正确答案的序号）
12．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如图所示，则n的最大值是________．
13．如图，在A时测得某树的影长为4米，在B时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为___________米.
14．如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中左视图相同的是___．
15．如图，小芸用灯泡O照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成影子A′B′C′D′．现测得OA＝20cm，OA′＝50cm，相框ABCD的面积为80cm2，则影子A′B′C′D′的面积为_____cm2．
16．如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是_____．
17．在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上的碟子共有____个．
18．用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭出这个几何体至少需要_____个小立方体，最多需要_____个小立方体．
三、解答题
19．根据要求完成下列题目．
（1）图中有_____块小正方体．
（2）请在方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）．
（3）用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要____个小正方体，最多要____个小正方体．
20．分别画出下列几个几何体从正面和上面看的正投影．
21．如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)画出它的一种表面展开图；
(3)若从正面看的高为4cm，从上面看三角形的边长都为3 cm，求这个几何体的侧面积．
22．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
23．如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．根据要求完成下列题目．请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图需涂上阴影）．
24．用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题：
（1）________，_______，________．
（2）当，，时，画出这个几何体的左视图．
（3）这个几何体最少由_________个小立方体搭成，最多由_______个小立方体搭成．
25．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据题意可知小正方形的面积，数出该几何体露出了多少个小正方形即可求得．
【详解】
解：从下面数第一层露出的侧面有：（个），
第二层露出的侧面有：（个），
第三层露出的侧面有：（个），
第一层的上面露出的面有：（个），
第二层的上面露出的面有：（个），
第三层的上面露出的面有：1个，
（个），
∴该几何体露出了33个小正方形，
∵每个小正方形的面积为1平方米，
∴被涂上颜色的总面积为：，
故选C．
【点睛】
本题考查了几何体的表面积，解题的关键要数对露出小正方形的个数．
2．D
【解析】
【分析】
该几何体是下面一个长方体，上面是一个小的长方体，因此从上面看到的图形是两个长方形叠在一起．
【详解】
解：从上面看到的图形：
故答案为：D．
【点睛】
此题考查了从不同方向观察物体和几何体，考查学生的空间想象能力和抽象思维能力．
3．B
【解析】
【分析】
三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行，据此判断即可．
【详解】
解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；
B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；
C．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；
D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
4．C
【解析】
【分析】
主视图是从物体正面看所得到的图形．几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
【详解】
解：此圆柱体钢块的主视图可能是：
故选：C．
【点睛】
本题考查简单组合体的三视图，画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
5．D
【解析】
【详解】
解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．
将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．
故选D．
6．D
【解析】
【详解】
【分析】根据实物的形状和主视图的概念判断即可．
【详解】从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，
观察只有D选项符合，
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．
7．A
【解析】
【分析】
根据从正面看到的图形，几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1判断即可．
【详解】
解：从正面看到的图形，几何体的主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1，如图所示：
故选：A
【点睛】
此题考查了三视图，解题关键是明确主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
8．B
【解析】
【分析】
根据俯视图和主视图进行分析；俯视图可确定最底层正方体的个数，主视图第二层正方体的个数即为第二层最少正方体的个数，相加即可．
【详解】
解： 因为俯视图中有5个正方形，所以最底层有5个正方体，
因为主视图第二层有1个正方形，所以几何体第二层最少有1个正方体，
所以最少有几何体5+1=6个；
故选B．
【点睛】
考查由三视图判断几何体；用到的知识点为：俯视图中正方形的个数即为几何体最底层正方体的个数．
9．C
【解析】
【分析】
先根据俯视图判断出几何体的形状，再根据主视图是从正面看画出图形即可．
【详解】
解：由俯视图可知，几何体共有两排，前面一排从左到右分别是1个和2个小正方体搭成两个长方体，
后面一排分别有2个、3个、1个小正方体搭成三个长方体，
并且这两排右齐，故从正面看到的视图为：
．
故选C．
【点睛】
本题考查几何体三视图，熟记三视图的概念并判断出物体的排列方式是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
根据平行投影的特征，比较四个选项中两木杆的影长即可得到正确答．
【详解】
解：因为在同一时刻，两根长度不等的木杆置于阳光之下，当它们都垂直于地面或都倒在地上或平行插在地面时，木杆长的它的影子就长；当它们相对斜插在地面上时，它们的影长可能相等．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
11．①③
【解析】
【分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．
【详解】
解：①正方体的三视图分别为正方形，正方形，正方形；
②圆柱的三视图分别为四边形、四边形、圆；
③球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆；
∴主视图、左视图和俯视图完全相同的几何体是①③．
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
12．13
【解析】
【分析】
根据主视图和俯视图得出几何体的可能堆放，从而即可得出答案．
【详解】
综合主视图和俯视图，从上往下数，底面最多有 2+2+3=7 个，第二层最多有1+1+2=4 个，第三层最多有1+0+1=2 个，则n的最大值是 7+4+2=13
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了三视图中的主视图和俯视图，掌握三视图的相关概念是解题关键．
13．6
【解析】
【分析】
根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得，代入数据可得答案．
【详解】
如图，在中，米，米，易得，
，即，
米.
故答案为6.
【点睛】
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用．
14．甲和乙
【解析】
【分析】
根据三个俯视图分别判断出几何体的左视图，即可得答案．
【详解】
解：由已知条件可知，甲的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；
乙的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；
丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1．
∴左视图相同的是：甲和乙．
故答案为：甲和乙．
【点睛】
本题考查几何体的三视图画法．解题的关键是掌握由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
15．500cm2．
【解析】
【分析】
易得对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方，据此求解可得．
【详解】
解：∵OA：OA′=2：5，
可知OB：OB′=2：5，
∵∠AOB=∠A′OB′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴AB：A′B′=2：5，
∴矩形ABCD的面积：矩形A′B′C′D′的面积为4：25，
又矩形ABCD的面积为80cm2，则矩形A′B′C′D′的面积为500cm2．
故答案为500cm2．
【点睛】
本题考查中心投影与位似图形的性质，用到的知识点为：位似比为对应点到对应中心的比值，面积比为位似比的平方．
16．7
【解析】
【分析】
根据从左面看得到的图形是左视图，从前面看的到的视图是主视图，再根据面积求出面积的和即可．
【详解】
解：该几何体的主视图的面积为1×1×4=4，左视图的面积是1×1×3=3，
所以该几何体的主视图和左视图的面积之和是3+4=7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了简单几何体的三视图，确定左视图、主视图是解题关键．
17．12
【解析】
【分析】
从俯视图中可以看出最底层碟子的个数及形状，从主视图可以看出碟子的层数和个数，从而算出总的个数．
【详解】
解：由三视图可得三摞碟子数从左往右分别为5，4，3，
则这个桌子上共有5+4+3=12个碟子．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数．
18． 7， 10．
【解析】
【分析】
易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．
【详解】
解：综合主视图和俯视图，这个几何体的底层有5个小正方体，
第二层最少有2个，最多有5个，
因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：5+2＝7个，
至多需要小正方体木块的个数为：5+5＝10个，
故答案为：7，10．
【点睛】
此题主要考查了几何体的三视图，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
19．（1）6；（2）见解析；（3）5,7
【解析】
【分析】
（1）根据图形知图形的层数及各层的块数，相加即得；
（2）根据三视图的画法解答；
（3）最少时只能将竖列的两个的最上一个去掉，最多时在两个的最上加一个．
【详解】
解：由图知，图形共有3层，最下层有3块小正方体，中间一层有2块，最上一层有1块，
∴图中共有1+2+3=6块小正方体，
故答案为：6；
（2）如图：
（3）如图，用小正方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在下图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要5个，最多需要7个，
故答案为：5,7．
【点睛】
此题考查画小正方体构成的立体图形的三视图，数小正方体的个数，正确掌握立体图形的三视图的画法是解题的关键．
20．见解析
【解析】
【分析】
根据投影的概念逐个求解即可.
【详解】
解：从正面正投影依次为：
从上面正投影依次为：
【点睛】
本题主要考查投影视图，解决本题的关键是要熟练掌握正投影的定义.
21．（1）三棱柱；（2）见解析;（3）36cm2.
【解析】
【分析】
（1）根据三视图的特点，即可解决问题；
（2）画出正三棱柱的侧面展开图即可；
（3）侧面展开图是矩形，求出矩形的面积即可；
【详解】
解：（1）几何体的名称是三棱柱；
（2）表面展开图为：
（3）3×4×3＝36cm2，
∴这个几何体的侧面积为36 cm2
【点睛】
本题考查三视图、几何体的侧面展开图等知识，解题的关键是理解三视图、看懂三视图，属于中考常考题型．
22．旗杆的高AB为3米．
【解析】
【分析】
证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．
【详解】
解：∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．
∴．
∴AB=OA OB=3（米）．
∴旗杆的高AB为3米．
【点睛】
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
23．见解析
【解析】
【分析】
直接利用左视图以及俯视图的观察角度分析得出答案；
【详解】
解：它的左视图和俯视图，如下图：
【点睛】
本题主要考查了简单几何体的三视图，正确注意观察角度是解题关键，主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正面，上面、左面看得到的图形．
24．（1）3，1，1；（2）见解析；（3）9，11
【解析】
【分析】
（1）由主视图可得，俯视图中最右边一个正方形处有3个小立方体，中间一列两个正方形处各有1个小立方体；
（2）依据d＝2，e＝1，f＝2，即可得到几何体的左视图；
（3）依据d，e，f处，有一处为2个小立方体，其余两处各有1个小立方体，则该几何体最少有9个小立方体搭成；d，e，f处，各有2个小立方体，则该几何体最多有11个小立方体搭成．
【详解】
解：（1）由主视图可得，俯视图中最右边一正方形处有3个小立方体，中间一列两个正方形处各有1个小立方体，
∴a＝3，b＝1，c＝1，
故答案为：3，1，1；
（2）当d＝2，e＝1，f＝2时，几何体的左视图为：
；
（3）若d，e，f处，有一处为2个小立方体，其余两处各有1个小立方体，则该几何体最少有9个小立方体搭成；
若d，e，f处，各有2个小立方体，则该几何体最多有11个小立方体搭成，
故答案为：9，11．
【点睛】
此题主要考查了三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最少的立方块个数和最多的立方块个数．
25．（1）120cm；（2）正确；（3）280cm
【解析】
【分析】
（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．
（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；
（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
【详解】
解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得：，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）正确，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度，
∴，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴，
∴AH==200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【点睛】
本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．