高中数学：集合的含义同步练习（含解析）

集合的含义
基础全面练　(20分钟　35分)
1．下列判断正确的是(　　)
A．高一年级全体视力不好的学生构成一个集合
B．四个实数sin 30°，sin 45°，cos 60°，1构成四个元素的集合
C．很大的自然数的全体构成一个集合
D．平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点构成只有一个元素的集合
2．已知集合A是由不大于10的实数的全体构成的集合，a＝＋，则a与集合A的关系是(　　)
A．a∈A
B．a A
C．a＝A
D．a可能属于A，也可能不属于A
3．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形　　 　　　B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．若a∈Q，则必有(　　)
A．a∈N　　B．a∈N＋　　C．a∈Z　　D．a∈R
5．下列说法中：
①若集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，2，1}，则A与B相同；
②数集Z中的元素不是奇数就是偶数；
③方程x2－2x＋1＝0的解集中有两个元素；
④若a∈R，则a∈Q.
其中所有正确说法的序号为________．
6．关于x的一元二次方程ax2－bx＋1＝0的解集有且只有一个元素1，求实数a＋b的值．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列每组对象，能组成一个集合的是(　　)
①2020年参加抗击新冠状病毒的医护人员
②直角坐标系中，点P(2020，1)附近的点
③cos 60°，sin 45°，，1
④π的近似值
A．②④ B．③④ C．①② D．①
2．若以集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，那么这个四边形可能是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
3．已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是(　　)
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
4．设所有被4除余数为k(k＝0，1，2，3)的整数组成的集合为Ak，则下列结论中错误的是(　　)
A．2 020∈A0
B．2 019∈A3
C．若a∈Ak，b∈Ak，则a－b∈A0
D．若a＋b∈A3，则a∈A1，b∈A2
5．若x∈A，∈A，则称集合A是“伙伴集”，从实数－1，0，，1，2，3，4中选取若干个数，可以构成“伙伴集”的个数为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练】
若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；
②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”．下列结论正确的个数是(　　)
(1)含有－1，0，1三个元素的集合B是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．不等式x－a≥0的解集为A，若3 A，则实数a的取值范围是________．
7．设集合A中的元素有2，3，a2＋2a－3，集合B中的元素有|a＋3|，2.已知5∈A，5 B，则a的值为________．
8．下面有四个命题：
①集合N中最小元素是0；
②若－a∈N，则a∈N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；
④方程x2＋4＝4x的解构成的集合中含有两个元素．其中错误命题的序号为______．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．若m是集合M中的元素，且m满足∈N*，m∈Z，则M中的元素有哪些？
10．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
创新练
1．若集合M为方程x2－x－m＝0的解组成的集合，且2∈M，则集合M中的另一个元素为________．
2．已知由实数构成的集合A满足条件，若a∈A，a≠1，则∈A.
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素，求出这两个元素；
(2)求证：若a∈A，则1－∈A；
(3)求证：A不可能是单元素集合．
【变式训练】
定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A且(b≠0)∈A”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．下列判断正确的是(　　)
A．高一年级全体视力不好的学生构成一个集合
B．四个实数sin 30°，sin 45°，cos 60°，1构成四个元素的集合
C．很大的自然数的全体构成一个集合
D．平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点构成只有一个元素的集合
【解析】选D.对于A，因为视力不好的标准不确定，所以不满足集合元素的确定性，故A错误；对于B，由于sin 30°＝cos 60°＝，不满足集合元素的互异性，故B错误；
对于C，因为很大的自然数不确定，所以不满足集合元素的确定性，故C错误；
对于D，平面内到△ABC三个顶点距离相等的点就是△ABC外接圆的圆心，满足集合的定义， 所以D正确．
2．已知集合A是由不大于10的实数的全体构成的集合，a＝＋，则a与集合A的关系是(　　)
A．a∈A
B．a A
C．a＝A
D．a可能属于A，也可能不属于A
【解析】选A.因为＋≤10，所以a∈A.
3．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形　　 　　　B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】选D.由集合中元素的互异性可知，a，b，c两两不相等，所以该三角形一定不是等腰三角形．
4．若a∈Q，则必有(　　)
A．a∈N　　B．a∈N＋　　C．a∈Z　　D．a∈R
【解析】选D.若a∈Q，则a为有理数，则必有a∈R.
5．下列说法中：
①若集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，2，1}，则A与B相同；
②数集Z中的元素不是奇数就是偶数；
③方程x2－2x＋1＝0的解集中有两个元素；
④若a∈R，则a∈Q.
其中所有正确说法的序号为________．
【解析】因为集合的元素没有顺序，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，2，1}，所以A与B相同，①正确；
因为数集Z中的元素都是整数，整数分为奇数和偶数，②正确；
方程x2－2x＋1＝0的解集中只有一个元素1，③不正确；
当a＝π ∈R时，a＝π Q，④不正确．
答案：①②
6．关于x的一元二次方程ax2－bx＋1＝0的解集有且只有一个元素1，求实数a＋b的值．
【解析】因为关于x的一元二次方程ax2－bx＋1＝0的解集有且只有一个元素1，
所以
解得
所以a＋b＝3.
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列每组对象，能组成一个集合的是(　　)
①2020年参加抗击新冠状病毒的医护人员
②直角坐标系中，点P(2020，1)附近的点
③cos 60°，sin 45°，，1
④π的近似值
A．②④ B．③④ C．①② D．①
【解析】选D.对于①，“2020年参加抗击新冠状病毒”，有明确的标准，故能构成集合；对于②，“直角坐标系中P(2020，1)附近的点”，没有明确的标准，不能构成集合；对于③，cos 60°＝，不满足元素的互异性，不能构成集合；对于④，“π的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合．综上所述，①能构成集合，②③④不能构成集合．故选D.
2．若以集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，那么这个四边形可能是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
【解析】选A.由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们构成的四边形的四条边互不相等，因此选A.
3．已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是(　　)
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
【解析】选D.因为2a∈A，a2－a∈A，
所以2a≠a2－a.
所以a(a－3)≠0.所以a≠0且a≠3.
4．设所有被4除余数为k(k＝0，1，2，3)的整数组成的集合为Ak，则下列结论中错误的是(　　)
A．2 020∈A0
B．2 019∈A3
C．若a∈Ak，b∈Ak，则a－b∈A0
D．若a＋b∈A3，则a∈A1，b∈A2
【解析】选D.由题意得：对于A，2 020÷4＝505，所以A正确；对于B，2 019＝4×504＋3，故B正确；对于C，因为a＝4n＋k，b＝4n′＋k，故a－b＝4(n－n′)＋0，故C正确；对于D, 因为0＋2 019＝2 019∈A3，但是0∈A0，2 019∈A3，所以D错误．
5．若x∈A，∈A，则称集合A是“伙伴集”，从实数－1，0，，1，2，3，4中选取若干个数，可以构成“伙伴集”的个数为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】选B.“伙伴集”中只有1个元素：1；－1，共有2个“伙伴集”；“伙伴集”中只有2个元素：－1，1；，2；共有2个“伙伴集”；“伙伴集”中只有3个元素：，－1，2；，1，2；共有2个“伙伴集”；“伙伴集”中只有4个元素：，－1，1，2，共有1个“伙伴集”；所以共有7个“伙伴集”．
【变式训练】
若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；
②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”．下列结论正确的个数是(　　)
(1)含有－1，0，1三个元素的集合B是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
【解析】选C.(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B，1∈B时，－1－1＝－2 B，这与－2∈B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．不等式x－a≥0的解集为A，若3 A，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为3 A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.
答案：a>3
7．设集合A中的元素有2，3，a2＋2a－3，集合B中的元素有|a＋3|，2.已知5∈A，5 B，则a的值为________．
【解析】因为5∈A，5 B，所以
解得a＝－4.
答案：－4
8．下面有四个命题：
①集合N中最小元素是0；
②若－a∈N，则a∈N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；
④方程x2＋4＝4x的解构成的集合中含有两个元素．其中错误命题的序号为______．
【解析】①集合N中最小元素是0，所以①正确；
②当－a＝3∈N时，a＝－3 N，所以②错；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是0，所以③错；
④方程x2＋4＝4x有两个相等的实根，故其解构成的集合中只含1个元素．所以④错．
答案：②③④
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．若m是集合M中的元素，且m满足∈N*，m∈Z，则M中的元素有哪些？
【解析】当m＝0时，＝10∈N*，
当m＝1时，＝5∈N*，
当m＝4时，＝2∈N*，
当m＝9时，＝1∈N*，
当m>9时，显然 N*，
综上所述，M中的元素为：0，1，4，9.
10．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
【解析】因为当a＝0时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为1，2，6；
当a＝2时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为3，4，8；
当a＝5时，b依次取1，2，6，得a＋b的值分别为6，7，11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个．
创新练
1．若集合M为方程x2－x－m＝0的解组成的集合，且2∈M，则集合M中的另一个元素为________．
【解析】因为2∈M，所以22－2－m＝0，解得m＝2.
解方程x2－x－2＝0，即(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2.故集合M中含有两个元素－1，2.
答案：－1
2．已知由实数构成的集合A满足条件，若a∈A，a≠1，则∈A.
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素，求出这两个元素；
(2)求证：若a∈A，则1－∈A；
(3)求证：A不可能是单元素集合．
【解析】(1)由a∈A，a≠1，则∈A，
2∈A，得∈A，即－1∈A；
从而∈A，即∈A.
所以A中另外两个元素为－1，.
(2)因为a∈A，a≠1，∈A，
所以∈A，即1－∈A.
(3)假设A中只有唯一的元素，
则a＝，
即a2－a＋1＝0，
而Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，
所以方程无解．
所以假设不成立，即集合A不可能是单元素集合．
【变式训练】
定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A且(b≠0)∈A”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
【解析】数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．
例如，3∈N，2∈N，而＝1.5 N；
3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5 Z，故N，Z不是“闭集”．
由于两个有理数m与n的和、差、积、商，即m±n，mn，(n≠0)仍是有理数，
故Q是“闭集”．同理R是“闭集”．
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