1.1 集合的概念 同步练习（含解析）

1.1 集合的概念
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下面给出四个论断：是空集；若，则；集合有两个元素；集合是有限集．其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
设集合，若，则( )
A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或
已知集合只有一个元素，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
下列集合中恰有个元素的集合是( )
A. B. C. D.
非空集合具有下列性质：若、，则；若、，则，下列判断一定成立的是( )
；
；
若、，则；
若、，则．
A. B. C. D.
集合，，，且，，则有( )
A. B.
C. D. 不属于、、中的任意一个
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列四个命题中正确的是( )
A. 由所确定的实数集合为
B. 同时满足的整数解的集合为
C. 集合，，可以化简为，，
D. 中含有三个元素
下列说法中错误的是( )
A. 方程的解集是
B. 方程的解集为
C. 集合与集合，表示同一个集合
D. 方程组的解集是或
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知集合，且，求实数的值 ．
已知集合只有一个元素，则 ．
给出下列说法：
集合用列举法表示为；
实数集可以表示为为实数或；
方程组的解组成的集合为．
其中不正确的有 把所有不正确说法的序号都填上
若集合只有一个元素，则实数的值为 ．
四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知集合，，．
若，则是否存在，，使成立
对于任意，，是否一定存在，使证明你的结论．
本小题分
已知集合中含有两个元素和．
若是集合中的元素，试求实数的值；
能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
本小题分
设集合中含有三个元素，，．
求实数应满足的条件
若，求实数的值．
本小题分
已知集合．
若是空集，求的取值范围；
若中只有一个元素，求的值，并求集合；
若中至多有一个元素，求的取值范围
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了集合的含义，元素与集合的关系，集合中元素的性质：无序性、确定性、互异性，属于中档题．
对四个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】
解：中有元素，不是空集，不正确；
若，则，且，不正确；
集合只有个元素，不正确；
集合是无限集，不正确．
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，属于中档题．
分别由，，求出的值，再将值代入验证即可．
【解答】
解：若，则，
，
；
若，则或，
时，，
；
时，舍，不符合互异性，
则或．
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
通过集合有且只有一个元素，方程只有一个解或重根，求出的值即可．
解题时容易漏掉的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况
进行讨论．
【解答】
因为集合
有且只有一个元素，
当时，只有一个解
，
当时，一元二次方程只有一个元素则方程
有重根，即即
所以实数或
故答案为：或．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合中元素个数问题，考查推理能力和计算能力．
选项A中的集合只有一个元素，选项C，中的集合中都有无数多个元素，选项B中．
【解答】
解：选项A中的集合只有一个元素为：；
集合的代表元素是，则集合是方程根的集合，即；
选项C，中的集合中都有无数多个元素，
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于中档题．
假设，可推出，由此可判断的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断的正误；推导出，结合可判断的正误；若、，举出反例，可判断的正误综合可得出结论．
【解答】
解：由可知．
对于，若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，正确；
对于，若且，则，
，，
依此类推可得知，，，
，，，正确；
对于，若、，则且，
由可知，，则，
所以，，正确；
对于，由得，，
取，则，所以错误．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查元素与集合关系的判断，属于中档题．
根据集合，，，我们易判断，，表示的集合及集合中元素的性质，可知一定为奇数，即可得到答案．
【解答】
解：由，可知表示偶数集；
由，可知表示奇数集；
由，可知表示所有被除余的整数；
若，，则为偶数，为奇数，
则一定为奇数，则，
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查集合中元素的性质，掌握集合元素的性质是解答本题的关键，属于中档题．
利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定，解不等式得到的取值范围，用列举法表示出整数解集合即可判定，由，，，用列举法可判定，用试根的方式找出满足条件的元素可判断．
【解答】
解：分别取，同正、同负和一正一负时，
可以得到的值分别为，，，故A正确；
由得，
所以符合条件的整数解的集合为，故B正确；
由，，，
可以得到符合条件的数对有，，，故C正确；
当时，；
当时，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
所以集合含有四个元素，，，，故D错误，
故选ABC．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了集合的含义与表示方法属于中档题．
根据集合的概念及表示方法逐个分析判定解答．
【解答】
解：对于，方程的解集为，故A错误；
对于，方程的解集为，故B错误；
对于，是数集，是点集，所以集合与集合不是同一集合，故C错误；
对于，方程组的解集为且，故D错误．
故选ABCD．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合中元素与集合的关系，注意集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
利用，推出或，求出的值，然后验证集合是否成立，即可得到的值．
【解答】
解：因 ，且
所以或
即或或
当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；
当时，与元素的互异性相矛盾，舍去；
当时，满足题意
．
故答案是：．

10.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查集合中元素的个数．
分为和两种情况进行讨论即可得解．
【解答】
解：因为集合只有一个元素，
当时，只有一个解，符合题意；
当时，一元二次方程只有一个根，即即，
所以实数或，
故答案为：或．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了元素与集合的关系的判断及集合的表示法的应用．
由的解为，，，因为，从而可知错误；实数集可以表示为为实数或，故错误；方程组的解为或，故错误．
【解答】
解：由，即，
得或或，因为，
所以集合用列举法表示为．
实数集正确的表示为为实数或．
解方程组可得
方程组的解组成的集合正确的表示应为或．
故均不正确．
故答案为．

12.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查集合元素的个数问题，涉及方程的解，属中档题．
根据题意可得方程只有唯一解，根据是否为分类讨论即可．
【解答】
解：集合表示方程的解组成的集合，
由只有一个元素，故方程只有一个解，
时，方程为，此时只有唯一解，满足题意；
时，方程为二次方程，故，即，
综上，满足题意的的值为或．
故答案为或．

13.【答案】解设，
令， ，则．
故若，则存在，，使成立．
设，，，，
则，，
当时，，此时存在，使成立
当时，，此时不存在，
使成立．
故对于任意，，不一定存在，使．

【解析】本题考查元素和集合的关系，属于中档题．
根据已知条件知：由，令，，则．
设，，，，则分类讨论，当时成立，当时，不成立．
14.【答案】解：因为是集合中的元素，所以或，
若，则，此时集合含有两个元素，，符合要求；
若，则，此时集合中含有两个元素，，符合要求，
综上所述，满足题意的实数的值为或．
若为集合中的元素，则，或．
当时，解得，此时，
显然不满足集合中元素的互异性；
当时，解得，
此时显然不满足集合中元素的互异性，
综上，不能为集合中的元素．
【解析】本题主要考查元素与集合的关系掌握概念是解题的关键．
因为是集合中的元素，所以或，求出的值，结合集合中元素的互异性检验即可；
若为集合中的元素，则，或，求出的值，结合集合中元素的互异性检验即可．
15.【答案】由集合中元素的互异性可知，，且，解得且且
因为，所以或由于，所以 ，所以．

【解析】 本题考查集合中元素的特征，元素与集合的关系，考查运算求解能力，数学抽象的核心素养．
答题要领集合中含有三个元素，即，，互不相同由，可得或，且，不相等．
16.【答案】解：是空集，
且，
，解得，
的取值范围为：；
当时，集合，
当时，，
，解得，
此时集合，
综上所求，的值为或，集合，集合；
由，可知，当中至多有一个元素时，或，
的取值范围为：．
【解析】本题主要考查了集合的元素个数，含参的一元二次方程根的判定，属于中档题．
利用是空集，则即可求出的取值范围；
对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；
结合，的结果，即可求解．