高中数学北师大版（2019）必修第一册：集合的基本关系（含解析）

集合的基本关系
基础全面练　(20分钟　35分)
1．以下四个关系： ∈{0}，0∈ ，{ } {0}， {0}，其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合A＝{x∈N*|x－3＜0}，则满足条件B A的集合B的个数为(　　)
A. 2　　　B. 3　　　C. 4　　　D. 8
3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2 C．3 D．4
4．设含有4个元素的集合的全部子集数为S，其中由2个元素组成的子集数为T，则的值为________．
5．已知集合A＝{x||x|＞2}，B＝{x|3x＋a≤0} ，且B A，则实数a 的取值范围是________．
6．已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C.
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为(　　)
A．AB B．AB
C．A＝B D．A B
2．A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B的非空子集的个数为(　　)
A．10 B．9 C．1 024 D．1 023
3．已知集合A＝{2＋，a}，B＝{－1，1，3}，且A B，则实数a的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知 {x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
7．若集合A＝{x|x＝a2＋2，a∈R}，B＝{x|x＝a2＋2a＋3，a∈R}，则集合A与B之间的关系是________．
8．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x＝________，y＝________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设集合A ＝ {a|a＝3n＋2，n∈Z}，B＝{b|b ＝3k－1，k∈Z}，试证明集合A＝B.
10．(10分)已知集合A＝{x|x2－9x＋14＝0}，集合B＝{x|ax＋2＝0}，若BA，求实数a的取值集合．
创新练
1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2 }，若B A，则实数m＝________．
2．已知非空集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝3x－1，x∈A}，且B C，求a的取值范围．
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．以下四个关系： ∈{0}，0∈ ，{ } {0}， {0}，其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.集合与集合间的关系是 ，因此 ∈{0}错误；{ }表示只含有一个元素(此元素是 )的集合，所以{ } {0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈ 错误； {0}正确．因此正确的只有1个．
2．已知集合A＝{x∈N*|x－3＜0}，则满足条件B A的集合B的个数为(　　)
A. 2　　　B. 3　　　C. 4　　　D. 8
【解析】选C.由x－3<0解得x<3，又x∈N*，所以x＝1，2，故A＝{1，2}, 因为B A，所以B是A的子集，故B可以是 ，{1}，{2}，{1，2}，共4个．
3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选D.A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，B＝{x|04．设含有4个元素的集合的全部子集数为S，其中由2个元素组成的子集数为T，则的值为________．
【解析】含有4个元素的集合的全部子集数S＝24＝16，其中由2个元素组成的子集数T＝6，则＝＝.
答案：
5．已知集合A＝{x||x|＞2}，B＝{x|3x＋a≤0} ，且B A，则实数a 的取值范围是________．
【解析】由实数的绝对值意义，|x|＞2即x＜－2或x＞2，所以A＝{x|x＜－2或x＞2},
B＝{x|3x＋a≤0}＝{x|x≤－}．
由B A ，得－<－2，解得a>6，
所以实数a的取值范围是{a|a＞6}．
答案：{a|a>6}
6．已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C.
【解析】逆向操作，A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7.所以 C＝{4}或{7}或{4，7}．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为(　　)
A．AB B．AB
C．A＝B D．A B
【解析】选B.B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，所以BA.
2．A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B的非空子集的个数为(　　)
A．10 B．9 C．1 024 D．1 023
【解析】选D.由题意可得B＝{，，，，，，，，，}，集合B中共10个元素，因此集合B的非空子集的个数为210－1＝1 023.
3．已知集合A＝{2＋，a}，B＝{－1，1，3}，且A B，则实数a的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.因为A B，
所以a＝－1或a＝1或a＝3，
当a＝－1时，无意义，所以不成立．
当a＝1时，A＝{3，1}，满足条件．
当a＝3时，A＝{2＋，3}，不满足条件，故a＝1.
4．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】选C.由题意，A∩B中的元素满足
且x，y∈N*，由x＋y＝8可得2x≤8，得x≤4，
所以满足x＋y＝8的有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，
故A∩B中元素的个数为4.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知 {x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为 {x|x2－x＋a＝0}，
所以方程x2－x＋a＝0有实根，
所以Δ＝(－1)2－4a≥0，a≤.
答案：a≤
7．若集合A＝{x|x＝a2＋2，a∈R}，B＝{x|x＝a2＋2a＋3，a∈R}，则集合A与B之间的关系是________．
【解析】当a∈R时，a2＋2≥2，
所以A＝{x|x≥2}．
当a∈R时，a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2≥2，
所以B＝{x|x≥2}．因此A＝B.
答案：A＝B
8．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x＝________，y＝________．
【解析】因为A＝B，所以x＝0或y＝0.
若x＝0，则x2＝0，此时集合B中的元素不满足互异性，舍去；若y＝0，则x＝x2，得x＝0(舍去)或x＝1，此时A＝B＝{0，1}．所以x＝1，y＝0.
答案：1　0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设集合A ＝ {a|a＝3n＋2，n∈Z}，B＝{b|b ＝3k－1，k∈Z}，试证明集合A＝B.
【证明】先证明A B .设任一元素a∈A，则a ＝3n＋2＝3( n ＋1)－1(n∈Z)，
由于n∈Z，则n＋1∈Z，所以有a∈B，故A B.
再证明B A.又设任一元素 b∈B ，
则b＝3k－1＝3(k－1)＋2(k∈Z).
因为k∈Z，则k－1∈Z，所以b∈A ，故B A .
由此可知A＝B.
10．(10分)已知集合A＝{x|x2－9x＋14＝0}，集合B＝{x|ax＋2＝0}，若BA，求实数a的取值集合．
【解析】A＝{x|x2－9x＋14＝0}＝{2，7}，因为BA，所以若a＝0，即B＝ 时，满足条件．
若a≠0，则B＝，若BA，
则－＝2或7，解得a＝－1或－.则实数a的取值的集合为.
创新练
1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2 }，若B A，则实数m＝________．
【解析】由B A知，m2＝2m－1，所以(m－1)2＝0，解得m＝1.经验证知，满足题意．
答案：1
2．已知非空集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝3x－1，x∈A}，且B C，求a的取值范围．
【解析】由题意知B＝{y|－1≤y≤2a＋3}，
C＝{z|－7≤z≤3a－1}，
又由题意知B≠ ，B C，故3a－1≥2a＋3，
解得a≥4，故a的取值范围为{a|a≥4}．
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