高中数学北师大版（2019）必修第一册：集合的表示（含解析）

集合的表示
基础全面练　(15分钟　30分)
1．以下命题中正确的是(　　)
A．所有正数组成的集合可表示为{x|x2>0}
B．大于2 010小于2 012的整数组成的集合为{x|2 010C．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}
D．N中的元素比N＋中的元素只多一个元素0，它们都是无限集
2．设集合M＝{(1，2)}，则下列关系成立的是(　　)
A．1∈M B．2∈M
C．(1，2)∈M D．(2，1)∈M
3．集合A＝{x, x－y}也可以表示为{x＋1，|y|}，则x2 019＋y2 020＝(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．0
4．用列举法表示集合{(x，y)|(x＋1)2＋|y－1|＝0，x∈R，y∈R}为________．
5．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}．
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．以下说法中正确的个数是(　　)
①a与表示同一个集合；
②集合M＝与N＝表示同一个集合；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合不能用列举法表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若集合A＝{2，0，1，7}，B＝{x|x2－2∈A，x－2 A}，则集合B中的所有元素之积为(　　)
A．36　 B．54　 C．72　　 D．108
3．若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则用列举法表示集合B＝(　　)
A．{1，2} B．{1，2，5} C．{2，5} D．{1，5}
4．设集合A＝，B＝，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)
A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6
5．不大于2的自然数的集合表示为(　　)
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1} D．{0，1，2}
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
7．设集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，若3∈A，则集合A可用列举法表示为________．
8．如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．
三、解答题(每题10分，共20分)
9．一支钢笔2元，一本数学书5元．小明有9元钱，请把小明购买物品的所有情况一一列举出来，并用集合表示．
10．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2，且n∈N}．
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合．
(3)x2－4的一次因式组成的集合．
创新练
1．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3 C．5 D．9
2．(1)当a，b满足什么条件时，集合A＝{x|ax＋2＝b}＝R；
(2)当a，b满足什么条件时，集合A＝{x|ax＋2＝b}＝ .
参考答案：
基础全面练　(15分钟　30分)
1．以下命题中正确的是(　　)
A．所有正数组成的集合可表示为{x|x2>0}
B．大于2 010小于2 012的整数组成的集合为{x|2 010C．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}
D．N中的元素比N＋中的元素只多一个元素0，它们都是无限集
【解析】选D.所有正数组成的集合应表示为{x|x>0}，所以A错误；大于2 010小于2 012的整数组成的集合为{x|2 0102．设集合M＝{(1，2)}，则下列关系成立的是(　　)
A．1∈M B．2∈M
C．(1，2)∈M D．(2，1)∈M
【解析】选C.M＝{(1，2)}中元素为(1，2).
3．集合A＝{x, x－y}也可以表示为{x＋1，|y|}，则x2 019＋y2 020＝(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．0
【解析】选B.由题意，{x, x－y }与{x＋1, |y |}表示同一个集合，所以，
解得x＝1，y＝－1，所以x2 019＋y2 020＝2.
4．用列举法表示集合{(x，y)|(x＋1)2＋|y－1|＝0，x∈R，y∈R}为________．
【解析】因为(x＋1)2≥0，|y－1|≥0，所以(x＋1)2＝0且|y－1|＝0，故有x＝－1且y＝1，因此答案为{(－1，1)}．
答案：{(－1，1)}
5．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}．
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【解析】(1)因为A中有两个元素，
所以方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，
所以所以a＞－且a≠0.
(2)当a＝0时A＝；
当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，Δ＝9＋16a＝0，即a＝－；
若关于x的方程无实数根，
则Δ＝9＋16a＜0，即a＜－，
故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．以下说法中正确的个数是(　　)
①a与表示同一个集合；
②集合M＝与N＝表示同一个集合；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合不能用列举法表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选B.由题意，可知①中，a不是一个集合，所以a与集合表示同一个集合是不正确的；
②中，集合M＝是表示含有两个元素的集合，而集合N＝表示仅含有一个点的集合，所以集合M，N表示不同的集合，所以不正确；
③中，方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合为，所以不正确；
④中，集合{x|42．若集合A＝{2，0，1，7}，B＝{x|x2－2∈A，x－2 A}，则集合B中的所有元素之积为(　　)
A．36　 B．54　 C．72　　 D．108
【解析】选A.由x2－2∈A，可得x2＝4，2，3，9，即x＝±2，±，±，±3.
又x－2 A，所以x≠2，x≠3，故x＝－2，±，±，－3，因此集合B＝{－2，－，，－，，－3}，所以集合B中的所有元素之积为(－2)×(－)××(－)××(－3)＝36.
3．若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则用列举法表示集合B＝(　　)
A．{1，2} B．{1，2，5} C．{2，5} D．{1，5}
【解析】选B.根据题意，A＝{－2，－1，0，1，2}，对于集合B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，当x＝±2时，y＝5，当x＝±1时，y＝2，当x＝0时，y＝1；故B＝{1，2，5}．
4．设集合A＝，B＝，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)
A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6
【解析】选B.如表：
1 2 3
4 5 6 7
5 6 7 8
所以M＝{5，6，7，8}，共4个元素．
5．不大于2的自然数的集合表示为(　　)
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1} D．{0，1，2}
【解析】选D.因为不大于2的自然数有0，1，2，所以构成的集合表示为{0，1，2}．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
【解析】因为A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，所以B＝{(1，1)}，只有一个元素．
答案：1
7．设集合A＝{x|x2－2x＋a＝0}，若3∈A，则集合A可用列举法表示为________．
【解析】因为3∈A，将3代入x2－2x＋a＝0可得9－6＋a＝0，a＝－3，
所以原方程为x2－2x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1，故集合A＝{－1，3}．
答案：{－1，3}
8．如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．
【解析】题图中阴影部分点的横坐标－1≤x≤3，纵坐标0≤y≤3，
故用描述法可表示为.
答案：
三、解答题(每题10分，共20分)
9．一支钢笔2元，一本数学书5元．小明有9元钱，请把小明购买物品的所有情况一一列举出来，并用集合表示．
【解析】不妨设小明可以买x支钢笔，y本数学书，则必有2x＋5y≤9.
当x＝0时，y＝1；当x＝1时，y＝0或y＝1；
当x＝2时，y＝0或y＝1；当x＝3时，y＝0；
当x＝4时，y＝0；
所以小明可以买：①1本数学书；②1支钢笔；③1支钢笔，1本数学书；④2支钢笔；⑤2支钢笔，1本数学书；⑥3支钢笔；⑦4支钢笔，共有7种情况．
用集合表示为{1本数学书， 1支钢笔， 1支钢笔、1本数学书， 2支钢笔，2支钢笔、1本数学书， 3支钢笔， 4支钢笔}．
10．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2，且n∈N}．
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合．
(3)x2－4的一次因式组成的集合．
【解析】(1)用列举法表示为P＝{0，2，4}．
(2)可用列举法表示为{6，9，12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n，4(3)用列举法表示为{x＋2，x－2}．
创新练
1．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3 C．5 D．9
【解析】选C.因为x∈A，y∈A，
当x＝0时，由y＝0，1，2得，x－y＝0，－1，－2；
当x＝1时，由y＝0，1，2得，x－y＝1，0，－1；
当x＝2时，由y＝0，1，2得，x－y＝2，1，0.
由集合中元素的互异性可知，B＝{－2，－1，0，1，2}中共有5个元素．
2．(1)当a，b满足什么条件时，集合A＝{x|ax＋2＝b}＝R；
(2)当a，b满足什么条件时，集合A＝{x|ax＋2＝b}＝ .
【解析】(1)关于x的方程ax＋2＝b即ax＝b－2，
由A＝{x|ax＋2＝b}＝R知，a＝0，b＝2.
由A＝{x|ax＋2＝b}＝ 知，a＝0，b≠2.
PAGE