高中数学北师大版（2019）必修第一册：映射（含解析）

映射
基础全面练　(15分钟　30分)
1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的有(　　)
(1)A中的任一元素在B中必须有像且唯一；
(2)A中的多个元素可以在B中有相同的像；
(3)B中的多个元素可以在A中有相同的原像．
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．0个
2．已知集合A＝，B＝，f：A→B是从A到B的一个映射，若x∈A，y∈B，则其对应关系可以是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝ D．y＝x2－1
3．已知映射f：A→B，其中A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应法则f：→.则集合B中的元素的原像为(　　)
A． B．
C．或 D．以上答案都不对
4．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知集合A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．
综合突破练　(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列对应不是映射的是(　　)
2．规定：区间[m，n]的长度为n－m(n>m).设集合A＝[0，t](t>0)，集合B＝[a，b](b>a)，从集合A到集合B的映射f：x→y＝2x＋t，若集合B的长度比集合A的长度大5，则实数t的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知集合A＝，B＝，f：A→B为集合A到B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况共有________种．(　　)
A．2 B．3 C．6 D．7
4．设集合A＝{1，2，3，4}，f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下)：则方程f(g(x))＝x＋1的解的集合是(　　)
表一：
映射f的对应法则
原像 1 2 3 4
像 4 2 3 1
表二：
映射g的对应法则
原像 1 2 3 4
像 4 3 1 2
A.{1，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{4，1}
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．设集合A＝{1}，B＝{a，b，c}，则从A到B的映射个数为a, 从B到A的映射个数为b, 则a＋b＝________．
6．设M＝{a，b}，N＝{－2，0，2}，则从M到N的映射中满足f(a)≥f(b)的映射f的个数为________．
三、解答题
7．(10分)已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素的像和B中元素的原像．
【变式训练】
设A＝R，B＝R，f：x→是A→B的映射：
(1)设a∈A，则a在B中的像是什么？
(2)设t∈A，那么t＋1在B中的像是什么？
(3)设s∈A，若s－1在映射f下的像为5，则s应是多少？s在映射f下的像是多少？
参考答案：
基础全面练　(15分钟　30分)
1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的有(　　)
(1)A中的任一元素在B中必须有像且唯一；
(2)A中的多个元素可以在B中有相同的像；
(3)B中的多个元素可以在A中有相同的原像．
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．0个
【解析】选B.由映射f：A→B的概念可知，对于A中的任一元素在B中必须有像且唯一；A中的多个元素可以在B中有相同的像；若B中的多个元素可以在A中有相同的原像，则与像的唯一性矛盾．
2．已知集合A＝，B＝，f：A→B是从A到B的一个映射，若x∈A，y∈B，则其对应关系可以是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝ D．y＝x2－1
【解析】选A.对于选项A，满足映射的概念；
对于选项B，集合A中的元素－在集合B中没有元素－与之对应，故B不正确；
对于选项C，集合A中的元素0的函数值不存在，故C不正确；对于选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素－1与之对应，故D不正确．
3．已知映射f：A→B，其中A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应法则f：→.则集合B中的元素的原像为(　　)
A． B．
C．或 D．以上答案都不对
【解析】选C.设集合B中的元素的原像为，
则解得或
因此，集合B中的元素的原像为或.
4．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】选A.因为a∈A，所以|a|＝1，2，3，4，即B＝{1，2，3，4}．
5．已知集合A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．
【解析】因为B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，所以A中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.
因为a∈N，
所以仅有a2＋3a＝10，得a＝2，a＝－5(舍).
则有k的像是a4.所以3k＋1＝24，得k＝5.
综合突破练　(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列对应不是映射的是(　　)
【解析】选D.选项A，B，C中的对应满足映射的条件，即集合M中的元素具有任意性、集合N中的元素具有唯一性．选项D中的元素1与集合N中的两个元素对应，不具有唯一性，故选项D中的对应不是映射．
2．规定：区间[m，n]的长度为n－m(n>m).设集合A＝[0，t](t>0)，集合B＝[a，b](b>a)，从集合A到集合B的映射f：x→y＝2x＋t，若集合B的长度比集合A的长度大5，则实数t的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选C.由于集合A和集合B均是数集，则该映射f：x→y是函数，且f(x)＝2x＋t.当x∈A时，f(x)的值域为[f(0)，f(t)]，即[t，3t]，所以集合B的长度为3t－t＝2t，又集合A的长度为t－0＝t，则2t－t＝5，解得t＝5.
3．已知集合A＝，B＝，f：A→B为集合A到B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况共有________种．(　　)
A．2 B．3 C．6 D．7
【解析】选C.由函数的定义知，此函数可以分为两类来进行研究：若函数对应方式是二对一的对应，则值域为{a}、{b}、{c}三种情况；
若函数是一对一的对应，{a，b}、{b，c}、{a，c}三种情况；综上知，函数的值域C的不同情况有6种．
4．设集合A＝{1，2，3，4}，f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下)：则方程f(g(x))＝x＋1的解的集合是(　　)
表一：
映射f的对应法则
原像 1 2 3 4
像 4 2 3 1
表二：
映射g的对应法则
原像 1 2 3 4
像 4 3 1 2
A.{1，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{4，1}
【解析】选B.查表可知，若g＝4，则x＝1，x＋1＝2，f＝2，与对应法则不匹配，x＝1排除；若g＝3，则x＝2，x＋1＝3，f＝3，与对应法则匹配，x＝2符合；
若g＝1，则x＝3，x＋1＝4，f＝4，与对应法则匹配，x＝3符合；
若g＝2，则x＝4，x＋1＝5，f＝5，与对应法则不匹配，x＝4不符合，
故方程f(g(x))＝x＋1的解的集合是{2，3}．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．设集合A＝{1}，B＝{a，b，c}，则从A到B的映射个数为a, 从B到A的映射个数为b, 则a＋b＝________．
【解析】因为集合A＝{1}，B＝{a，b，c}，则从A到B的映射个数为a＝3，从B到A的映射个数为b＝1，则a＋b＝4.
答案：4
6．设M＝{a，b}，N＝{－2，0，2}，则从M到N的映射中满足f(a)≥f(b)的映射f的个数为________．
【解析】由f(a)≥f(b)知，f(a)＞f(b)或f(a)＝f(b)，当f(a)＞f(b)时有
或或共三种可能；
当f(a)＝f(b)时，也有f(a)＝f(b)＝0，2，－2三种可能．综上所述满足条件f(a)≥f(b)的映射有6个．
答案：6
三、解答题
7．(10分)已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素的像和B中元素的原像．
【解析】把x＝代入对应关系，得其像为(＋1，3).
又得x＝.
所以的像为(＋1，3)，的原像为.
【变式训练】
设A＝R，B＝R，f：x→是A→B的映射：
(1)设a∈A，则a在B中的像是什么？
(2)设t∈A，那么t＋1在B中的像是什么？
(3)设s∈A，若s－1在映射f下的像为5，则s应是多少？s在映射f下的像是多少？
【解析】(1)因为a∈A，而f：x→是A→B的映射，所以a在B中的像为，
即f：a→.
(2)因为t∈A，A＝R，所以t＋1∈A，说明t＋1是集合A中的元素．根据映射的定义，元素t＋1在B中必定有且只有一个元素与它相对应，故满足对应法则f：x→，元素t＋1在B中的像为＝.
(3)因为s∈A，所以s－1∈A，即s－1是集合A中的元素，且有f：s－1→，又因为s－1在集合B中的像为5，所以＝5，解得s＝.同理可得s在映射f下的像是＝6.
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