高中数学北师大版（2019）必修第一册：函数概念（含解析）

函数概念
基础全面练　(15分钟　30分)
1．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应关系中，能构成从A到B为函数关系的是(　　)
2．下列各组函数是同一函数的是(　　)
①f(x)＝与g(x)＝x；②f(x)＝x与g(x)＝x＋1；③f(x)＝|x|与g(x)＝；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
3．y＝f(x)的图像如图，则函数的定义域是(　　)
A.[－5，6) B．[－5，0]∪[2，6]
C．[－5，0)∪[2，6) D．[－5，0]∪[2，6)
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(－5)＝__________，f(f(2))＝__________．
【变式训练】
函数y＝的定义域为________．
5．已知函数f(x)＝＋的定义域为集合A，g(x)＝的定义域为集合B，C＝{x∈R|xa＋1}．
(1)求集合A，(RA)∩B.
(2)若A∪C＝R，求实数a的取值范围．
【变式训练】
已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域．
(2)求f(－1)，f(2)的值．
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
综合突破练　(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x2＋2 019　　　　 B．y＝x－1＋1
C．y＝x＋2 019 D．y＝|x|
2．若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数．那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的个数有(　　)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
3．设集合M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}，N＝，函数f的定义域为M，值域为N，则函数f的图像可以是(　　)
【变式训练】
函数g(x)＝－2x＋的最大值为(　　)
A．－　　B．－2　　C．　　D．
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学家奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名了“高斯函数”．设x∈R，用表示不超过x的最大整数，则y＝称为高斯函数，例如：＝－3，＝3，已知函数f(x)＝，x∈，则函数y＝的值域是(　　)
A．　　B．(1，2)　　C．(0，1)　　D．
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若g(x＋2)＝2x＋3，
则g(3)的值是________．
6．(1)函数y＝2x＋1，x∈(－1，1]的值域是__________．
(2)函数y＝x2＋x＋2，x∈R的值域是__________．
【变式训练】
函数y＝x＋4的值域为______．
三、解答题
7．(10分)(1)已知函数y＝f(x)的定义域为，求函数y＝f(2x－3)的定义域．
(2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域为，求函数y＝f的定义域．
参考答案：
基础全面练　(15分钟　30分)
1．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应关系中，能构成从A到B为函数关系的是(　　)
【解析】选D.A中有一部分x值没有与之对应的y值；B中一对多的关系不是函数关系；C中当x＝1时对应两个不同的y值，不能构成函数；D中对应关系符合函数定义．
2．下列各组函数是同一函数的是(　　)
①f(x)＝与g(x)＝x；②f(x)＝x与g(x)＝x＋1；③f(x)＝|x|与g(x)＝；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【解析】选C.①f(x)＝＝|x|与g(x)＝x的对应关系和值域都不同，故不是同一函数．
②g(x)＝x＋1与f(x)＝x的对应关系不同，故不是同一函数．③f(x)＝|x|与g(x)＝＝|x|定义域都为R，对应关系相同，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.
3．y＝f(x)的图像如图，则函数的定义域是(　　)
A.[－5，6) B．[－5，0]∪[2，6]
C．[－5，0)∪[2，6) D．[－5，0]∪[2，6)
【解析】选D.由图像结合函数定义域的定义知，x∈[－5，0]∪[2，6).
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(－5)＝__________，f(f(2))＝__________．
【解析】由题图可知f(－5)＝，f(2)＝0，f(0)＝4, 故f(f(2))＝4.
答案：　4
【变式训练】
函数y＝的定义域为________．
【解析】由函数的解析式可得
解得
据此可得函数的定义域为{x|－3≤x<－2或－2答案：{x|－3≤x<－2或－25．已知函数f(x)＝＋的定义域为集合A，g(x)＝的定义域为集合B，C＝{x∈R|xa＋1}．
(1)求集合A，(RA)∩B.
(2)若A∪C＝R，求实数a的取值范围．
【解析】(1)要使函数f(x)有意义，则
解得－2≤x＜1，
所以A＝{x|－2≤x＜1}，
即RA＝{x|x＜－2或x≥1}，
要使函数g(x)有意义，则3－x≥0，
解得x≤3，即B＝{x|x≤3}，
所以(RA)∩B＝{x|x＜－2或1≤x≤3}．
(2)因为A∪C＝R，所以
解得－2≤a＜0，
所以实数a的取值范围为[－2，0).
【变式训练】
已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域．
(2)求f(－1)，f(2)的值．
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
【解析】(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，所以f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，
f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
所以f(a＋1)＝a＋1＋.
综合突破练　(20分钟　40分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x2＋2 019　　　　 B．y＝x－1＋1
C．y＝x＋2 019 D．y＝|x|
【解析】选C.函数y＝x2＋2 019的定义域为R, 值域为[2 019，＋∞)，函数y＝x－1＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，函数y＝x＋2 019的定义域和值域都是R，函数y＝|x|的定义域为R，值域为[0，＋∞).
2．若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数．那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的个数有(　　)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【解析】选D.由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0，1，4}时，定义域中，0是肯定有的，±1，至少含一个，±2，至少含一个．它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况．
3．设集合M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}，N＝，函数f的定义域为M，值域为N，则函数f的图像可以是(　　)
【解析】选B.M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝[－1，3]，N＝{y|y(y－3)≤0}＝[0，3]，A项定义域为[－1，0]，D项值域是[0，2]，C项对任一x∈[－1，3)都有两个y与之对应，都不符．
【变式训练】
函数g(x)＝－2x＋的最大值为(　　)
A．－　　B．－2　　C．　　D．
【解析】选C.函数g(x)＝－2x＋，设＝t，t≥0，则x＝t2－1，则h＝－2＋t＝－2t2＋t＋2，对称轴为t＝，
所以h在上递增，
在上递减，
所以hmax＝h＝－2×2＋＋2＝，所以g(x)的最大值为.Ｋ
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学家奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名了“高斯函数”．设x∈R，用表示不超过x的最大整数，则y＝称为高斯函数，例如：＝－3，＝3，已知函数f(x)＝，x∈，则函数y＝的值域是(　　)
A．　　B．(1，2)　　C．(0，1)　　D．
【解析】选A.当x∈[0，1]时，f(x)＝＝1＋∈，当f(x)∈时，y＝＝1；当f(x)＝2时，y＝＝2.
所以函数y＝的值域是.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若g(x＋2)＝2x＋3，
则g(3)的值是________．
【解析】方法一：因为g(x＋2)＝2x＋3，
所以g(3)＝g(1＋2)＝2×1＋3＝5.
方法二：因为g(x＋2)＝2x＋3，
令x＋2＝t x＝t－2，
所以g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，
g(3)＝2×3－1＝5.
答案：5
6．(1)函数y＝2x＋1，x∈(－1，1]的值域是__________．
(2)函数y＝x2＋x＋2，x∈R的值域是__________．
【解析】(1)因为－1(2)用配方法得： y＝ x2＋x＋2＝＋≥，函数y＝x2＋x＋2，x∈R的值域是.
答案：(1)(－1，3]　(2)
【变式训练】
函数y＝x＋4的值域为______．
【解析】令＝t，则t≥0，
所以1－x＝t2，所以x＝1－t2，
所以y＝1－t2＋4t＝－t2＋4t＋1
＝－(t－2)2＋5，t∈[0，＋∞)，
所以当t＝2，即x＝－3时，y取最大值5，
所以函数y＝x＋4的值域为(－∞，5].
答案：(－∞，5]
三、解答题
7．(10分)(1)已知函数y＝f(x)的定义域为，求函数y＝f(2x－3)的定义域．
(2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域为，求函数y＝f的定义域．
【解析】(1)因为函数y＝f(x)的定义域为，即x∈[－2，3]，
函数y＝f(2x－3)中2x－3的范围与函数y＝f(x)中x的范围相同，
所以－2≤2x－3≤3，解得≤x≤3，所以函数y＝f(2x－3)的定义域为.
(2)y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－1≤x＋1≤4，令t＝x＋1，所以－1≤t≤4.所以f(t)的定义域为[－1，4]，即f(x)的定义域为[－1，4].要使f有意义，需使－1≤2x2－2≤4，所以－≤x≤－或≤x≤.所以函数y＝f的定义域为
.
【变式训练】
已知f(x)＝，x∈R.
(1)计算f(a)＋f的值．
(2)计算f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f的值．
【解析】(1)由于f(a)＝，
f＝，所以f(a)＋f＝1.
(2)方法一：因为f(1)＝＝，
f(2)＝＝，f＝＝，
f(3)＝＝，f＝＝，
f(4)＝＝，
f＝＝，
所以f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝＋＋＋＋＋＋＝.
方法二：由(1)知，f(a)＋f＝1，
则f(2)＋f＝f(3)＋f
＝f(4)＋f＝1，
即＋＋
[f(4)＋f()]＝3，
而f(1)＝，所以f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝.
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