高中数学北师大版（2019）必修 第一册：函数的表示法（含解析）

函数的表示法
　基础全面练　(20分钟　35分)
1．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f等于(　　)
A．1 B．3 C．15 D．30
3．已知f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值等于(　　)
A．8 B．1 C．5 D．－1
4．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位：元)由函数f(m)＝给出，其中[m]是不小于m的最小整数，例如[2]＝2，[1.21]＝2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为(　　)
A．3.71元 B．4.24元
C．4.7元 D．7.95元
5．已知f＝，那么f＝________．
6．(1)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝x2＋5x，求f(x)的解析式．
【变式训练】
1.已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间满足关系式t＝ax＋，当x＝2时，t＝100；当x＝4时，t＝53，且参加此项任务的人数不能超过8.
(1)写出t关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数；
(3)画出此函数的图像．
2．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值．
(2)画出函数的图像．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2021·无锡高一检测)已知函数f＝，若f＋f＝8，则实数a的值是(　　)
A． B．±或
C．或 D．－或
2．图1是淘宝网某商户出售某种产品的数量x与收支差额y(销售额－投入的费用)的图像，销售初期商户为亏损状态，为了实现扭亏为盈，实行了某种措施，图2为实行措施后的图像，则关于两个图像的说法正确的是(　　)
A.实行的措施可能是减少广告费用
B．实行的措施可能是提高商品售价
C．在B点处累计亏损最多
D．A点表明不出售商品则不亏损
3．f(x＋1)＝x2－5x＋4(x≥1)，则f(x)＝(　　)
A．f(x)＝x2－7x＋10(x≥2)
B．f(x)＝x2－7x－10(x≤2)
C．f(x)＝x2＋7x－10(x≥2)
D．f(x)＝x2－4x＋6(x≤2)
4．已知f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝8，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．2 C．±2 D．±3
5．已知函数f＝4x＋5，且f＝3，则a＝(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月交水费16m元，则该职工这个月实际用水量为________立方米．
7．已知函数f＝x2＋，则f(3)＝________．
8．已知实数a≠0，函数f(x)＝
若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元．
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算)，如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
10．已知f(x)＝(x≠2)，g(x)＝x＋4.
(1)求f(1)，g(1)的值．
(2)求f(g(1))，g(f(1))的值．
(3)求f(g(x))，g(f(x))的解析式．
创新练
1．下列所给4个图像中：(1)小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；(2)小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．与所给3件事吻合最好的顺序为(　　)
A．(4)(1)(2) B．(4)(2)(3)
C．(4)(1)(3) D．(1)(2)(4)
2．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km).
(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)
【变式训练】
定义min＝设函数f(x)＝min，则f(1)＝________；f(x)的最大值为________．
参考答案：
　基础全面练　(20分钟　35分)
1．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】选D.函数y＝x|x|＝
2．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f等于(　　)
A．1 B．3 C．15 D．30
【解析】选C.令1－2x＝t，则x＝(t≠1)，所以f(t)＝－1(t≠1)，即f(x)＝－1(x≠1)，所以f＝16－1＝15.
3．已知f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值等于(　　)
A．8 B．1 C．5 D．－1
【解题技巧】根据已知条件，令3x＋2＝2，求出x的值，然后代入即可求得答案．也可以用换元法求函数f(x)的解析式，再求a的值．
【解析】选B.方法一：因为f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，令3x＋2＝2，解得x＝0.
所以a＝2×0＋1＝1.
方法二：令2x＋1＝t，得x＝，由f(2x＋1)＝3x＋2，得f(t)＝3×＋2＝＋，由f(a)＝2，得＋＝2，解得a＝1.
4．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位：元)由函数f(m)＝给出，其中[m]是不小于m的最小整数，例如[2]＝2，[1.21]＝2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为(　　)
A．3.71元 B．4.24元
C．4.7元 D．7.95元
【解析】选B.依题意，[5.2]＝6，得f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋1)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24(元).
5．已知f＝，那么f＝________．
【解析】f(x)＝(x∈N)，
因为3<7，
所以f＝f＝f＝7－5＝2.
答案：2
6．(1)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝x2＋5x，求f(x)的解析式．
【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝1，所以c＝1，
又因为f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以有2ax＋a＋b＝2x，
所以解得
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)令＝t(t≠0)，则x＝，
因为f＝x2＋5x，
所以f(t)＝＋，
所以f(x)的解析式是f(x)＝＋(x≠0).
【变式训练】
1.已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间满足关系式t＝ax＋，当x＝2时，t＝100；当x＝4时，t＝53，且参加此项任务的人数不能超过8.
(1)写出t关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数；
(3)画出此函数的图像．
【解析】(1)因为当x＝2时，t＝100；
当x＝4时，t＝53，所以
解得所以t＝x＋.
又x≤8，x为正整数，所以此函数的定义域是{x|0所以所求函数解析式是t＝x＋(0(2)x＝1，2，3，4，5，6，7，8，列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
t 197 100 53 35
(3)此函数的图像如图所示：
2．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值．
(2)画出函数的图像．
【解题技巧】由于f(x)是分段函数，要求f(f(f(5)))，需要确定f(f(5))的取值范围，为此又需确定f(5)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解．画出函数在各段上的图像，再合并起来就是分段函数的图像．
【解析】(1)因为5>4，
所以f(5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f(f(f(5)))＝－1.
(2)函数图像如图所示：
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2021·无锡高一检测)已知函数f＝，若f＋f＝8，则实数a的值是(　　)
A． B．±或
C．或 D．－或
【解析】选D.当a>0时，
因为f＋f＝8，
所以2a＋1＋3×(－1)2－1＝8，解得a＝，
当a≤0时，因为f＋f＝8，所以3a2－1＋3×(－1)2－1＝8，解得a＝(舍去)，
或a＝－，综上a＝或a＝－.
2．图1是淘宝网某商户出售某种产品的数量x与收支差额y(销售额－投入的费用)的图像，销售初期商户为亏损状态，为了实现扭亏为盈，实行了某种措施，图2为实行措施后的图像，则关于两个图像的说法正确的是(　　)
A.实行的措施可能是减少广告费用
B．实行的措施可能是提高商品售价
C．在B点处累计亏损最多
D．A点表明不出售商品则不亏损
【解析】选B.由于出售某种产品的数量x与收支差额y(销售额－投入的费用)的图像为射线，不妨设函数解析式为y＝kx－1(k>0)，由于点A的位置不变，所以支出额不变，实行的措施可能是减少广告费用与题意不符，选项A不正确．实行的措施可能是提高商品售价，收支平衡点向左移动，故选项B正确．在B点处为收支平衡点，故选项C不正确．A点表明不出售商品则亏损最多，故选项D不正确．
3．f(x＋1)＝x2－5x＋4(x≥1)，则f(x)＝(　　)
A．f(x)＝x2－7x＋10(x≥2)
B．f(x)＝x2－7x－10(x≤2)
C．f(x)＝x2＋7x－10(x≥2)
D．f(x)＝x2－4x＋6(x≤2)
【解析】选A.因为f(x＋1)＝x2－5x＋4＝[(x＋1)－1]2－5[(x＋1)－1]＋4＝(x＋1)2－7(x＋1)＋10，令t＝x＋1(t≥2)，则f(t)＝t2－7t＋10(t≥2)，即f(x)＝x2－7x＋10(x≥2).
4．已知f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝8，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．2 C．±2 D．±3
【解析】选C.因为f(x)＝f(a)＋f(－1)＝8，所以f(－1)＝2×(－1)2－1＝1，所以f(a)＝8－1＝7，当a>0时，f(a)＝3a＋1＝7，解得a＝2，当a<0时，f(a)＝2a2－1＝7，解得a＝－2或a＝2(舍)，综上，实数a的值为±2.
5．已知函数f＝4x＋5，且f＝3，则a＝(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【解析】选A.因为f＝4x＋5＝2(2x＋3)－1，所以f＝2x－1，又f＝3，所以2a－1＝3，解得a＝2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月交水费16m元，则该职工这个月实际用水量为________立方米．
【解析】设该单位职工每月应交水费为y元，实际用水量为x立方米，
则y＝由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
答案：13
7．已知函数f＝x2＋，则f(3)＝________．
【解析】因为f＝x2＋＝＋2，所以f(x)＝x2＋2，所以f(3)＝32＋2＝11.
答案：11
8．已知实数a≠0，函数f(x)＝
若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
【解析】①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，
得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，
计算得a＝－(舍去)；
②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，
得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，
计算得a＝－，符合题意，
所以综上所述，a＝－.
答案：－
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元．
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算)，如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
【解题技巧】本题是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．由于里程在不同的范围内，票价有不同的计算方法，故此函数是分段函数．
【解析】设里程为x千米时，票价为y元，根据题意得x∈(0，20].由公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式： y＝根据这个函数解析式，可画出函数图像，如图所示．
10．已知f(x)＝(x≠2)，g(x)＝x＋4.
(1)求f(1)，g(1)的值．
(2)求f(g(1))，g(f(1))的值．
(3)求f(g(x))，g(f(x))的解析式．
【解析】(1)f(x)＝，g(x)＝x＋4，
所以f(1)＝＝1，g(1)＝1＋4＝5.
(2)f(g(1))＝f(5)＝＝－，
g(f(1))＝g(1)＝1＋4＝5.
(3)f(x)＝，g(x)＝x＋4，f(g(x))＝f(x＋4)＝＝(x≠－2)，g(f(x))＝g＝＋4(x≠2).
创新练
1．下列所给4个图像中：(1)小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；(2)小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．与所给3件事吻合最好的顺序为(　　)
A．(4)(1)(2) B．(4)(2)(3)
C．(4)(1)(3) D．(1)(2)(4)
【解析】选A.(1)离开家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应选图像(4)；
(2)骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图像(1)；
(3)最后加速，其距离变化随时间的变化关系是越来越快，故应选图像(2).
故顺序为：(4)(1)(2).
2．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km).
(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)
【解析】(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为
f(x)＝
＝
(2)只乘一辆车的车费为f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；
换乘两辆车的车费为2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元).
因为40.3>38.8，所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．
【变式训练】
定义min＝设函数f(x)＝min，则f(1)＝________；f(x)的最大值为________．
【解析】函数f(x)＝min{－x2＋2x＋5，x＋3}表示y＝－x2＋2x＋5，y＝x＋3取小．
画出y＝－x2＋2x＋5，y＝x＋3在同一坐标系的图像如图所示．联立y＝－x2＋2x＋5，y＝x＋3得A，B，则f(x)的最大值为5，f＝4.
答案：4　5
PAGE