高中数学北师大版（2019）必修第一册：二次函数的图像（含解析）

二次函数的图像
基础全面练　(20分钟　35分)
1．二次函数y＝x2－4x－7的顶点是(　　)
A．(2，11)　 B．(－2，7)
C．(2，－11)　 D．(2，－3)
2．二次函数y＝x2＋ax＋b，若a＋b＝0，则它的图像必经过点(　　)
A．(－1，－1) B．(1，－1)
C．(1，1) D．(－1，1)
3．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是(　　)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
4．y＝x(1－2x)的最大值为________．
5．已知二次函数的图像经过点(1，4)，且与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)，则该函数的解析式是__________.
6．已知二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，图像过原点，求g(x)的解析式．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列二次函数的图像通过平移能与二次函数y＝x2－2x－1的图像重合的是(　　)
A．y＝2x2－x＋1 B．y＝x2＋2x＋1
C．y＝x2－2x－1 D．y＝x2＋2x＋1
2．设abc>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
3．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，f(m)＜0，则f(m＋1)的值为(　　)
A．正数 B．负数
C．0 D．符号与a有关
4．将二次函数y＝x2－4x＋a的图像向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度．若得到的函数图像与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是(　　)
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5
5．函数y＝1－|x－x2|的图像大致是(　　)
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1的图像，则b＝________，c＝________．
【变式训练】
要得到函数f＝3x2＋30x＋73的图像，只需将函数y＝3x2的图像(　　)
A．向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
7．将二次函数y＝x2＋2x＋8的顶点移到(－2，3)后，得到函数的解析式为________．
8．函数y＝x2－2x＋3在区间[m，4]上的最小值为2，最大值为11，则实数m的取值范围是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1，13)和(2，28)，求二次函数f(x)的解析式．
10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)且x＋x＝，试问该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位长度得到的？
创新练
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则点(a，c)在(　　)
A.第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知二次函数f(x)的图像顶点为A(1，16)，且图像在x轴上截得线段长为8.
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)当x∈[0，2]时，关于x的函数g(x)＝f(x)－(t－x)x－3的图像始终在x轴上方，求实数t的取值范围．
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．二次函数y＝x2－4x－7的顶点是(　　)
A．(2，11)　 B．(－2，7)
C．(2，－11)　 D．(2，－3)
【解析】选C.因为y＝x2－4x－7＝(x－2)2－11，所以其顶点坐标为(2，－11).
2．二次函数y＝x2＋ax＋b，若a＋b＝0，则它的图像必经过点(　　)
A．(－1，－1) B．(1，－1)
C．(1，1) D．(－1，1)
【解析】选C.因为a＋b＝0，所以f(1)＝1＋a＋b＝1，即函数图像过点(1，1).
3．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是(　　)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
【解析】选A.二次函数的图像顶点在x轴上，故Δ＝0，可得t＝－4.
4．y＝x(1－2x)的最大值为________．
【解析】依题意y＝－2x2＋x＝－2
＝－2＋，故当x＝时，函数取得最大值为.
答案：
5．已知二次函数的图像经过点(1，4)，且与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)，则该函数的解析式是__________.
【解析】设函数的解析式为f(x)＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，将点(1，4)代入，得a＝－1.
则f(x)＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.
答案：f(x)＝－x2＋2x＋3
6．已知二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，图像过原点，求g(x)的解析式．
【解析】由题意设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，
所以解得
所以g(x)＝3x2－2x.
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列二次函数的图像通过平移能与二次函数y＝x2－2x－1的图像重合的是(　　)
A．y＝2x2－x＋1 B．y＝x2＋2x＋1
C．y＝x2－2x－1 D．y＝x2＋2x＋1
【解析】选B.因为图像经过平移后能与二次函数y＝x2－2x－1的图像重合，所以开口相等，即a＝1.
2．设abc>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
【解析】选D.A中，图象开口向下，a<0，对称轴－<0，所以b<0，又当x＝0时，c<0，所以abc<0，不符合题意；B中，a<0，－>0，f(0)＝c>0，所以a<0，b>0，c>0，abc<0，不符合题意；C中，a>0，－<0，当x＝0时，c<0，所以a>0，b>0，c<0，abc<0，不符合题意；D中a>0，－>0，当x＝0时，c<0，所以a>0，b<0，c<0，abc>0，符合题意．
3．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，f(m)＜0，则f(m＋1)的值为(　　)
A．正数 B．负数
C．0 D．符号与a有关
【解析】选A.方法一：抛物线y＝x2＋x在x轴以下时，－10，所以f(x)图像由函数y＝x2＋x的图像向上平移a个单位长度，所以小于零的区间长会小于1，又因为f(m)<0，则－10，如图．
所以m＋1一定跨出了小于零的区间，
所以f(m＋1)一定是正数．
方法二：由f(x)＝x2＋x＋a(a>0)且f(m)<0，
得m2＋m＋a<0 m2＋m<－a<0 m(m＋1)<0.
因为 m<0 m＋1>0，
所以f(m＋1)＝(m＋1)2＋(m＋1)＋a>0.
4．将二次函数y＝x2－4x＋a的图像向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度．若得到的函数图像与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是(　　)
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5
【解析】选D.因为y＝x2－4x＋a＝(x－2)2－4＋a，所以将二次函数y＝x2－4x＋a的图像向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式为y＝(x－2＋1)2－4＋a＋1，即y＝x2－2x＋a－2，
将y＝2代入，得2＝x2－2x＋a－2，即x2－2x＋a－4＝0，由题意，得Δ＝4－4(a－4)＞0，解得a＜5.
5．函数y＝1－|x－x2|的图像大致是(　　)
【解析】选C.当x＝－1时，y＝1－|－1－1|＝－1，排除A，D；当x＝2时，y＝1－|2－4|＝－1排除B.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1的图像，则b＝________，c＝________．
【解题技巧】按照平移的原则“左加右减，上加下减”，逐步平移即可求出结果．
【解析】二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的函数为y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3，整理得y＝x2＋(b＋4)x＋7＋2b＋c，又y＝x2－2x＋1，则解得所以b＝－6，c＝6.
答案：－6　6
【变式训练】
要得到函数f＝3x2＋30x＋73的图像，只需将函数y＝3x2的图像(　　)
A．向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度
【解析】选A.f＝3x2＋30x＋73＝3(x2＋10x＋25)－2＝32－2，故由y＝3x2向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．
7．将二次函数y＝x2＋2x＋8的顶点移到(－2，3)后，得到函数的解析式为________．
【解析】因为二次函数y＝x2＋2x＋8的顶点为(－1，7)，所以要将其顶点移到(－2，3)，只要把图像向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度即可，所以平移后的函数解析式为y＝(x＋1)2＋2(x＋1)＋8－4，即y＝x2＋4x＋7.
答案：y＝x2＋4x＋7
8．函数y＝x2－2x＋3在区间[m，4]上的最小值为2，最大值为11，则实数m的取值范围是________．
【解析】因为y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以当x＝1时，最小值为2，所以m≤1，又因为当x2－2x＋3＝11时，x＝4或－2，再结合图象可知m∈[－2，1].
答案：[－2，1]
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1，13)和(2，28)，求二次函数f(x)的解析式．
【解析】因为二次函数f(x)图像的对称轴是直线x＝－1，所以可设f(x)＝a(x＋1)2＋k(a≠0)，由题意得f(1)＝13，f(2)＝28，
则解得
所以f(x)＝3(x＋1)2＋1，
即f(x)＝3x2＋6x＋4.
10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)且x＋x＝，试问该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位长度得到的？
【解析】由题意可设所求抛物线的解析式为
y＝－3(x－1)2＋k，展开得y＝－3x2＋6x－3＋k，由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，得
4－＝，解得k＝.
所以，该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移个单位长度得到的．
创新练
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则点(a，c)在(　　)
A.第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选D.根据图像可知c<0，又因为开口向上，所以a>0，故点(a，c) 在第四象限．
2．已知二次函数f(x)的图像顶点为A(1，16)，且图像在x轴上截得线段长为8.
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)当x∈[0，2]时，关于x的函数g(x)＝f(x)－(t－x)x－3的图像始终在x轴上方，求实数t的取值范围．
【解析】(1)因为f(x)图像顶点为(1，16)，
所以设f(x)＝a(x－1)2＋16(a≠0)，
则f(x)＝ax2－2ax＋a＋16.
设ax2－2ax＋a＋16＝0的两根为x1，x2，
则
又因为|x1－x2|＝8，
所以(x1＋x2)2－4x1x2＝64.
所以4－4·＝64，即a＝－1.
因此f(x)＝－x2＋2x＋15.
(2)g(x)＝f(x)－(t－x)x－3
＝－x2＋2x＋15－tx＋x2－3
＝(2－t)x＋12，
若g(x)在[0，2]上的图像始终在x轴上方，
则只需g(x)min＞0.
故
即
解得t＜8.
因此t的取值范围是(－∞，8).
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