高中数学北师大版（2019）必修 第一册：函数的单调性（含解析）

函数的单调性
基础全面练　(20分钟　35分)
1．函数y＝的单调减区间是(　　)
A.(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C.{x∈R|x≠1} D．R
【变式训练】
若函数f(x)＝在(－∞，－1)上是减少的，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
2．函数y＝在(0，＋∞)上是增加的，则k的取值范围是(　　)
A．k≥0 B．k≤0 C．k>0 D．k<0
3．给出下列4个命题：
①若函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(1)②若函数y＝f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则f(a2＋1)③函数f(x)＝在其定义域上是减函数；
④函数f(x)＝x＋在[1，2]内的最小值为2，最大值为；其中真命题有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．函数f(x)＝在[3，6]上的最小值是________，最大值是________.
5．若f(x)＝且f(2－a)6．设函数f(x)＝2－.
(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性并加以证明．
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．关于函数f(x)＝，下列命题：
①函数在定义域内是减函数；
②函数有两个单调区间，且单调性不相同；
③函数在(－∞，0)上单调递减；
④函数的单调区间为(－∞，0)∪(0，＋∞).其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数f(x)＝－2x在区间上的最小值为(　　)
A．1 B． C．－ D．－1
3．函数y＝在区间[2，5)上的最大值，最小值分别是(　　)
A．无最大值，最小值是4
B．4，
C．最大值是4，无最小值
D．4，0
4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则实数a的值为(　　)
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
5．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增加的，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，2]
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f(x)＝，则以下结论：①函数最小值为－2，没有最大值；②函数在区间(1，＋∞)上单调递增；③函数的单调区间有4个，其中单调递增区间和单调递减区间各有2个；④函数的单调递减区间为(－∞，0]∪[1，2].其中正确结论的编号为________．
【变式训练】
对a，b∈R，记max{a，b}＝
函数f(x)＝max{x＋1，3－x}(x∈R)的最小值是________.
7．已知函数f(x)是定义在(－3，3)上的增函数，且f(2m)8．已知函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值．
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
10．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值．
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【变式训练】
已知函数f(x)＝x2－2ax＋3a2－1(a>0，0≤x≤1).
(1)求函数f(x)的最大值G(a)和最小值g(a).
(2)若f(x)的最小值是－，求其最大值．
创新练
已知≤a≤1，若f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a).
(1)求函数g(a)的解析式．
(2)判断函数g(a)在区间上的单调性，并求g(a)的最小值．
【变式训练】
　 　若函数f(x)＝|x－2|(x－4)在区间(5a，4a＋1)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．函数y＝的单调减区间是(　　)
A.(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C.{x∈R|x≠1} D．R
【解析】选A.单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．
【变式训练】
若函数f(x)＝在(－∞，－1)上是减少的，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
【解析】选B.因为f(x)＝＝1＋在(－∞，－1)上是减少的，所以－a－1>0，即a<－1.
2．函数y＝在(0，＋∞)上是增加的，则k的取值范围是(　　)
A．k≥0 B．k≤0 C．k>0 D．k<0
【解析】选D.当k>0时，由函数y＝的图像可知，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当k<0时，由y＝的图像可知，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．
3．给出下列4个命题：
①若函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(1)②若函数y＝f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则f(a2＋1)③函数f(x)＝在其定义域上是减函数；
④函数f(x)＝x＋在[1，2]内的最小值为2，最大值为；其中真命题有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选C.①在函数单调性的定义中，x1，x2具有任意性，不能仅凭区间内有限个函数值的大小关系判断函数单调性，①错误；
②因为a2＋1>a2，又y＝f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，所以f(a2＋1)③取x1＝－1，x2＝1，因为f(－1)＝－1，f(1)＝1，
所以f(－1)4．函数f(x)＝在[3，6]上的最小值是________，最大值是________.
【解析】因为f(x)＝＝
＝3－，
所以f(x)在区间(－1，＋∞)上是增加的，
所以f(x)在[3，6]上也是增加的，
所以f(x)min＝f(3)＝，f(x)max＝f(6)＝.
答案：　
5．若f(x)＝且f(2－a)【解析】由函数f(x)解析式可得，当x>1时，f(x)递减；当x≤1时，f(x)递减，且f(1)＝1，故f(x)在R上是减函数．
由f(2－a)3a，解得a<，
即实数a的取值范围为.
答案：
6．设函数f(x)＝2－.
(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性并加以证明．
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．
【解析】(1)函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
证明如下：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝.
因为00，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
(2)由(1)知函数f(x)在上是增加的，所以函数f(x)的最小值为f(x)min＝f(2)＝2－＝，函数f(x)的最大值为f(x)max＝f(5)＝2－＝.
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．关于函数f(x)＝，下列命题：
①函数在定义域内是减函数；
②函数有两个单调区间，且单调性不相同；
③函数在(－∞，0)上单调递减；
④函数的单调区间为(－∞，0)∪(0，＋∞).其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)＝＝，定义域区间不连续，结论①，④错误；在(－∞，0)上函数单调递增，结论③错误；函数在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，结论②正确，所以正确选项为A.
2．函数f(x)＝－2x在区间上的最小值为(　　)
A．1 B． C．－ D．－1
【解析】选D.函数f(x)＝－2x在区间上是递减的，所以f(x)在区间上的最小值在x＝－处取得，
f＝－2×＝－1.
3．函数y＝在区间[2，5)上的最大值，最小值分别是(　　)
A．无最大值，最小值是4
B．4，
C．最大值是4，无最小值
D．4，0
【解析】选C.函数y＝＝1＋在[2，5)上是递减的，即在x＝2时取最大值f(2)＝＝4；x＝5时取不到，故无最小值．
4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则实数a的值为(　　)
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
【解析】选C.设任意的x1，x2满足2则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x2－x1).
因为x2－x1>0，所以当20，函数f(x)＝x＋为减函数；
当x2>x1>3时，f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)＝x＋为增函数，所以函数f(x)＝x＋在x＝3处取得最小值，故a＝3.
【误区】本题易犯的错误为找不到f(x)的单调区间，从而确定不了何时取得最小值．
5．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增加的，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，2]
【解析】选D.由题意，函数f(x)＝x2－2mx＋1，开口向上，其对称轴x＝m，因为f(x)在[2，＋∞)上是增加的，所以m≤2，即实数m的取值范围为(－∞，2].
【解题技巧】选D.本题可以采用代值验证的方法．当m＝0时，f(x)＝x2＋1对称轴为x＝0，符合题意，排除B，C；当m＝2时，f(x)＝x2－4x＋1对称轴为x＝2，符合题意，排除A.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f(x)＝，则以下结论：①函数最小值为－2，没有最大值；②函数在区间(1，＋∞)上单调递增；③函数的单调区间有4个，其中单调递增区间和单调递减区间各有2个；④函数的单调递减区间为(－∞，0]∪[1，2].其中正确结论的编号为________．
【解析】画出函数的图象(图略)，得函数最小值为－2，没有最大值，在区间(－∞，0]和[1，2]上函数单调递减，在区间(0，1)和(2，＋∞)上函数单调递增，结论①③正确．
答案：①③
【变式训练】
对a，b∈R，记max{a，b}＝
函数f(x)＝max{x＋1，3－x}(x∈R)的最小值是________.
【解析】函数f(x)的图像如图(实线部分)所示，
故f(x)的最小值为2.
答案：2
7．已知函数f(x)是定义在(－3，3)上的增函数，且f(2m)【解析】因为函数f(x)是定义在(－3，3)上的增函数，且f(2m)答案：
8．已知函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】要使f(x)是在R上的减函数，
需满足
即1≤a≤3，故实数a的取值范围是.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值．
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
【解析】(1)由a＝－1，可得f(x)＝x2－2x＋2，
得对称轴x＝1，因为开口向上，1∈[－5，5]，
所以f(x)min＝f(1)＝12－2×1＋2＝1，
因为|－5－1|>|5－1|，依据抛物线的对称性，
可得f(x)max＝f(－5)＝(－5)2－2×(－5)＋2＝37.
(2)因为对称轴为x＝－a.
当－a≥5即a≤－5时，如图1，根据二次函数的单调性，y＝f(x)是减少的；当－a≤－5即a≥5时，如图2，根据二次函数的单调性，y＝f(x)是增加的．综上所述，当a∈(－∞，－5]或[5，＋∞)时，y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
10．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值．
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝时，
f(x)＝＝x＋＋2.
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·<0，所以f(x1)(2)依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上是递增的，知当x＝1时，y取得最小值3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时f(x)>0在[1，＋∞)上恒成立．故实数a的取值范围为(－3，＋∞).
【变式训练】
已知函数f(x)＝x2－2ax＋3a2－1(a>0，0≤x≤1).
(1)求函数f(x)的最大值G(a)和最小值g(a).
(2)若f(x)的最小值是－，求其最大值．
【解析】(1)函数解析式为f(x)＝x2－2ax＋3a2－1＝(x－a)2＋2a2－1，
因为a＞0，当a≥1时，由于f(x)在[0，1]上是减少的，故f(x)的最大值为f(0)＝3a2－1，最小值为f(1)＝3a2－2a；
当0＜a＜1时，f(x)的最小值为f(a)＝2a2－1，f(x)的最大值为f(0)，f(1)中的较大者．
若f(0)＜f(1)，则3a2－1＜3a2－2a，解得a＜，所以当0＜a＜时f(x)的最大值为f(1)＝3a2－2a；当≤a＜1时，f(x)的最大值为f(0)＝3a2－1.
综上所述，
G(a)＝
g(a)＝
(2)由题意，得 a＝或此时无解．
由于0＜＜，
故此时f(x)的最大值为f(1)＝－.
创新练
已知≤a≤1，若f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a).
(1)求函数g(a)的解析式．
(2)判断函数g(a)在区间上的单调性，并求g(a)的最小值．
【解析】(1)因为≤a≤1，所以函数f(x)的图像为开口向上的抛物线，
且对称轴为x＝∈[1，3].
所以f(x)有最小值N(a)＝f()＝1－.
当2≤≤3，即a∈时，
f(x)有最大值M(a)＝f(1)＝a－1；
当1≤＜2，即a∈时，
f(x)有最大值M(a)＝f(3)＝9a－5；
所以g(a)＝
(2)设≤a1则g(a1)－g(a2)＝(a1－a2)>0，
所以g(a1)>g(a2)，
所以g(a)在上是减少的．
设(a1－a2)<0，所以g(a1)所以g(a)在上是增加的．
所以当a＝时，g(a)有最小值.
【变式训练】
　 　若函数f(x)＝|x－2|(x－4)在区间(5a，4a＋1)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
【解析】函数f(x)＝|x－2|(x－4)＝作出函数图像．Ｋ
　
由图像可得函数的增区间为(－∞，2)和(3，＋∞)，减区间为(2，3).
　因为函数在(5a，4a＋1)上是递减的，所以(5a，4a＋1) (2，3)所以
解得≤a≤，
即实数a的取值范围为.
答案：
PAGE