高中数学北师大版（2019）必修 第一册：指数函数及其性质的应用（含解析）

指数函数及其性质的应用
基础全面练　(20分钟　35分)
1．(2021·鹰潭高一检测)已知函数f(x)＝3－ax＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(0，3) B．(－1，2)
C．(－1，3) D．(3，－1)
【变式训练】
函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1　　 B．ex－1
C．e－x＋1　　 D．e－x－1
2．y＝|2x－2|的图像是(　　)
3．若指数函数f(x)＝ax在区间[0，2]上的最大值和最小值之和为10，则a的值为(　　)
A． B．3
C．±3 D．±
4．若函数f(x)＝a－为奇函数，则实数a＝________．
5．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是，则a＋b＝________．
6．函数f(x)＝的定义域为集合A，关于x的不等式>2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝－ex的图像(　　)
A．与y＝ex的图像关于y轴对称
B．与y＝ex的图像关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图像关于y轴对称
D．与y＝e－x的图像关于坐标原点对称
2．已知函数y＝f(x)＝若f(a－1)≥f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
3．函数f(x)＝的递增区间是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
5．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－2m)4－x－2－x＋3<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0，2] B．(1－，1＋)
C．[1－，1＋] D．[－2，4]
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知不等式>对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________．
【变式训练】
函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0，1)　　　　　　B．
C． D．
7．已知函数f(x)＝＋b，且函数图像不经过第一象限，则b的取值范围是________．
8．函数y＝的值域为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数a的值．
(2)用定义证明f(x)在R上是减函数．
10．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的图像过点(0，－2)，(2，0).
(1)求a与b的值．
(2)求x∈[－1，2]时，求f(x)的最大值与最小值．
(3)求使f(x)>0成立的x的取值范围．
创新练
　已知函数f(x)＝a2－x(a＞0且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数
D．当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数
【变式训练】
一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3 min自身复制一次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64 MB(1 MB＝210 KB)内存需要经过的时间为多少分钟？
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．(2021·鹰潭高一检测)已知函数f(x)＝3－ax＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(0，3) B．(－1，2)
C．(－1，3) D．(3，－1)
【解析】选B.因为y＝ax的图象恒过定点(0，1)，
所以y＝－ax的图象过定点(0，－1)，
则由函数的图象平移可得f(x)＝3－ax＋1的图象恒过定点P(－1，2).
【变式训练】
函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1　　 B．ex－1
C．e－x＋1　　 D．e－x－1
【解题技巧】把上述变换过程逆过来，求出y＝ex关于y轴对称的函数，再向左平移1个单位长度得到f(x).
【解析】选D.与y＝ex关于y轴对称的函数应该是y＝e－x，则f(x)可由y＝e－x向左平移1个单位长度得到，所以f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
2．y＝|2x－2|的图像是(　　)
【解析】选B.y＝2xy＝2x－2
y＝|2x－2|.
3．若指数函数f(x)＝ax在区间[0，2]上的最大值和最小值之和为10，则a的值为(　　)
A． B．3
C．±3 D．±
【解析】选B.因为指数函数f(x)＝ax在区间[0，2]上单调，且f(0)＝1，f(2)＝a2，
即1＋a2＝10，解得a＝±3，
又a>0，a≠1，所以a＝3.
4．若函数f(x)＝a－为奇函数，则实数a＝________．
【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.
答案：
5．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是，则a＋b＝________．
【解析】①当a>1时，根据指数函数单调性可知：y＝ax是单调递增函数，
所以此时f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)单调递增，
可得：f(0)＝1＋b＝0，解得b＝－1，
f＝a－1＝－，即a＝，
解得a＝4.所以a＋b＝3.
②当00，a≠1)单调递减，
可得：f(0)＝1＋b＝－，解得：b＝－，
f＝a－＝0，即a＝，
解得：a＝，所以a＋b＝－；
综上所述，a＋b＝3或a＋b＝－.
答案：3或－
6．函数f(x)＝的定义域为集合A，关于x的不等式>2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．
【解析】由≥0，解得x≤－2或x>1，
于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，
>2－a－x >
2x所以B＝(－∞，a).
因为A∩B＝B，所以B A，
所以a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2].
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝－ex的图像(　　)
A．与y＝ex的图像关于y轴对称
B．与y＝ex的图像关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图像关于y轴对称
D．与y＝e－x的图像关于坐标原点对称
【解析】选D.y＝ex的图像与y＝－ex的图像关于x轴对称，y＝－ex的图像与y＝e－x的图像关于坐标原点对称．
2．已知函数y＝f(x)＝若f(a－1)≥f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选A.
当x≤0时，f(x)＝3－x单调递减，且f(x)≥1，当x>0时，f(x)＝－x2－2x＋1的对称轴为x＝－1，
抛物线开口向下，
此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(x)<1，
综上f(x)是减函数，若f(a－1)≥f(－a)，
则a－1≤－a，即a≤，
则实数a的取值范围是.
3．函数f(x)＝的递增区间是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】选B.由x2－2x＋3＞0恒成立可知函数的定义域为R，
又因为函数y＝x2－2x＋3在(－∞，1]上递减，
所以函数y＝在(－∞，1]上递减，
所以函数f(x)＝在(－∞，1]上递增，
所以函数f(x)＝的递增区间是(－∞，1].
4．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.要使函数f(x)＝
是(－∞，＋∞)上的增函数，需解得0【误区】已知分段函数单调性求参数取值范围时，容易漏掉端点处需满足的大小关系．
5．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－2m)4－x－2－x＋3<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0，2] B．(1－，1＋)
C．[1－，1＋] D．[－2，4]
【解析】选A.因为(m2－2m)4－x－2－x＋3<0，
所以<，
等式两边同乘4x得：m2－2m<8·2x，
因为函数y＝2x在(－∞，－1]上是增加的，所以0<2x≤，当x∈(－∞，－1]时，m2－2m<8·2x恒成立等价于m2－2m≤0，故0≤m≤2.
【解题技巧】选A.代值验证：m＝－1时，3×4－x－2－x＋3＝3×(2－x)2－8×2－x＝3×－，因为x≤－1，所以2－x≥2，所以原式≥3×－＝－4与(m2－2m)4－x－2－x＋3<0恒成立矛盾．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知不等式>对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________．
【解析】不等式等价为 >，
即x2＋x＜2x2－mx＋m＋4恒成立，所以x2－(m＋1)x＋m＋4＞0恒成立，即Δ＝(m＋1)2－4(m＋4)＜0，即m2－2m－15＜0，解得－3＜m＜5.
答案：－3＜m＜5
【变式训练】
函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0，1)　　　　　　B．
C． D．
【解析】选B.由单调性定义，f(x)为减函数应满足：即≤a＜1.
7．已知函数f(x)＝＋b，且函数图像不经过第一象限，则b的取值范围是________．
【解析】函数f(x)＝＋b为减函数，且图像不经过第一象限，
所以f(0)＝2＋b≤0，即b≤－2，
故b的取值范围为(－∞，－2].
答案：(－∞，－2]
8．函数y＝的值域为________．
【解析】设t＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
则y＝为减函数，
所以y＝≥＝，
所以函数y＝的值域为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数a的值．
(2)用定义证明f(x)在R上是减函数．
【解析】(1)因为f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0得，a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝＝－1＋，
任取x1，x2∈R，且x1－
＝，
因为x10，2x2>0.
从而f(x2)－f(x1)<0，
即f(x1)>f(x2)，故f(x)在R上是减函数．
10．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的图像过点(0，－2)，(2，0).
(1)求a与b的值．
(2)求x∈[－1，2]时，求f(x)的最大值与最小值．
(3)求使f(x)>0成立的x的取值范围．
【解析】(1)因为函数图像过点(0，－2)和点(2，0)，所以将点(0，－2)和点(2，0)代入f(x)，
得解得(舍去a＝－)，
故a＝，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝()x－3，
指数函数的底数>1，
所以该函数在定义域内为增函数，
即当x∈[－1，2]时，f(x)递增，
所以f(x)min＝f(－1)＝－3，
f(x)max＝f(2)＝0.
(3)由f(x)>0，可得()x－3>0，
即()x>3＝()2，
因为y＝()x是增函数，所以解得x>2.
所以使f(x)>0成立的x的取值范围是(2，＋∞).
创新练
　已知函数f(x)＝a2－x(a＞0且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数
D．当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数
【解析】选A.令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x＞2时，f(x)＞1，所以当t＜0时，at＞1.所以0＜a＜1，所以f(x)在R上是增函数．
【变式训练】
一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3 min自身复制一次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64 MB(1 MB＝210 KB)内存需要经过的时间为多少分钟？
【解析】设开机x min后，该病毒占据y KB内存，由题意，得y＝2×2＝2.令y＝2＝64×210，又64×210＝26×210＝216，所以有＋1＝16，解得x＝45.
答：该病毒占据64 MB内存需要经过的时间为45 min.
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