高中数学北师大版（2019）必修 第一册：指数函数的图像和性质（含解析）

指数函数的图像和性质
基础全面练　(20分钟　35分)
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b＝(　　)
A．不确定 B．0
C．1 D．2
2．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－1或a≥0 B．a<－1或a>0
C．－1≤a≤0 D．－13．函数y＝(a－2)x在R上为增函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>0且a≠1 B．a>3
C．a<3 D．24．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　　)
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
5．若，则实数a的取值范围是________．
6．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，求实数a的值．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝(　　)
A． B． C．1 D．2
2．已知函数y＝ax－2＋3(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，点P在幂函数y＝f(x)的图像上，则f＝(　　)
A． B．9 C． D．3
3．若－1＜x＜0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．5－x＜5x＜ B．5x＜＜5－x
C．5x＜5－x＜ D．＜5－x＜5x
4．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增加的
B．是偶函数，且在R上是增加的
C．是奇函数，且在R上是减少的
D．是偶函数，且在R上是减少的
5．已知函数f(x)＝ax－4＋1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点P，若定点P在幂函数g(x)的图像上，则幂函数g(x)的图像是(　　)
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数y＝ax－1＋3(a>0，a≠1)恒过定点P，如果点P是函数f(x)＝x2＋bx＋c的顶点，那么b，c的值分别为________，________．
7．三个数，，中，最大的是______，最小的是________．
8．若函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．求a，b的值．
10．函数f(x)＝(ax＋a－x)(a＞0，且a≠1)的图像经过点.
(1)求f(x)的函数解析式．
(2)求证：f(x)在[0，＋∞)上是增加的．
创新练
　某乡镇目前人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．
【变式训练】
已知f(x)＝2|x－1|.
(1)求f(x)的最小值．
(2)求f(x)的单调区间．
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b＝(　　)
A．不确定 B．0
C．1 D．2
【解析】选C.因为函数y＝a·2x是指数函数，所以a＝1；由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
2．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－1或a≥0 B．a<－1或a>0
C．－1≤a≤0 D．－1【解析】选C.因为函数y＝f(x)的定义域为R，
所以2－1≥0，得2≥1恒成立，
得x2＋2ax－a≥0恒成立，
即判别式Δ＝4a2＋4a≤0，
则a(a＋1)≤0，得－1≤a≤0.
3．函数y＝(a－2)x在R上为增函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>0且a≠1 B．a>3
C．a<3 D．2【解析】选B.由指数函数单调性知，底数大于1时为增函数，所以a－2>1，所以a>3.
4．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　　)
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
【解析】选D.y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝＝21.5，又因为1.8＞1.5＞1.44且y＝2x为增函数，所以y1＞y3＞y2.
5．若，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为函数y＝单调递减，所以a2－2>3－4a，即a2＋4a－5>0，解得a<－5或a>1.
答案：∪
6．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，求实数a的值．
【解析】当0则无解；
当a>1时，f(x)是增函数，
则解得a＝.综上，a＝．
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝(　　)
A． B． C．1 D．2
【解析】选A.因为f(－1)＝2－(－1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝4a＝1，所以a＝.
2．已知函数y＝ax－2＋3(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，点P在幂函数y＝f(x)的图像上，则f＝(　　)
A． B．9 C． D．3
【解析】选A.因为函数y＝ax－2＋3(a>0，且a≠1)的图像恒过定点P，
所以当x－2＝0时，y＝4，得定点P(2，4)；
因为点P在幂函数f(x)的图像上，
设f(x)＝xα，则f(2)＝2α＝4，所以α＝2；
所以f(x)＝x2，f＝.
3．若－1＜x＜0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．5－x＜5x＜ B．5x＜＜5－x
C．5x＜5－x＜ D．＜5－x＜5x
【解析】选B.因为－1＜x＜0，所以5x＜1，＞1.又－1＜x＜0时，＜，即＜5－x，所以5x＜＜5－x.
4．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增加的
B．是偶函数，且在R上是增加的
C．是奇函数，且在R上是减少的
D．是偶函数，且在R上是减少的
【解析】选A.f(x)的定义域为R，
f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，
则f(x)为奇函数．y＝3x在R上是增加的，y＝在R上是减少的，则f(x)＝3x－在R上是增加的．
5．已知函数f(x)＝ax－4＋1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点P，若定点P在幂函数g(x)的图像上，则幂函数g(x)的图像是(　　)
【解析】选A.函数f(x)＝ax－4＋1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点P(4，2)，设g(x)＝xα，因为幂函数g(x)过定点P(4，2)，所以4α＝2，所以α＝，所以g(x)＝x，对应图像为A.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数y＝ax－1＋3(a>0，a≠1)恒过定点P，如果点P是函数f(x)＝x2＋bx＋c的顶点，那么b，c的值分别为________，________．
【解题技巧】根据函数图像平移法则确定点P，再将P点代入f(x)＝x2＋bx＋c，结合对称轴表达式进行求解即可．
【解析】因为y＝ax(a>0且a≠1)恒过(0，1)点，
所以y＝ax－1＋3(a>0且a≠1)恒过(1，4)点，
又因为(1，4)为f(x)＝x2＋bx＋c的顶点，
满足解得
答案：－2　5
7．三个数，，中，最大的是______，最小的是________．
【解析】因为函数y＝在R上是减函数，
所以＞，又在y轴右侧函数y＝的图象始终在函数y＝的图象的下方，所以＞，即＞＞．
答案：　
8．若函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为________．
【解析】由ax－1≥0，得ax≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0＜a＜1.
答案：(0，1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．求a，b的值．
【解析】因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.
又由f(－1)＝－f(1)，得＝－，
解得a＝2.
10．函数f(x)＝(ax＋a－x)(a＞0，且a≠1)的图像经过点.
(1)求f(x)的函数解析式．
(2)求证：f(x)在[0，＋∞)上是增加的．
【解析】(1)因为f(x)的图像经过点，
所以(a2＋a－2)＝，即9a4－82a2＋9＝0，
解得a2＝9或a2＝.
因为a＞0，且a≠1，所以a＝3或.当a＝3时，f(x)＝(3x＋3－x)；当a＝时，f(x)＝＝(3x＋3－x).
所以所求解析式为f(x)＝(3x＋3－x).
(2)设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(3x1－3x2)·，由0≤x1＜x2得3－3＜0，3＞1，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在[0，＋∞)上是增加的．
创新练
　某乡镇目前人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．
【解析】设该乡镇目前人口总量为M，则该乡镇目前一年的粮食总产量为360M kg.
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)kg，人口总量为M(1＋1.2%)，
则人均占有粮食为kg；
经过2年后，人均占有粮食为kg；
……
经过x年后，人均占有粮食为y＝
＝360＝360.
故所求函数的解析式为y＝360.
【变式训练】
已知f(x)＝2|x－1|.
(1)求f(x)的最小值．
(2)求f(x)的单调区间．
【解析】(1)令u＝|x－1|，则u≥0，又y＝2u是增函数，则y的最小值为20＝1，故f(x)的最小值是1.
(2)u的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，1)，
又y＝2u是增函数，则f(x)的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，1).
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