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4.2.2 指数函数的图象与性质(二)
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点二 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点三 指数型复合函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质：
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，函数y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.
(3)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.
知识点四 指数型函数y＝k·ax(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)模型
1.指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).
2.指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N).
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b
答案：D
解析：先由函数y＝0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小.
2.若2a + 1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B. C.(－∞，1) D.
答案：B
解析：原式等价于2a＋1＞3－2a，解得a＞.
3.函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1)
答案：A
解析：定义域为R.设u＝1－x，y＝u.∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数.又∵y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A.
4.若≤x－2，则函数y＝2x的值域是( )
A. B. C. D.[2，＋∞)
答案：B
解析：由≤x－2＝24－2x得，x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2－3≤2x≤2，即函数y＝2x的值域是.
5.函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：由已知得a0＋a1＝3，所以1＋a＝3，所以a＝2.
6.设<()b<()a<1，那么( )
A.aa
答案：C
解析：∵<()b<()a<1，∴0ab，根据y＝xa的单调性可知aa7.设f(x)＝()|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A.奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C.奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
答案：D
解析：∵f(－x)＝()|－x|＝()|x|＝f(x)，知f(x)为偶函数，又x>0时，f(x)＝()x在(0，＋∞)上单调递减.
8.若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)
答案：D
解析：由题意可知，f(x)在R上是增函数，所以解得4≤a＜8，故选D.
9.(多选题)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足( )
A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B．f(－2)C．f(x)－g(x)＝π－x D．f(2x)＝2f(x)g(x)
答案：ABD
解析：A正确，f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)10.已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是( )
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,4] C.∪(1,2] D.∪[4，＋∞)
答案：C
解析：当x∈(－1,1)时，均有f(x)<成立，即x∈(－1,1)时，x2－当a>1时，依题意，φ(－1)＝a－1≥g(－1)＝，所以1二、填空题
7.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.
答案：[2，＋∞)
解析：由复合函数的单调性知，－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2.
8.若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集为________.
答案：{x|0≤x≤1}
解析：(1)当x≥0时，由f(x)≥得()x≥，∴0≤x≤1.(2)当x＜0时，不等式≥明显不成立，综上可知，不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}.
9.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次.
答案：4
解析：设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的，也就是原来的2，经过第三次漂洗，存留量为原来的3，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的x，故解析式为y＝x.由题意，x≤，4x≥100，2x≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次.
10.设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是_____.
答案：[－，＋∞)
解析：设t＝2x，∵x∈(－∞，1]，∴0三、解答题
16.解不等式()3x－1≤2；(2)已知0，a≠1)，求x的取值范围.
解：(1)∵2＝()－1，∴原不等式可以转化为()3x－1≤()－1.
∵y＝()x在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－117.设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数.
(1)求a的值；
(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(1)解：依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，即＋＝＋aex，
∴＝0对一切x∈R成立.
由此得到a－＝0，即a2＝1.又a＞0，∴a＝1.
(2)证明: 设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝e－e＋－＝(e－e)·＝(e－e).
∵0＜x1＜x2，∴e＞e，∴e－e＞0.
又1－e＜0，e＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)即f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
18.已知函数f(x)＝(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性；
(4)若f(x)<2b＋1恒成立，求b的取值范围.
解：(1)f(x)的定义域为{x|x∈R}，
由f(x)＝＝1－，
∵ax>0，∴ax＋1>1，
∴0<<1，∴－2<－<0，
∴－1<1－<1.
∴f(x)的值域为(－1,1).
(2)∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
又x∈R，∴f(x)为奇函数.
(3)方法一 当a>1时，∵y＝ax＋1为增函数，且ax＋1>0，
∴y＝为减函数，
从而f(x)＝1－＝为增函数.
同理可得，当0方法二 任取x1，x2∈R，且x1f(x2)－f(x1)＝－＝，
当a>1时，∵x2>x1，∴a>a，∴f(x2)>f(x1)，
∴当a>1时，f(x)在R上单调递增，
同理，当0(4)由f(x)<2b＋1恒成立，得f(x)max<2b＋1，
∴2b＋1≥1，∴b≥0.
19.设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)<0，试判断y＝f(x)的单调性，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围；
(3)若f(1)＝，g(x)＝a2x＋a－2x－2f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2.
(2)由(1)知f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，
∵f(1)<0，∴a－<0，
又a>0，且a≠1，∴0∴f(x)在R上单调递减．
又不等式可化为f(x2＋tx)∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立，
∴(t－1)2－16<0，解得－3(3)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0，解得a＝2(负值舍去)．
∴g(x)＝22x＋2－2x－2(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2(2x－2－x)＋2.
令t＝2x－2－x，∵t＝2x－2－x在[1，＋∞)上单调递增，∴t∈[，＋∞)．
设h(t)＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，t∈[，＋∞)．
∴h(t)min＝h()＝，
即g(x)在[1，＋∞)上的最小值为.
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4.2.2 指数函数的图象与性质(二)
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点二 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点三 指数型复合函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质：
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，函数y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.
(3)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.
知识点四 指数型函数y＝k·ax(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)模型
1.指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).
2.指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N).
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b
2.若2a + 1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B. C.(－∞，1) D.
3.函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1)
4.若≤x－2，则函数y＝2x的值域是( )
A. B. C. D.[2，＋∞)
5.函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.设<()b<()a<1，那么( )
A.aa7.设f(x)＝()|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A.奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C.奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
8.若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)
9.(多选题)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足( )
A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B．f(－2)C．f(x)－g(x)＝π－x D．f(2x)＝2f(x)g(x)
10.已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是( )
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,4] C.∪(1,2] D.∪[4，＋∞)
二、填空题
7.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.
8.若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集为________.
9.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次.
10.设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是_____.
三、解答题
16.解不等式()3x－1≤2；(2)已知0，a≠1)，求x的取值范围.
17.设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数.
(1)求a的值；
(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
18.已知函数f(x)＝(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性；
(4)若f(x)<2b＋1恒成立，求b的取值范围.
19.设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)<0，试判断y＝f(x)的单调性，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围；
(3)若f(1)＝，g(x)＝a2x＋a－2x－2f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
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