2022-2023学年华东师大版八年级数学上册12.3.1 两数和乘以这两数的差 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
12.3 乘法公式
第12章 整式的乘除
1.两数和乘以这两数的差
学习目标
learning target
1.理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点）
2.理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.（难点）
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 2)( x ＋ 3)
= x2＋3x＋2x＋6
= x2＋5x＋6.
( a + b )( m + n )
= am
+ an
+ bm
+ bn
复习巩固
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．你觉得张老汉是否吃亏了
情景导入
5米
5米
a米
原来
a2
(a - 5)
(a + 5)米
现在
(a + 5)(a - 5)
面积变了吗？
算一算：看谁算得又快又准.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
① (a+ 1)( a - 1)；
② (b+ 3)( m - 3)；
③ (3m + 2)(3m - 2)；
④ (6y + 2z)(6y - 2z).
想一想：
这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
= a2 - 12
= b2 - 32
= (3m)2 - 22
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
① (a+ 1)( a - 1) = a2 - 1
② (b + 3)( b - 3) = b2 - 9
③ (3m + 2)( 3m - 2) = 9m2 - 4
④ (6y +2z)(6y -2z) = 36y2 - 4z2
= (6y)2 – (2z)2
(a + b)(a b) = a2 b2.
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式.有时也简称为平方差公式.
公式变形：
(b + a)( b + a ) = a2 b2
字母表达式：
平方差定义：
知识要点：
(a – b) (a + b) = a2 b2
几 何 解 释
观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
(a+b)(a-b)
=
－
(a + b)(a - b)
a2
b2
b
a
a
b
b
b2
a2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同项为 a
相反项为 b
适当交换
合理加括号
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
练一练：
（l）(-a + b)(a + b) = _________.
（2）(a - b )(b + a) = __________.
（3）(-a - b)(-a + b) = ________.
（4）(a - b)(-a - b) = _________.
a2 - b2
a2 - b2
b2 - a2
b2 - a2
例1 填一填：
(2+ m)(2 - m)
( - 4 + b)( - 4 - b)
(0.6x - 2)(2 + 0.6x)
(3 + c)( - 3 + c)
a
b
a2 - b2
2
m
-4
b
22 - m2
( - 4)2 - b2
c
3
c2 - 32
0.6x
2
( 0.6x)2 - 22
(a - b)(a + b)
巩固应用
例2 计算 2017×2023.
(2020 - 3)(2020 + 3)
= 4080400 - 9
= 4080391.
解:原式=
= 20202 - 32
当式子中有三项或三项以上时，要仔细观察,找出相同项和相反项。
1. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 2)(x - 2) = x2 - 2；
(2) ( 2a - 3)(-2a - 3) = 4a2 - 9.
不对
改正：x2 - 4
不对
改正方法①：
原式 = - [(2a + 3)(2a - 3)]
= - (4a2 - 9)
= - 4a2 + 9.
改正方法②：
原式 = ( - 3 - 2a)( - 3 + 2a)
= ( - 3)2 - (2a)2
= 9 - 4a2.
当堂练习
(1) (m + 2n)(m – 2n)
解：原式 = (3a + 1)(3a - 1)
= (3a)2 - 12
= 9a2 - 1
= m2 – 4n2
解：原式 = m2 - (2n)2
(3) (1 + 3a)(-1+ 3a)
2. 利用平方差公式计算：
(2) ( - 3x2 -2y)( - 3x2 +2y)；
解：原式 = ( - 3x2 )2 – (2y)2
= 9x4 - 4y2
(4) ( - 4 + 3x)( - 3x - 4).
解：原式 = ( - 4 + 3x)( - 4 - 3x)
= ( - 4)2 - (3x)2
= 16 - 9x2
= (60 + 2)(60 – 2)
= 602 – 22
= 3600 – 4
= 3596.
= (9x2 - 4)
– (4x2 + 4x +1)
= 9x2 – 4–4x2 – 4x–1
（5）62×58；
（6）(3x + 2)(3x – 2) – (2x + 1) (2x +1).
= 5x2 –4x–5
先观察题目，然后根据题目特点选用合适的公式。
解：原式
解：原式
3.计算： 20222 - 2021×2023.
解：原式
= 20222 - (2022 - 1)(2022 + 1)
= 20222 - (20222 - 12 )
= 20222 - 20222 + 12
= 1.
4.利用平方差公式计算:
（1）(p - 2)(p+2)(p2 + 4)
解：原式 = (p2 - 4)(p2 + 4)
=p4 - 16
（2）(m+ n)(m - n)(m2 + n2)(m4 + n4).
解：原式 = (m2 - n2)(m2 + n2)(m4 + n4)
= (m4 - n4)(m4 + n4)
= m8 - n8
5.若实数m，n满足（m2+2n2+5）（m2+2n2﹣5）＝0，则m2+2n2的值为（　　）
A．5 B．2.5 C．2.5或﹣5 D．5或﹣5
6.已知a﹣b＝﹣2，则a2﹣b2+4b＝______
A
4
7.观察下列等式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　；
…
（1）猜想规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）＝　 ；
（2）有以上情形，你能求出下面式子的结果吗？
（x6﹣1）÷（x﹣1）＝　 　 ；
x4-1
xn+1-1
（3）已知x3+x2+x+1＝0，分别求出x4和x2020的值．
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.字母表示：(a + b)(a - b) = a2 - b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；
3.不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用
平方差公式