人教版八年级数学上册11.3多边形及其内角和精选练习（含答案）

11.3 多边形及其内角和精选练习（含答案）-人教版八年级上册
一．选择题
．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．730°
．如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOG的度数为（　　）
A．144° B．126° C．120° D．108°
．一个正多边形的一个内角是它相邻外角的5倍，则这个正多边形的边数是（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
．六角螺母的横截面是正六边形，这个正六边形的内角为（　　）
A．100° B．120° C．60° D．90°
．如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
．在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了1个内角，其和等于1180°，则少算的这个角的度数是（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
．一个多边形每个外角都等于36°，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条（　　）
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
．如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（　　）
A．108° B．36° C．72° D．144°
．下列叙述正确的有（　　）个．
①射线AB的端点是A和B；
②各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形；
③连接两点的线段叫做两点的距离；
④两点之间线段最短．
A．1 B．2 C．3 D．4
．四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于点P，∠A＝64°，∠BCD＝136°，则下列结论中正确的是（　　）
①∠EPF＝100°；②∠ADC+∠ABC＝160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF＝136°；④∠PEA+∠PFA＝36°
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题
．下列结论中，错误结论有 　 　（填序号）
①三角形三条高（或高的延长线）的交点不在三角形的内部，就在三角形的外部．
②一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加360°．
③两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相平行．
④三角形的一个外角等于任意两个内角的和．
⑤在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC为直角三角形．
⑥一个三角形中至少有两个锐角
．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　 　度．
．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝68°，则∠CAD的度数是 　 　．
．如果多边形的每个内角都等于150°，则它的边数为 　 　．
．将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝　 　．
解答题
．如图，四边形ABCD中，∠A＝75°，∠C＝105°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．
求：（1）∠ABC+∠ADC的值；
（2）∠BED+∠BFD的值．
．已知如图1，线段AB，CD相交于O点，连接AD，CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”．那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）在图1中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置，
（1）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
（2）如果点A落在四边形BCDE外点A''的位置，∠A与∠1、∠2之间的数量关系有何变化，请说明理由．
．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．
【问题情境】
（1）如图1，若∠A＝30°，则∠C的度数为 　 　．
（2）如图2，点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，DH平分∠FDC，交FC于点H，若∠A＝50°，∠HDC＝45°，求∠DFC的度数．
【操作思考】
（3）如图3，若点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线所在的直线交于点G，直线GB交CD于点M．试猜想∠DFC与∠DGB的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图4，若点E是AB延长线上的一点，（3）中的其余条件不变，请直接写出∠DFC与∠DGB之间的等量关系式：　 　．
．如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB﹣∠A　 　180°．（横线上填＜、＝或＞）
初步应用：
（2）如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P＝　 　．
解决问题：
（3）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：设将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形的边数分别为x、y．
∴这两个多边形的内角和之和为180°（x﹣2）+180°（y﹣2）＝180°（x+y﹣4）．
∴180°整除这两个多边形的内角和之和．
∵360°＝180°×2，540°＝180×3，720°＝180°×4，180°不整除730°，
∴这两个多边形的内角和之和不可能是730°．
故选：D．
．【解答】解：∵任意多边形的外角和等于360°，
∴∠DCF＝360°÷5＝72°．
∴这个正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°．
∴∠B＝∠EAB＝∠BCD＝108°．
又∵AO平分∠EAB，
∴∠OAB＝．
又∵CG平分∠DCF，
∴∠DCG＝．
∴∠BCO＝∠BCD+∠DCG＝108°+36°＝144°．
∴∠AOC＝360°﹣（∠BAO+∠B+∠BCG）＝360°﹣（54°+108°+144°）＝54°．
∴∠AOG＝180°﹣∠AOC＝180°﹣54°＝126°．
故选：B．
．【解答】解：设这个正多边的外角为x°，由题意得：
x+5x＝180，
解得：x＝30，
360°÷30°＝12．
故选：A．
．【解答】解：∵这个正六边形的外角和等于360°，
∴每个外角＝360°÷6＝60°．
∴故这个正六边形的每一个内角的度数为＝180°﹣60°＝120°．
故选：B．
．【解答】解：如图．
由题意得：∠1+∠2+∠3+∠4＝230°．
∴∠5+∠6+∠7＝360°﹣230°＝130°．
∵∠8＝∠6+∠7，
∴∠5+∠8＝130°．
∴∠P＝180°﹣（∠5+∠8）＝180°﹣130°＝50°．
故选：C．
．【解答】解：设这个多边形的边数为n（n为正整数且n≥3）．
由题意得：1180°＜180°（n﹣2）＜1180°+180°．
∴1180°＜180°（n﹣2）＜1360°．
∴．
∴n＝9．
∴这个多边形的内角和为180°×（9﹣2）＝1260°．
∴少算的这个角的度数为1260°﹣1180°＝80°．
故选：C．
．【解答】解：∵此多边形每个外角都等于36°，
∴该多边形的边数为＝10．
∴从这个多边形的某个顶点能画的对角线的条数为10﹣3＝7（条）．
故选：A．
．【解答】解：如图，延长AB并交l2于点M．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形ABCDE的每个外角相等．
∴∠MBC＝＝72°．
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠BMD．
∵∠1＝∠BMD+∠MBC，
∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC．
∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．
故选：C．
．【解答】解：①射线AB和射线BA的端点不同，故不是同一条射线，故错误；
②各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故正确；
③连接两点的线段的长叫做两点间的距离，故错误；
④两点之间，线段最短，故正确．
故选：B．
．【解答】解：∵∠A＝64°，∠BCD＝136°，
∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣∠A﹣∠BCD＝160°，故②正确；
∵∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝116°﹣∠ABC，∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝116°﹣∠ADC，
∴∠AEB+∠AFD＝116°﹣∠ABC+116°﹣∠ADC＝232°﹣（∠ADC+∠ABC）＝72°，
∵EP平分∠AEB，FP平分∠AFD，
∴，，
∴，故④正确；
同理：∠PEB+∠PFC＝36°，
如图，连接AP并延长至点G，
∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝∠EAP+∠AEP+∠FAP+∠AFP＝∠EAF+∠AEP+∠AFP＝64°+36°＝100°，故①正确；
∴∠PEB+∠PFC+∠EPF＝36°+100°＝136°，故③正确．
故选：D．
二．填空题
．【解答】解：①错误．直角三角形的三条高（或高的延长线）的交点在直角顶点处．
②错误．应该是一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°．
③错误．应该是两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．
④错误．应该是三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和．
⑤错误．设∠A＝6x，则∠B＝3x，∠C＝2x，由题意6x+3x+2x＝180，解得x＝（）°，∴∠A、∠B、∠C中没有直角，∴△ABC表示直角三角形．
⑥正确．一个三角形中至少有两个锐角．
故答案为：①②③④⑤．
．【解答】解：如图所示，
∵∠2+∠4＝∠7，∠3+∠5＝∠8，
又∵∠1+∠6+∠7+∠8＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°，
故答案为：360．
．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠ABD＝∠ACD＝68°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝22°，
故答案为：22°．
．【解答】解：∵多边形的每个内角都等于150°，
∴多边形的每个外角为180°﹣150°＝30°，
∴多边形的边数为360÷30＝12．
故答案为12．
．【解答】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE＝∠BEF＝，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣135°＝45°，
∵∠DCE＝∠CEG＝，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝60°，
由三角形的内角和得：
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC
＝360°﹣135°﹣120°﹣75°
＝30°．
故答案为：30°．
三．解答题
．【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝75°，∠C＝105°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣75°﹣105°＝180°；
（2）如图，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ADC）＝90°，
由三角形外角的性质可得，
∠BED＝∠1+∠A，∠BFD＝∠2+∠A，
∴∠BED+∠BFD＝∠1+∠A+∠2+∠A＝∠1+∠2+2∠A＝90°+150°＝240°．
．【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），
∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图3，
连接AD，则∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°，
根据“8字形”数量关系，∠E+∠F＝∠EDA+∠FAD，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
．【解答】解：（1）2∠A＝∠1+∠2，
理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
（2）∵沿DE折叠A和A'′重合，
∴∠AED＝∠A′'ED，∠ADE＝∠A′'DE，
又∵∠1＝∠A'ED﹣∠BED＝∠AED﹣（180°﹣∠AED）＝2∠AED﹣180°，
∠2＝180°﹣2∠ADE，
∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∴∠1+90°+90°﹣∠2＝180°﹣∠A，
即∠A＝（∠2﹣∠1）．
．【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠D＝180°﹣∠A＝150°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠D＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝130°，
∵DH平分∠FDC，∠HDC＝45°，
∴∠FDC＝45°×2＝90°，
∴∠ADF＝130°﹣90°＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠ADF＝40°；
（3）∵GM平分∠ABC，DG平分∠FDC，
∴∠FBG＝∠CBM＝∠ABC，
∠FDG＝FDC＝（∠ADC﹣∠ADF）＝（∠ADC﹣∠DFC），
由八字模型可得，∠DFC+∠FDG＝∠DGB+∠FBG，
即∠DFC﹣∠DGB＝∠FBG﹣∠FDG＝∠ABC﹣（∠ADC﹣∠DFC）＝∠DFC，
∴∠DFC＝2∠DGB；
（4）∵BM平分∠ABC，DG平分∠FDC，
∴∠FBG＝∠ABC，
∠FDG＝FDC＝（∠ADC﹣∠ADF）＝（∠ADC﹣∠DFC），
由八字模型可得，∠DGB+∠FDG＝∠BFD+∠FBG，
即∠DGB﹣∠BFD＝∠FBG﹣∠FDG＝∠ABC﹣（∠ADC﹣∠DFC）＝∠DFC，
∴∠DGB﹣（180°﹣∠DFC）＝∠DFC，
整理可得，∠DGB+∠DFC＝180°．
故答案为：∠DGB+∠DFC＝180°．
．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，
故答案为：＝；
（2）∠P＝90°﹣∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（180°+∠A），＝90°﹣∠A．
故答案为：90°﹣∠A，
（3）∠P＝180°﹣（∠BAD+∠CDA），
理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，
∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠BAD+∠CDA），
又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），
∴∠P＝×[360°﹣（∠BAD+∠CDA）]＝180°﹣（∠BAD+∠CDA）．