2.2　基本不等式第1课时 人教A版（2019）必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式（共48张PPT）

(共48张PPT)
2.2　基本不等式
核心知识目标 核心素养目标
1.能描述并证明基本不等式,能对基本不等式进行几何解释. 2.能利用基本不等式的性质证明其他不等式. 3.能利用基本不等式求简单的最大值或最小值问题及条件最值问题. 4.掌握基本不等式在实际问题中的应用. 5.掌握利用基本不等式求参数取值范围的方法. 1.通过基本不等式及几何解释的学习,达成数学抽象、逻辑推理及直观想象的核心素养.
2.通过利用基本不等式证明不等式,发展逻辑推理与数学运算的核心素养.
3.通过基本不等式的实际应用,提高数学建模与数学运算的核心素养.
4.通过利用基本不等式求最大值或最小值、条件最值和参数的取值范围,发展逻辑推理与数学运算素养.
第1课时　基本不等式
知识探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
知识探究·素养启迪
情境导入
如图,是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计的,颜色的明暗使其看起来像一个风车.
探究:依据这个会标,你能找到一些相等或不等关系吗
提示:如图,由图可知:①a2+b2=(a-b)2+2ab;②a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,取“=”.
知识探究
1.基本不等式
[问题1-2] 你得到的不等式中的a>0,b>0是否可以去掉 举例说明.
[问题1-3] 你得到的不等式中的“=”何时成立
梳理1　基本不等式
≤
a=b
算术平均数
几何平均数
不小于
≥
重合
a=b
2.基本不等式与最值
[问题2-1] 在基本不等式中,如果a+b=S(定值),那么你得到一个什么结论
[问题2-2] 在基本不等式中,如果ab=P(定值),那么你又得到一个什么结论
大
小
梳理2　基本不等式与最值
已知x,y都是正数,
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最 值 .(简记:和定积最大)
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最 值 .(简记:积定和最小)
小试身手
BD
C
解析:由题意知a=1.故选C.
3.已知ab=100,且a>0,b>0,则a+b的最小值为　　　　.
答案:20
4.已知x>0,y>0,且2x+3y=6,则xy的最大值为　　　　.
课堂探究·素养培育
探究点一
利用基本不等式求最值
探究角度1　直接应用基本不等式求最值
[例1] 求下列式子的最值.
答案:2
答案:4
即时训练1-2:若x>0,y>0且xy=1,则x+4y的最小值是　　　　.
即时训练1-4:已知-1答案:4
方法总结
(2)二定:化不等式的一边为定值.
(3)三相等:必须存在“=”号的条件.
以上三点缺一不可.
探究角度2　变形后求最值
方法总结
(1)使用基本不等式求一个式子的最值时,若所给式子不满足直接应用基本不等式的条件,可以利用“拼凑项”的方法变形后应用基本不等式求解.
(2)拼凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形,拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.拼凑后要保证各量满足基本不等式“一正,二定,三相等”的条件,尤其是要注意验证等号成立的条件.
探究点二
应用基本不等式证明不等式
探究角度1　直接应用基本不等式证明
方法总结
利用基本不等式证明不等式的策略
从待证不等式及问题的已知条件出发,借助不等式的性质及有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
一般地,若所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明.
易错警示
利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.
探究角度2　利用“1”的代换证明不等式
方法总结
备用例题
[例3] 已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,
求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
课堂达标
C
答案:5
答案:b=3a
答案:否　x取值不确定(或x不一定为正数)