人教A版（2019）必修 第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式（共52张PPT）

(共52张PPT)
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
核心知识目标 核心素养目标
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.了解一元二次不等式的实际意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 5.能够灵活运用三个“二次”之间的关系解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,达成数学抽象和数学建模的核心素养.
2.从一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的相互联系,求解一元二次不等式及与一元二次不等式有关的恒成立问题,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
3.通过运用一元二次不等式解决实际问题,提升数学建模、数学运算的核心素养.
第1课时　一元二次不等式
知识探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
知识探究·素养启迪
知识探究
1.一元二次不等式的概念
[问题1] 给出下面四个不等式:
(1)x2-x-6>0;(2)x2-x-6≤0;(3)x2-4x+4≥0;(4)2x2+x+5<0.
以上四个不等式中,每个不等式含有几个未知数 未知数的最高次数是多少
提示:含有一个未知数,未知数的最高次数是2.
梳理1　一元二次不等式
(1)一般地,我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
(2)一元二次不等式的一般形式是 或 ,其中a,b,c均为常数,a≠0.
(3)一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使 ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
一个
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
实数x
2.二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
[问题2] 下表是二次函数y=x2-x-6的一些对应值表,抛物线是其图象.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
根据图表,你能说出一元二次方程x2-x-6=0的解吗 你能说出使一元二次不等式x2-x-6>0与x2-x-6≤0的解集吗
提示:x1=-2或x2=3;{x|x<-2或x>3},{x|-2≤x≤3}.
梳理2　二次函数与一元二次方程、不等式之间的对应关系
{x|x1{x|xx2}
小试身手
D
1.不等式x2-5x+6<0的解集是(　 　)
(A){x|x>1或x<-6}
(B){x|x>6或x<-1}
(C){x|x>3或x<2}
(D){x|2解析:不等式x2-5x+6<0化为(x-2)(x-3)<0,解得2所以不等式的解集是{x|22.不等式-3x2+5x-4>0的解集为　　　　.
3.若关于x的不等式x2-3ax+2>0的解集为{x|x<1 或x>m},则a+m等于
　　　 　.
答案:3
课堂探究·素养培育
探究点一
解不含参数的一元二次不等式
[例1] 解不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
解:(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,
所以方程x2-2x+2=0无解.
画出二次函数y=x2-2x+2的图象(如图(4)),结合图象得不等式x2-2x+2>0的解集为R.
即时训练1-1:解下列不等式:
(1)3x2+2x>2-3x;
(2)9x2-6x+1>0;
(3)-2x2+x+1<0;
(4)x2-4x+5<0.
方法总结
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正.
(2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象.
(5)根据图象写出不等式的解集.
探究点二
一元二次不等式、一元二次方程与二次函数间的关系
方法总结
(1)一元二次不等式解集的端点是一元二次不等式对应的一元二次方程 的根.
探究点三
解含参数的一元二次不等式
探究角度1　二次项系数不含参数且能因式分解型
[例3] (2020·山东济南一中高二期中)解关于x的不等式x2-(3a+1)x+2a(a+ 1)<0(a∈R).
②当2a>a+1 a>1时,原不等式解集为{x|a+1③当2a即时训练3-1:解关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0(a∈R).
解:原不等式等价于(x+1+a)(x+1-a)≤0.
(1)当-1-a<-1+a,即a>0时,-1-a≤x≤-1+a;
(2)当-1-a=-1+a,
即a=0时,不等式即为(x+1)2≤0,
所以x=-1;
(3)当-1-a>-1+a,即a<0时,-1+a≤x≤-1-a.
综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1-a≤x≤-1+a};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x=-1};
当a<0时,原不等式的解集为{x|-1+a≤x≤-1-a}.
方法总结
含参数的一元二次不等式,若二次项系数不含参数,且不等式对应的方程能够因式分解(或方程根可求),应按不等式对应方程根的大小分类讨论.
探究角度2　二次项系数含参数且能因式分解型
[例4] 解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).
即时训练4-1:设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0.
解:(1)当a=0时,不等式可化为x-2>0,解得x>2,即原不等式的解集为{x|x>2}.
方法总结
解含参数的一元二次不等式的步骤
探究角度3　含有参数且不能因式分解型
[例5] 解关于x的不等式:x2-2ax+2≤0.
即时训练5-1:若a≥0,讨论关于x不等式ax2-2x+a≥0的解集.
解:(1)当a=0时,不等式化为-2x≥0,解得x≤0.
②a=1时,不等式化为x2-2x+1≥0,此时x∈R.
③a>1时,Δ<0,也有x∈R.
方法总结
若含参数的一元二次不等式对应的方程不能直接求根,则需要考虑一元二次方程对应的判别式,这里需要对判别式Δ<0,Δ=0和Δ>0分类讨论,当Δ>0如不能确定根的大小,还需要讨论根的大小.若二次项系数含参数,还需要讨论参数的符号.
备用例题
[例1] 解下列不等式:
(1)2x2+5x-3<0;
(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2-4x+1>0;
(4)-x2+6x-10>0.
[例2] 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|10的解集.
[例3] 求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
[例4] 解关于x的不等式2x2+ax+2>0.
解:Δ=a2-16,下面分情况讨论:
(1)当Δ<0,即-4(2)当Δ=0,即a=±4时,若a=-4,则原不等式等价于(x-1)2>0,故x≠1;若a=4,则原不等式等价于(x+1)2>0,故x≠-1.
课堂达标
B
解析:因为2x+3-x2>0,
所以(x-3)(x+1)<0,
所以-1所以不等式的解集为{x|-1C
4.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是　 .
解析:由表知当x=-2,或x=3时,y=0,
所以二次函数y=ax2+bx+c可化为y=a(x+2)(x-3).
又因为当x=1时,y=-6,
所以a=1.
所以不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}.
答案:{x|x<-2或x>3}