第六章 6.4平面向量的应用-用向量法研究三角形的性质 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
用向量法研究
三角形的性质
情境引入
SITUATIONAL INTRODUCTION
我们知道，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义.
向量加法
三角形
平行四边形
数乘向量
平行、图形的相似
向量的数量积
距离、夹角
利用向量运算研究几何图形的性质会更加方便、简捷
代数运算
几何性质
情境引入
SITUATIONAL INTRODUCTION
例如，平面几何中证明勾股定理
构建正方形模型
情境引入
SITUATIONAL INTRODUCTION
例如，平面几何中证明勾股定理时，用向量法解决：
这个证明仅仅用到了“三角形回路(向量加法)”和数量积运算，而且证明过程是程序化的，充分体现了向量运算的作用，确实简单多了。
几何问题向量化
向量运算
向量结果几何化
问题解决
THE PROBLEM IS RESOLVED
小结1：通过上述的引例，发现在研究三角形性质的问题上几何法与向量法有各自的特点。
小结2：用向量法解决三角形性质的基本步骤
几何法
观察、想象、
建模、推理
向量法
几何问题代数化
向量法一定程度上降低研究难度
几何问题向量化
翻译
运算
表示
向量结果几何化
向量运算
探究什么
THE PROBLEM IS RESOLVED
问题：说一说你知道的有关三角形的性质？
三角形的内角和为180度
三角形任意两边之和大于第三边
大边对大角
直角三角形中的勾股定理
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
三角形三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高线交于一点，三条中垂线交于一点
重心
内心
垂心
外心
探究活动
THE PROBLEM IS RESOLVED
向量加法
引例：三角形是一个“闭合回路”，可以用向量加法刻画，即
问题1：中线对应的向量本身就可以用三边对应向量表示，类比引例中的闭合回路，你能写出一个新的三角形回路吗？
结论1：
转化与化归思想
向量意识、基底意识
探究活动
THE PROBLEM IS RESOLVED
向量数乘运算
问题2：三角形的重心将一条中线分成2:1的两条线段，那么从向量的角度理解，它们之间有什么关系？你又能发现什么新的结论？
结论2：
探究活动
THE PROBLEM IS RESOLVED
问题3：与向量加法有密切联系的是向量的减法运算，引入平面上任意一点 ,结合向量减法运算，你能将 作出怎样的转化？
结论3：
向量减法
探究活动
THE PROBLEM IS RESOLVED
问题4：数量积是向量运算中非常重要的一种，本节课的主题是“用向量法研究三角形中线和重心的性质”，那么你会将中线与谁进行数量积运算？你能发现一个有关中线的数量积运算结果吗？
我们发现：
数量积运算
结论4：
向量意识、基底意识
向量法的本质：
以数代形
探究活动
THE PROBLEM IS RESOLVED
问题5：前面我们探究了很多关于中线和重心 的性质，那么请大家继续，大胆猜测点 还是哪个三角形的重心。
我们猜测：
结论5：
比如：
总结归纳
SITUATIONAL INTRODUCTION
用向量法研究三角形重心性质
三角形闭合回路
向量
加法
数乘运算
向量减法
数量积运算
回归几何
总结归纳
SITUATIONAL INTRODUCTION
用向量法解决三角形性质
1、用向量法解决三角形性质的本质：
以数代形
2、数学意识方面：
向量意识
基底意识
运算意识
数形结合意识
3、数学思想方法方面：
数形结合思想
转化与化归思想
研究报告
RESEARCH REPORT
用向量法研究三角形的性质
1.本课题组的的成员姓名：
2.发现的数学结论及发现过程概述
三角形是一个“闭合回路”，可以用向量加法刻画，即，而中线对应的向量本身就可以用三边对应向量表示，所以指引我们去探究新的有关重心的性质
3.证明思路及其形成过程描述
思路:将中线向量用三边对应向量表示，并结合向量加法、数乘、数量积等运算得出不同的结论
4.结论的证明或否定
选题
开题
做题
结题
总结归纳：
SITUATIONAL INTRODUCTION
这为我们以后的数学探究之路指引了方向
探究课
开　题
选　题
探究之法（向量法）
探究之道
做　题
解　题
翻　译
表　示
运　算
应用解题
SITUATIONAL INTRODUCTION
表示
运算
翻译
与三角形重心有关的性质：
NATURE RELATED TO THE CENTER OF GRAVITY OF THE TRIANGLE
与三角形重心有关的性质：
NATURE RELATED TO THE CENTER OF GRAVITY OF THE TRIANGLE
课后作业：
AFTER-SCHOOL HOMEWORK
用向量法研究三角形的其它性质，每位学生给出三角形垂心、内心、外心的向量表示及结论
研究报告
选
题
从以下几个课题中选择一个进行研究：
（1）探究2：《三角形角平分线的交点即三角形的内心》
（2）探究3：《三角形高的交点即三角形的垂心》
（3）探究4：《三角形边长的中垂线的交点即三角形的外心》
建议步骤
1、学生分为6组，确定一人为组长；
2、小组集体讨论探究方案，确定研究思路；
3、小组成员各自开展独立研究，并以专题作业的形式撰写研究报告；
4、小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告；全班进行成
果交流、评价。
研究报告：
RESEARCH REPORT
用向量法研究三角形的性质
1.本课题组的的成员姓名
2.发现的数学结论及发现过程概述
3.证明思路及其形成过程描述
4.结论的证明或否定
课堂练习：
感谢聆听,批评指导